華南理工大學(xué)高數(shù)答案第9章

《高等數(shù)學(xué)》同步作業(yè)冊(cè)院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)PAGE6PAGE7第九章曲線積分與曲面積分作業(yè)13對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分1．計(jì)算，其中為直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界．解：可以分解為及2．，其中為星形線在第一象限內(nèi)的弧．解：為原式3．計(jì)算，其中折線ABC，這里A，B，C依次為點(diǎn)．解：

4．，其中為螺線上相應(yīng)于從變到的一段?。猓簽?．計(jì)算，其中L：．解：將L參數(shù)化，6．計(jì)算，其中L為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界．解：邊界曲線需要分段表達(dá)，從而需要分段積分從而

作業(yè)14對(duì)坐標(biāo)的曲線積分1．計(jì)算下列第二型曲線積分：，其中為按逆時(shí)針?lè)较蚶@橢圓一周；解：為原式，其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的一段直線；解：是原式，其中是圓柱螺線從到的一段弧；解：是原式(4)計(jì)算曲線積分,其中為由點(diǎn)A(-1,1)沿拋物線到點(diǎn)O(0,0),再沿x軸到點(diǎn)B(2,0)的弧段．解：由于積分曲線是分段表達(dá)的，需要分段積分；原式2．設(shè)力的大小等于作用點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方，而方向依軸的負(fù)方向，求質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿拋物線從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，力所作的功．解：3．把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中為：在平面內(nèi)沿直線從點(diǎn)到點(diǎn)；沿拋物線從點(diǎn)到點(diǎn)．解：（1）（2）

作業(yè)15格林公式及其應(yīng)用1．填空題(1)設(shè)是三頂點(diǎn)(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向邊界,12．(2)設(shè)曲線是以為頂點(diǎn)的正方形邊界，不能直接用格林公式的理由是_所圍區(qū)域內(nèi)部有不可導(dǎo)的點(diǎn)_．（3）相應(yīng)于曲線積分的第一型的曲線積分是．其中為從點(diǎn)(1,1,1)到點(diǎn)(1,2,3)的直線段．2．計(jì)算,其中L是沿半圓周從點(diǎn)到點(diǎn)的?。猓篖加上構(gòu)成區(qū)域邊界的負(fù)向v3．計(jì)算,其中為橢圓正向一周．解：原式4．計(jì)算曲線積分其中為連續(xù)函數(shù)，是沿圓周按逆時(shí)針?lè)较蛴牲c(diǎn)到點(diǎn)的一段?。猓毫顒t，原式5．計(jì)算,其中為（1）圓周（按反時(shí)針?lè)较颍?；解：，而且原點(diǎn)不在該圓域內(nèi)部，從而由格林公式，原式（2）閉曲線（按反時(shí)針?lè)较颍猓?，但所圍區(qū)域內(nèi)部的原點(diǎn)且僅有該點(diǎn)不滿足格林公式條件，從而可作一很小的圓周（也按反時(shí)針?lè)较颍?，在圓環(huán)域上用格林公式得，原式6．證明下列曲線積分在平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān),并計(jì)算積分值：（1）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，沿折線積分即可，原式（2）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，沿直線積分也可，原式（3）．解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，沿折線積分即可，原式7．設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，其中L為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段．解：由于在右半平面連續(xù)，從而該曲線積分右半平面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，沿曲線積分即可，原式8．驗(yàn)證下列在整個(gè)平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,并求出它的一個(gè)原函數(shù)：（1）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設(shè)這個(gè)函數(shù)為，則從而，（2）；解：由于在全平面連續(xù)，從而該曲線積分在平面內(nèi)是某一函數(shù)的全微分，設(shè)這個(gè)函數(shù)為，則原式可取（3）解：可取折線作曲線積分9．設(shè)有一變力在坐標(biāo)軸上的投影為,這變力確定了一個(gè)力場(chǎng),證明質(zhì)點(diǎn)在此場(chǎng)內(nèi)移動(dòng)時(shí),場(chǎng)力所作的功與路徑無(wú)關(guān)．證：，質(zhì)點(diǎn)在此場(chǎng)內(nèi)任意曲線移動(dòng)時(shí)，場(chǎng)力所作的功為由于在全平面連續(xù)，從而質(zhì)點(diǎn)在此場(chǎng)內(nèi)移動(dòng)時(shí)，場(chǎng)力所作的功與路徑無(wú)關(guān)．

作業(yè)16對(duì)面積的曲面積分1．計(jì)算下列對(duì)面積的曲面積分：(1),其中為錐面被柱面所截得的有限部分；解：為，原式（2）,其中為球面．解：為兩塊，原式2．計(jì)算，是平面被圓柱面截出的有限部分．解：為兩塊，，原式（或由，而積分微元反號(hào)推出）3．求球面含在圓柱面內(nèi)部的那部分面積．解：為兩塊，原式4．設(shè)圓錐面,其質(zhì)量均勻分布,求它的重心位置．解：設(shè)密度為單位1，由對(duì)稱性可設(shè)重點(diǎn)坐標(biāo)為，故重點(diǎn)坐標(biāo)為5．求拋物面殼的質(zhì)量，此殼的密度按規(guī)律而變更．解：

作業(yè)17對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分前側(cè)．解：原式=2．計(jì)算曲面積分，其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面及之間的部分．解：原式=3．計(jì)算其中是平面所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)．解：分片積分。原式=（由輪換對(duì)稱性）4．把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化為對(duì)面積的曲面積分：（1）是平面在第一卦限的部分的上側(cè)；（2）是拋物面在面上方的部分的上側(cè)．解：（1）原式=（2）原式=5．計(jì)算曲面積分,其中為旋轉(zhuǎn)拋物面下側(cè)介于平面z=0及z=2之間的部分．解：原式=（兩類曲面積分的互化）（第二類曲面積分投影法計(jì)算）（用了重積分的對(duì)稱性）6．已知速度場(chǎng)，求流體在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)上半錐面與平面所圍成錐體表面向外流出的流量．解：同樣。

作業(yè)18高斯公式和斯托克斯公式1．利用高斯公式計(jì)算曲面積分：(1)，其中是平面，，及所圍成的立體的表面外側(cè)；解：原式（2），其中為柱面及平面，所圍成的立體的表面外側(cè)；解：原式(3)計(jì)算,其中，是由曲面繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面,它的法向量與y軸正向的夾角恒大于．解：加上右側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的外側(cè)。原式2．設(shè)函數(shù)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，利用高斯公式計(jì)算曲面積分，式中是下半球面的上側(cè)．解：加上下側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的內(nèi)側(cè)。原式3．利用斯托克斯公式計(jì)算曲面積分：（1）式中是圓周，從軸正向看去,取逆時(shí)針?lè)较颍猓涸剑?），其中為圓周,,從軸的正向看去，取逆時(shí)針?lè)较颍猓涸?/p>

作業(yè)19場(chǎng)論初步1．求下列向量場(chǎng)通過(guò)曲面指定一側(cè)的通量：（1），為由平面與，，所圍成立體的表面，流向外側(cè)；解：（2），為以點(diǎn)(3,-1,2)為球心，半徑的球面，流向外側(cè)．解：2．求向量場(chǎng)沿閉曲線的環(huán)流量(從z軸正向看依逆時(shí)針的方向),其中為圓周．解：3．求向量場(chǎng)在點(diǎn)M(1,-1,2)處的散度和旋度．解：4．證明向量場(chǎng)為平面調(diào)和場(chǎng)，并求勢(shì)函數(shù)．解：由于因此是無(wú)源場(chǎng)且為無(wú)旋場(chǎng)從而為調(diào)和場(chǎng)由為勢(shì)函數(shù)5．驗(yàn)證下列向量場(chǎng)為保守場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù)：（1）；解：由于因此為無(wú)旋場(chǎng)從而為有勢(shì)場(chǎng)由為勢(shì)函數(shù)（2）解：由于因此為無(wú)旋場(chǎng)從而為有勢(shì)場(chǎng)由為勢(shì)函數(shù)6．設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，計(jì)算解：由于從而由于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，從而

第九章《曲線積分與曲面積分》測(cè)試題1．填空題（1）對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化成第一類曲線積分是，其中為有向曲線弧在點(diǎn)處的切向量的方向角；（2）設(shè)為取正向的圓周則曲線積分；（3）設(shè)曲線積分.與積分路徑無(wú)關(guān)，其中一階連續(xù)可導(dǎo)，且，則；（4）=_0_，其中為單位球面的外側(cè)；（5）設(shè)，則0，．2．計(jì)算下列曲線積分：（1）計(jì)算，其中為球面與平面的相交部分．解：由輪換對(duì)稱性（2），其中是，．解：用球坐標(biāo)表達(dá)是原式（3）其中為橢圓由點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)到點(diǎn)的弧段；解：參數(shù)表達(dá)是原式（4），其中是與的交線，其方向與軸正向成右手系；解：參數(shù)表達(dá)是原式（5），其中為上半圓周，沿逆時(shí)針?lè)较?；解：加上形成半圓區(qū)域的正向邊界原式（6），其中是以點(diǎn)為定點(diǎn)，，，的正方形的整個(gè)邊界（取正向）．解：正向原式3．計(jì)算下列曲面積分：（1）,為錐面介于之間的部分．解：原式（2）計(jì)算．解：為兩片令原式（3）其中EMBEDEquation.3錯(cuò)誤！不能通過(guò)編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。是上半球面的上側(cè)；解：為原式（4），其中為錐面的外側(cè)；解：加上上側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的外側(cè)。原式（5），其中是圓周，若正對(duì)著軸正向看去，取逆時(shí)針?lè)较颍唤猓河蒘TOCHS公式，原式（6），其中是曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的上側(cè)．解：加上下側(cè)，構(gòu)成封閉區(qū)域的內(nèi)側(cè)。原式4．設(shè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，其中，且求．解：曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，連續(xù)可導(dǎo)從而，又故5．設(shè)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，，且使表達(dá)式是某函數(shù)的全微分，求，并求一個(gè)．解：由已知，是某函數(shù)的全微分，從而，，又故6．證明在右半平面內(nèi)，力所做的功