四川省瀘州市瀘縣四中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

瀘縣四中高2023級高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁，共150分，考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小感，每小題5分共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中.只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，，再求兩個(gè)集合的交集即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D2.下列四組函數(shù)中與是同一函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】借助同一函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】對于選項(xiàng)A:函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椋x域不同，不是同一函數(shù),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B:函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，定義域不同，不是同一函數(shù),故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C:函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椋x域不同，不是同一函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D:函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椋x域相同，且，解析式相同，故是同一函數(shù)，故選項(xiàng)D正確；故選：D.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理依次判斷各選項(xiàng)中區(qū)域端點(diǎn)處的符號即可.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，，，在內(nèi)無零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)從正方向無限趨近于時(shí)，，則；又，在內(nèi)無零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對于C，，，且在上連續(xù)，在內(nèi)有零點(diǎn)，C正確；對于D，，，在內(nèi)無零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選：C.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，根據(jù)二次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出復(fù)合函數(shù)的遞增區(qū)間即可.【詳解】由，解得：，故函數(shù)的定義域是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D5.“”是“一元二次不等式的解集為”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合一元二次不等式在上恒成立的等價(jià)條件判斷即可.【詳解】充分性：若，，一元二次不等式的解集為，即充分性不成立；必要性：若一元二次不等式的解集為，則，即必要性成立.因此，“”是“一元二次不等式的解集為”的必要非充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查必要不充分條件的判斷，同時(shí)也考查了一元二次不等式在上恒成立的等價(jià)條件的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比較出大小.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故，在R上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，，故.故選：C.7.已知冪函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的定義域?yàn)?B.在其定義域內(nèi)為減函數(shù)C.是偶函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】B【解析】【分析】先代點(diǎn)求出冪函數(shù)解析式，然后判斷冪函數(shù)的性質(zhì)即可.【詳解】設(shè)，代入點(diǎn)可得，所以，所以，對于A：函數(shù)的定義域?yàn)椋訟錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)?，所以在?nèi)單調(diào)遞減，B正確；對于C：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以不是偶函?shù)，C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋圆皇瞧婧瘮?shù)，D錯(cuò)誤，故選：B8.設(shè)函數(shù)若存在且，使得，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，需將看成整體角，由范圍求得范圍，結(jié)合函數(shù)的圖象，求得使的兩個(gè)解，由題只需使即可，計(jì)算即得.【詳解】不妨取，由可得：，由可得，由圖可取要使存在且，使得，需使，，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查與正弦型函數(shù)圖象有關(guān)的等高線問題.解決的關(guān)鍵在于將看成整體角，作出正弦函數(shù)的圖象，結(jié)合求得的整體角的范圍求得最近的符合要求的角，從而界定參數(shù)范圍.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中.有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列函數(shù)具有奇偶性的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用奇偶性定義來逐項(xiàng)分析即可.【詳解】選項(xiàng)A，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以，所以為偶函數(shù)；選項(xiàng)B，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以，所以為偶函數(shù)；選項(xiàng)C，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以，所以為奇函數(shù)；選項(xiàng)D，函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以，所以為非奇非偶函數(shù)；故選：ABC.10.已知函數(shù)，則下列敘述中，正確的是（）．A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的最小正周期為 D.函數(shù)是偶函數(shù)【答案】AB【解析】【分析】由正切函數(shù)性質(zhì)判斷AB，利用特殊值及周期性、奇偶性的定義判斷CD．【詳解】，A正確；時(shí)，，因此此時(shí)遞增，B正確；，但不存在，C，D均不正確，故選：AB．11.由知實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A.ab的最大值為B.的最大值為C.D.當(dāng)時(shí)，的最大值為【答案】AC【解析】【分析】由不等式，可判定A正確；設(shè)，聯(lián)立方程組，結(jié)合，可判定B不正確；設(shè)，聯(lián)立方程組，可判定C正確；，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定D不正確.【詳解】對于A中，由不等式，可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以A正確；對于B中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，可得，所以的最大值為，所以B不正確；對于C中，設(shè)，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，可得，所以的最大值為，所以C正確；對于D中，由，即，設(shè)，則，設(shè)，可得，可得，因?yàn)?，可得，即，不妨設(shè)，可得則，所以又因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以無最大值，所以D不正確.故選：AC12.已知函數(shù)，函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若關(guān)于的方程有2個(gè)不同實(shí)根，則的取值范圍是B.若關(guān)于的方程有3個(gè)不同實(shí)根，則的取值范圍是C.若有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是D.最多有6個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】由題意根據(jù)對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)作出的函數(shù)圖象，對于AB，只需通過平移直線觀察它與的圖象的交點(diǎn)情況即可得解，對于CD，首先若，則有或，進(jìn)一步列出不等式組即可判斷.【詳解】如圖：作出的大致圖象，由圖可知若關(guān)于的方程有2個(gè)不同實(shí)根，則的取值范圍是，故A錯(cuò)誤；由圖可知若關(guān)于的方程有3個(gè)不同實(shí)根，則的取值范圍是，故B正確；令，得，解得或，若有5個(gè)零點(diǎn)，則或，解得，故C正確；若有6個(gè)零點(diǎn)，則，該不等式組的解集為空集，所以最多有5個(gè)零點(diǎn).故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題CD選項(xiàng)的關(guān)鍵是由，得到或，進(jìn)一步通過數(shù)形結(jié)合即可順利得解.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)：（1）非選擇題的答案必須用0.5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上，作圖題可先用鉛筆繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，答在試題卷和草稿紙上無效．（2）本部分共10個(gè)小題，共90分．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】原式故答案為：．14.已知圓心角為2的扇形，其弧長為5，則扇形的面積為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合扇形的弧長和面積公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為，因?yàn)樯刃蔚膱A心角為且弧長為，可得，解得，所以扇形的面積為.故答案為：.15.已知是第二象限角，其終邊上一點(diǎn)，且，則x的值為______.【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)三角函數(shù)定義得到，根據(jù)是第二象限角得到答案.【詳解】由終邊上一點(diǎn)，得，解得，是第二象限角，所以x的值為.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)定義求參數(shù)，意在考查學(xué)生計(jì)算能力.16.已知，且，則的最小值為______.【答案】17【解析】【分析】由題得，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，亦即時(shí)，等號成立.所以函數(shù)的最小值為17.故答案為17【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和計(jì)算能力.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知是第二象限角，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，則.【小問2詳解】.18.已知集合，，定義兩個(gè)集合P，Q的差運(yùn)算：．（1）當(dāng)時(shí)，求與；（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），．（2）【解析】【分析】（1）用集合的新定義求解即可；（2）由“”是“”的必要條件得到，再利用范圍求出即可.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，．【小問2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以，故，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．19.已知是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)有．（1）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不要證明）；（2）解不等式；（3）求函數(shù)在,上的最大值和最小值．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為,,,，遞減區(qū)間為,（2）（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)的解析式，則有或，解可得不等式的解集，即可得答案；（3）由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)；對的值進(jìn)行分情況討論，求出函數(shù)的最值，即可得答案【小問1詳解】根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)有；則的單調(diào)遞增區(qū)間為,,,，遞減區(qū)間為,；【小問2詳解】是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)有，設(shè)，則，則，則，綜合可得：，若或，解可得：或，則不等式的解集為【小問3詳解】由（2）的結(jié)論，，在區(qū)間上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)；對于區(qū)間，，必有，解可得；故當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，時(shí)，，（2），當(dāng)時(shí)，，，20.交通運(yùn)輸部數(shù)據(jù)顯示，2023年中秋國慶假期（9月29日至10月6日）期間，營業(yè)性旅客運(yùn)輸人數(shù)累計(jì)4.58億人次.游客旅游熱情高漲，全國各類景區(qū)景點(diǎn)非常火爆.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某景區(qū)平時(shí)日均接納旅客1萬人次，門票是120元/人，中秋國慶期間日均接客量是平時(shí)的4倍.為進(jìn)一步提升中秋國慶期間的旅游門票營業(yè)額，該景區(qū)作了深度的市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)當(dāng)門票每便宜10元時(shí)，旅游日均人數(shù)可增加m萬人（便宜幅度是10元一檔，但優(yōu)惠后的最終門票價(jià)格不低于80元）．（1）當(dāng)時(shí)，要使該景區(qū)降價(jià)后的門票日均營業(yè)額不低于495萬元，則該景區(qū)可以如何確定門票價(jià)格？（2）當(dāng)m在區(qū)間上變化時(shí)，總能使得門票日均營業(yè)額不低于520萬元，則該景區(qū)應(yīng)如何確定門票價(jià)格？【答案】（1）元，元，元.（2）元，元.【解析】【分析】根據(jù)題意列出景區(qū)營業(yè)額和景區(qū)門票的關(guān)系，再通過解不等式得出答案.【小問1詳解】設(shè)景區(qū)降價(jià)后的門票日均營業(yè)額為萬元，景區(qū)門票價(jià)格下降了元，因?yàn)閮?yōu)惠后的最終門票價(jià)格不低于80元，所以，即，由題意得，當(dāng)時(shí)，要使該景區(qū)降價(jià)后的門票日均營業(yè)額不低于495萬元，則，即，即，解得，又因?yàn)?，所以，，所以景區(qū)門票價(jià)格可以為元，元，元.【小問2詳解】由（1）知，，因?yàn)?，所以?dāng)m在區(qū)間上變化時(shí)，總能使得門票日均營業(yè)額不低于520萬元，只要時(shí)門票日均營業(yè)額不低于520萬元即可，即，即，即，解得，又因?yàn)?，所以，，所以景區(qū)門票價(jià)格可以為元，元.21.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，且在區(qū)間上單調(diào)遞減．（1）求證：；（2）求值；（3）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集．【答案】21.證明見解析22.23.【解析】【分析】（1）借助賦值法令即可得；（2）借助賦值法可得為周期為的周期函數(shù)、并可計(jì)算出、、、，結(jié)合周期性即可得.（3）借助賦值法令，可將原不等式轉(zhuǎn)化為，解出可得的范圍，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)即可得.【小問1詳解】令，則有，由，故；【小問2詳解】令，則有，則，即，故，即，則，即，故，即有，故函數(shù)為周期為的周期函數(shù)，令、，則有，即，令、，則有，即，由，故，，，，故.【小問3詳解】令，則有，即，則，即可化為，即解，即，即，由、，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，故是該不等式的解，又，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，又、，故是該不等式的解，又函數(shù)為周期為的周期函數(shù)，故該不等式的解集為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵在于正確使用賦值法，將轉(zhuǎn)化為，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為.22.己知函數(shù)．（1）判斷的奇偶性；（2）己知