新人教版八年級數(shù)學(xué)下導(dǎo)學(xué)案(全冊)

第十六章二次根式導(dǎo)學(xué)案

二次根式(1)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、了解二次根式的概念，能判斷一個式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意義的條件。

3、掌握二次根式的基本性質(zhì)：及之0(。20)和(&)2=。320)

二、學(xué)習(xí)重點、難點

重點：二次根式有意義的條件；二次根式的性質(zhì).

難點：綜合運用性質(zhì)JZNO(a20)和(、份肝=a(67>0)o

三、學(xué)習(xí)過程

(-)復(fù)習(xí)回顧：

(1)已知一=。，那么。是x的；1是。的,記為，。一定是數(shù)。

(2)4的算術(shù)平方根為2,用式子表示為=a:正數(shù)。的算術(shù)平方根為,0的

算術(shù)平方根為一；式子筋20(。20)的意義是o

(二)自主學(xué)習(xí)

(1)V16的平方根是；

(2)一個物體從高處自由落下，落到地面的時間是寅單位：秒)與開始下落時的高度a單位:

米)滿足關(guān)系式人=5〃。如果用含力的式子表示t,則夕；

(3)圓的面積為S,則圓的半徑是；

(4)正方形的面積為6-3,則邊長為.

思考：V16,J|,三等式子的實際意義.說一說他們的共同特征.

定義：一般地我們把形如JZ(a20)叫做二次根式，。叫做

1、試一試：判斷下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？為什么？

-V16t退，Q,近（aN0）,6+1

2、當(dāng)。為正數(shù)時JZ指”的，而0的算術(shù)平方根是，負(fù)數(shù)，只有非負(fù)數(shù)。才有

算術(shù)平方根。所以，在二次根式右中，字母。必須滿足—，后才有意義。

3、根據(jù)算術(shù)平方根意義計算：

(1)(V4)2(2)(V3)2⑶(歷了⑷(g)2

根據(jù)計算結(jié)果，你能得出結(jié)論：(&『=一。中aNO,

4、由公式(6)2=a(aN0),我們可以得到公式a=(JZ)2,利用此公式可以把任意一個

非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式。

如(石y=5；也可以把一個非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方形式，如5=(百)2.

練習(xí)：(1)把下列非負(fù)數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式：

60.35

(2)在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解

X24a-11

(三)合作探究

例：當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，五二，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

解：由x-220,得

x>2

當(dāng)xN2時，Jx—2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義。

練習(xí)：1、尤取何值時，下列各二次根式有意義？

2、(1)若正與一，匚有意義，則a的值為

(2)若Q在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則了為()6

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非負(fù)數(shù)D.非正數(shù)

J1-2%

3、(1)在式子一1---------中，x的取值范圍是.

(2)已知J/-4+J2x+y=0,則x-y=.

(3)已知y=V3—x+ylx—3—2，則y*=。

（四）達標(biāo)測試

（一）填空題：

2、若J2x-1+|y-"=0,那么x=,y=。

3、當(dāng)年時，代數(shù)式j(luò)4x+5有最小值,其最小值是

4、在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

（1）X2-9=X2-（）2=（廣—）（尸）

（2）X2-3=X2-（）2=（廣—）（廠）

（-）選擇題：

1、一個數(shù)的算術(shù)平方根是a,比這個數(shù)大3的數(shù)為（）

A、a+3B、yfci—3C、+3D、a~+3

2、二次根式后二1中，字母a的取值范圍是（）

A、a<lB、后1C、D、a>\

2、已知J~=O則x的值為

A、x>-3B、K-3C、A=-3D、x的值不能確定

3、下列計算中，不正確的是（）o

A、3=（V3）2B、0.5=（屈-C、75^2=0.6D、（5"了=35

二次根式（2）

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握二次根式的基本性質(zhì)：疹=時

2、能利用上述性質(zhì)對二次根式進行化簡.

二、學(xué)習(xí)重點、難點

重點：二次根式的性質(zhì)冊7=時.

難點：綜合運用性質(zhì)必=同進行化簡和計算。

三、學(xué)習(xí)過程

(-)復(fù)習(xí)引入:

(1)什么是二次根式，它有哪些性質(zhì)？

(2)二次根式

(3)在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：/一6=/一(y=(戶_)(廣)

(二)自主學(xué)習(xí)

1、計算：疔=_____7207=

觀察其結(jié)果與根號內(nèi)幕底數(shù)的關(guān)系，歸納得到：當(dāng)a>0時;

2、計算：Ji」=

觀察其結(jié)果與根號內(nèi)募底數(shù)的關(guān)系，歸納得到：當(dāng)。<0時，石

3、計算：行=當(dāng)a=O時;J^=

(三)合作交流

aa>0

1、歸納總結(jié)：J丁=同=<00

一。a<0

2、化簡下列各式：

⑴、TB57-⑵、&-0.5)2=_

⑶、J(-6)2=_⑷、J(2aJ=_(?<0)

3、討論二次根式的性質(zhì)(右)2=。320)與必=時有什么區(qū)別與聯(lián)系。

(四)鞏固練習(xí)

化簡下列各式：(DV4?(x>0)(2)E

(3)(3-3)2523)(4)J(2x+3)2?2)

注：利用必=時可將二次根式被開方數(shù)中的完全平方式“開方”出來，達到化簡的目的,

進行化簡的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定“a”的取值。

（五）達標(biāo)測試：

A組

1、填空：（1）、yl（2x-1）2-（A/2X-3）2（x>2）=.（2）、/"G?=

（3）a、b、c為三角形的三條邊，則+區(qū)-a-c|=.

2、已知2Vx<3,化簡：J（尤-2）-+—3|

B組

3已知OVJTVI,化簡：J（x廠+4—J（尤H—廠—4

4邊長為a的正方形桌面，正中間有一個邊長為巴的

3

正方形方孔.若沿圖中虛線鋸開，可以拼成一個新的

正方形桌面.你會拼嗎？試求出新的正方形邊長.

5、把（2—x）J」一的根號外的（2—x）適當(dāng)變形后移入根號內(nèi)，得（）

Vx-2

A、-xB、~\lx—2,C、-，2-xD,—V.X—2

6,若二次根式J-2x+6有意義，化簡|『4|-|7-x|。

二次根式的乘法

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解\[a?4b=\/ab（a20,beO）,\/ab=y/a?Jb（a20,Z>20）,并利用它們

進行計算和化簡

二、學(xué)習(xí)重點、難點

重點：掌握和應(yīng)用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。

難點：正確依據(jù)二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式。

三、學(xué)習(xí)過程

（-）復(fù)習(xí)引入

1.填空：（1）74X79=—,74^9=—；V4X^_V4^9

(2)V16XV25=___,716x25=—；V16XV25_716x25

（二）、探索新知

交流總結(jié)規(guī)律：一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

4a,x[b=>Jab.(a20,b20反過來：[=&?&(a20,b20)

例1、計算

(1)V5X77(3)376X2V10(4)y[5a,

例2、化簡

（1）J9xl6（2）,16x81（3）781x100(4)02寸(5)V54

鞏固練習(xí)

（1）計算：①屈X冊②5君><2舊

（2）化簡：V20；屈；V24；V54；82片及

（三）、學(xué)生小組交流解疑，教師點撥、拓展

判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正:

(1)Jy9)=Cx口

(2)J^lxV25=4XJ^|x>/25=4X725=4712=873

（四）展示反饋

展示學(xué)習(xí)成果后，討論：對于百XJ方的運算中不必把它變成J詬后再進行計算,

你有什么好辦法？

注：1、當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項式乘以單項式法則進行計算：即系數(shù)之積作

為積的系數(shù)，被開方數(shù)之積為被開方數(shù)。

2、化筒二次根式達到的要求：

（1）被開方數(shù)進行因數(shù)或因式分解。（2）分解后把能開盡方的開出來。

（五）達標(biāo)測試：

A組

1,選擇題

(1)等式?五二1=5%2—1成立的條件是()

A.x》lB.x》一1C.D.x》l或xW-l

(2)二次根式J(—2)2x6的計算結(jié)果是()

A.2A/6B.-276C.6D.12

2,化簡：

(1)V360;(2).

3、計算：

⑴V18xV3O.⑵A篇

B組

1,選擇題

「一。+；=0,貝!1?八?八二()

若卜-2+/+4b+4+,

A.4B.2C.-2D.1

2、計算：(1)6A/8X(-2V6)；(2)y/8abxy[6a^；

3、不改變式子的值，把根號外的非負(fù)因式適當(dāng)變形后移入根號內(nèi)。

(2)—2a.—

⑴HIV2a

二次根式的除法

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、掌握二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)。

2、能熟練進行二次根式的除法運算及化簡。

二、學(xué)習(xí)重點、難點

重點：掌握和應(yīng)用二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)。

難點：正確依據(jù)二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式。

三、學(xué)習(xí)過程

(-)復(fù)習(xí)回顧

1、寫出二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)

2、計算：(1)3A/8X(-4A/6)(2)y[\2abxv6ab3

一般地，對二次根式的除法規(guī)定:

[a_\[a

(a>0,b>0)反過來,(a20,b>0)

\b4b

2、化簡:

注：1、當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時，類比單項式除以單項式法則進行計算：即系數(shù)之商作為

商的系數(shù)，被開方數(shù)之商為被開方數(shù)。

2、化簡二次根式達到的要求：

（1）被開方數(shù)不含分母；（2）分母中不含有二次根式。

（三）拓展延伸

1-622加2石

73-73x73-3'>/5-75x75-5

數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化

利用上述方法化簡：

/、2/、1/、1/、加

（1）/一（2）詼=-⑶頁=一（4）運一

（四）達標(biāo)測試:

A組

1、選擇題

（1）計算，1+舊+“|的結(jié)果是（）.

A.那B.|C.V2D.當(dāng)

（2）化簡一G二的結(jié)果是（）

V27

A.-克B.-與C.-旦D.-0

3G3

2、計算：

B組

用兩種方法計算：

最簡二次根式

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、理解最簡二次根式的概念。

2、把二次根式化成最簡二次根式.

3、熟練進行二次根式的乘除混合運算。

二、學(xué)習(xí)重點、難點

重點：最簡二次根式的運用。

難點：會判斷二次根式是否是最簡二次根式和二次根式的乘除混合運算。

三、學(xué)習(xí)過程

（一）復(fù)習(xí)回顧

1、化簡（1）廊F=

⑶⑷嗎

V27

2、結(jié)合上題的計算結(jié)果，回顧前兩節(jié)中利用積、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式達

到的要求是什么？

(-)自主學(xué)習(xí)

觀察上面計算1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個特點：

1.被開方數(shù)不含分母；2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

2,化簡：

⑴3戶(2)y/x2y4+x4y2(3)屜2y3⑷算

V12V20

(三)合作交流

2、比較下列數(shù)的大小

(1)后與歸

（2）-7而與—6斤

注：1、常見的是運用積、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)和分母有理化。

2、判斷是否為最簡二次根式的兩條標(biāo)準(zhǔn)：

(1)被開方數(shù)不含分母；

(2)被開方數(shù)中所有因數(shù)或因式的森的指數(shù)都小于2.

(四)拓展延伸

觀察下列各式，通過分母有理化，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式:

]=1x(?-1)=血-1=

V2+1-(V2+1)(72-1)-2-1-

1_lx(V3-V2)_V3-V2r-6

京亞一電+內(nèi)@一下二

1

同理可得:

2-V3

從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算

1

L1L+……+,____R=）（72009+1）的值.

V2+1V3+V2J2009+J2008

(五)達標(biāo)測試:

1、選擇題

⑴如果￡

(y>0)是二次根式，化為最簡二次根式是().

A.—^=(y>0)B.Jxy(y>0)C.?)(y>0)

D.以上都不對

(2)化簡二次根式

A,\l-a-2D、7a—2

2、填空：

(1)化簡J/+%2y2=.(x20)

(2)已知x=—7=-----,則x------的值等于.

V5-2x

3、計算:

4、計算：(a>0,6>0)

b2va

5、若x、y為實數(shù)，且y=一~~+*>求的值。

x+2

二次根式的加減學(xué)案(1)

學(xué)習(xí)內(nèi)容：

同類二次根式二次根式的加減

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、理解同類二次根式，并能判定哪些是同類二次根式

2、理解和掌握二次根式加減的方法.

3、先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解.再

總結(jié)經(jīng)驗，用它來指導(dǎo)根式的計算和化簡.

學(xué)習(xí)重點、難點

1、重點：二次根式化簡為最簡根式.

2、難點：會判定是否是最簡二次根式.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

(一)、復(fù)習(xí)引入

計算.(1)2x+3x；(2)2x2-3x2+5x2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a2

(二)、探索新知

學(xué)生活動：計算下列各式.

(1)26+3垃=(2)2我-3我+5m=

(3)#i+2#t+35百=(4)3百-25&=

由此可見，二次根式的被開方數(shù)相同也是可以合并的，如2夜與我表面上看是不相

同的，但它們可以合并嗎？也可以.(與整數(shù)中同類項的意義相類似我們把3百與一2代

3及、-2&與4&這樣的幾個二次根式，稱為同類二次根式)

30+&=3行+紀(jì)2=5&3百+收=36+36=6百

所以，二次根式加減時，先將二次根式化成最簡二次根式，再將同類二次根式進行

合并.

例1.計算(1)+巫(2)V16x+V64x

例2.計算(1)3屈-9J+3g(2)(V48+V20)+(V12-V5)

歸納：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；

第二步，將相同的最簡二次根式進行合并.

二、鞏固練習(xí)

(2)(V48+V20)+(V12-V5)

(4)^x49x-(x2

三、學(xué)生小組交流解疑，教師點撥、拓展

例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(g+y?)-(x2_5xJ—)的值.

四、課堂檢測

（一）、選擇題

1.以下二次根式：①巫；②亞;③島④歷中,與也是同類二次根式的

是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：①3\[3+3=6V3；②yV?=1；③V2+-\/6-V8-2V2；④=2A/2,

其中錯誤的有（）A.3個B.2個C.1個D.0個

3.在下列各組根式中，是同類二次根式的是（）

（A）、回和J。（B）總和J5（C）J商和和JR

4.下列各式的計算中，成立的是（）

(A)2+45=245(B)4V5-3V5=1(C)卜+丁=x+y（D）745-720=75

5.若4=-^=^—,b=——則

的值為（）

V2-1V2+1\b

(A)2(B)-2(0V2（D）272

二、填空題

1.在瓜、-415a.2何、7125,2癡'、3屁、-2、口中，與技是同

33aV8

類二次根式的有.

2.計算二次根式5JZ-3J^-7JZ+9的最后結(jié)果是

3.若最簡二次根式3j2x+l與J3x—1是同類二次根式,則尸.

4.若最簡二次根式歷工與"+歸是同類二次根式，則2=—,b=

5.計算：（1）—J27a3—優(yōu)J—F3aj-----VTo&z

3\aV34

三、綜合提高題

先化簡，再求值.(6x/—H--Jxy^)—(4xI—卜J36xy),其中A=一,尸27.

\xy\y2

二次根式的混合運算

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

熟練應(yīng)用二次根式的加減乘除法法則及乘法公式進行二次根式的混合運算。

二、學(xué)習(xí)重點、難點

重點：熟練進行二次根式的混合運算。

難點：混合運算的順序、乘法公式的綜合運用。

三、學(xué)習(xí)過程

(一)復(fù)習(xí)回顧:

1、填空

(1)整式混合運算的順序是：.

(2)二次根式的乘除法法則是：.

(3)二次根式的加減法法則是：o

(4)寫出已經(jīng)學(xué)過的乘法公式：

①②

2、計算：

(1)V6?V3a?(3)2V3-V8+-V12+-V50

25

(二)合作交流

1、探究計算：

(1)(V8+V3)XV6⑵(4A歷-3倔+20

2、探究計算：

(1)(V2+3)(V2+5)(2)(273-V2)2

(三)展示反饋

計算：(1)(-V27-V24-3J-)-VT2(2)(273-V5)(V2+V3)

3V3

注：整式的運算法則和乘法公式中的字母意義非常廣泛，可以是單項式、多項式，也可以

代表二次根式，所以整式的運算法則和乘法公式適用于二次根式的運算。

(四)拓展延伸

觀察：(夜一1)2=(夜)2-2xlx夜+f=2—2夜+1=3—2亞

反之，3—2&=2—2夜+1=(夜—I)?

3-2夜=(夜-1)2

/.73-272=72-1

仿上例，求：(1)；74+273

(2)你會算，4一也嗎?

(3)若八±2府=而+冊,則久n與a、6的關(guān)系是什么？并說明理由.

(六)達標(biāo)測試：

A組

1、計算：

(1)(780+90)4-75(2)V24-V3-V6x2V3

(3)(Ja3b-3ab+J加)+(7^)(a>0,Z>>0)

2、已知a=一一,b=-)2—,求J4+Z72+10的值。

V2-1V2+1

B組

1、計算：(1)(V3+V2-1)(V3-V2+1)(2)(3-VK))2009(3+V10)2009

《二次根式》復(fù)習(xí)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、了解二次根式的定義，掌握二次根式有意義的條件和性質(zhì)。

2、熟練進行二次根式的乘除法運算。

3、理解同類二次根式的定義，熟練進行二次根式的加減法運算和化簡。

二、學(xué)習(xí)重點、難點

重點：二次根式的計算和化簡。

難點：二次根式的混合運算，正確依據(jù)相關(guān)性質(zhì)化簡二次根式。

三、復(fù)習(xí)過程

(-)自主復(fù)習(xí)

1.若a>0,a的平方根可表示為a的算術(shù)平方根可表示

2.當(dāng)a時，2a有意義,當(dāng)a時，,3。+5沒有意義。

3.={(6_2)2=

4.714x748=V72-V18=

5.V12+V27=_______V125-V20=

(二)合作交流，展示反饋

1、式子)三=^^5成立的條件是什么？

Vx-577^5

2、計算：⑴2712x173-572(2)

4

3.計算：⑴V2-5V3-3V75(2)(一3尤一2g/

(三)精講點撥

在二次根式的計算、化簡及求值等問題中，常運用以下幾個式子：

(1)(y/a)2=a(a>0)^a=(V?)2(iz>0)

aa>0

(2)=|a|=<0a=0

-aa<0

(3)=y/^(aN0,bNQi)與=y/a?\/h(a>0,b>0)

(4)木=1920力>0)與.

(5)(a+b)2=a1±2ab+b2^(a+b\a—b)=cr—b2

(四)達標(biāo)測試：

1、選擇題:

A5B-5C±5D25

代數(shù)式經(jīng)2中，x的取值范圍是

(2)()

Jx-2

Ax>-4Bx>2C尤之一4月/工2Dx>—4且工w2

化簡二巖的結(jié)果是（

)

V27

A------D-V2

3

2、計算.

(1)V27-2V3+V45⑶(&+2)(6-2)

0口4V3-V2RV3+V2.11如初

3、已知a=-------,b=---------求------的值

22ab

第十七章勾股定理

課題：17.1勾股定理（1）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會用面積法證明勾股定理。

2.培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現(xiàn)問題總結(jié)規(guī)律的意識和能力。

學(xué)習(xí)重點：勾股定理的內(nèi)容及證明。

學(xué)習(xí)難點：勾股定理的證明。

學(xué)習(xí)過程：

一、自主學(xué)習(xí)

畫一個直角邊為3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的長。（勾3,股4,弦5）。

再畫一個兩直角邊為5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的長。

你是否發(fā)現(xiàn)3、42與5?的關(guān)系，5?+122和13?的關(guān)系，即3?+4252,52+122132,

那么就有2+（用勾、股、弦填空），對于任意的直角三角形也有這個性

質(zhì)嗎？

勾股定理內(nèi)容

文字表述：—幾何表述：—

二、交流展不

例1、已知：在AABC中，NC=90°,NA、NB、NC的對邊為a、b、c。求證：a2+b2=c2?

分析：⑴準(zhǔn)備多個三角形模型，利用面積相等進行證明。

⑵拼成如課本圖所示，其等量關(guān)系為：4sA+S小正=S大正

即4X，X+()z=c2,化簡可證。

2

例2已知：在△ABC中，ZC=90°,NA、ZB,NC的對邊為a、b、c。

222

求證：a+b=co

分析：左右兩邊的正方形邊長相等，則兩個正方形的面積相等。

左邊S=_____________

右邊S=_____________

左邊和右邊面積相等，即

化簡可得

三、合作探究

1.已知在RtaABC中，ZB=90°,a、b、c是△ABC的三邊，則

(l)c=o(已知a、b,求c)

(2)a=o(已知b、c,求a)

(3)b=o(已知a、c,求b)

2.如下表，表中所給的每行的三個數(shù)a、b、c,有aVbVc,試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律,

寫出當(dāng)a=19時，b,c的值，并把b、c用含a的代數(shù)式表示出來。

3、4、532+42=52

5、12、1352+122=132

7、24、2572+242=252

9、40、4192+402=412

19,b、c192+b2=c2

3.ZkABC的三邊a、b、c,

(1)若滿足b?=a2+c2,則=90°；

(2)若滿足b2＞，+a2,則NB是角;

（3）若滿足b'VcZ+aZ,則NB是角。

四、達標(biāo)測試

1.一個直角三角形，兩直角邊長分別為3和4,下列說法正確的是（）

2.斜邊長為25B,三角形的周長為25C.斜邊長為5D.三角形面積為20

3.一直角三角形的斜邊長比一條直角邊長多2,另一直角邊長為6,則斜邊長為（）

A.4B.8C.10D.12

4.直角三角形的兩直角邊的長分別是5和12,則其斜邊上的高的長為（）

A.6B.8C.—D.—

1313

5、已知，如圖1-1-5,折疊長方形（四個角都是直角，對邊相等）的一邊使點〃落在

死邊的點尸處，已知心8cm,5010cm,求CFCE

課題：17.1勾股定理（2）

教學(xué)目標(biāo)：

1.會用勾股定理進行簡單的計算。

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想。

重難點：

1.重點：勾股定理的簡單計算。

2.難點：勾股定理的靈活運用。

一、自主學(xué)習(xí)

1.勾股定理的具體內(nèi)容是：

2.如圖，直角△ABC的主要性質(zhì)是：NC=90°,（用幾何語言表示）

⑴兩銳角之間的關(guān)系：；

⑵若D為斜邊中點，則斜邊中線與斜邊的關(guān)系：

⑶若NB=30。，則NB的對邊和斜邊的關(guān)系：；

⑷三邊之間的關(guān)系：O

二、交流展示

例1、在RSABC,ZC=90°

⑴已知a=b=5,求c。⑵已知a=l,c=2,求b。⑶已知c=17,b=8,求a。

(4)已知a：b=l：2,c=5,求a。(5)已知b=15,ZA=30°，求a,c。

分析：剛開始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系。

⑴已知邊，求邊,直接用定理。⑵⑶已知邊和

邊，求邊，用勾股定理的變形式。⑷⑸已知一邊和兩邊比，求未知邊。通過前

三題讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學(xué)生明確已

知一邊和兩邊關(guān)系，也可以求出未知邊，學(xué)會見比設(shè)參的數(shù)學(xué)方法，體會由角轉(zhuǎn)化為邊的

關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想。

例2、已知直角三角形的兩邊長分別為5和12,求第三邊。

分析：已知兩邊中較大邊12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況分別進形計

算。讓學(xué)生知道考慮問題要全面，體會分類討論思想。

三、合作探究

例3、已知：如圖，等邊△ABC的邊長是6cm。

⑴求等邊△ABC的高.⑵求SAAK。

分析：勾股定理的使用范圍是在三角形中，因此注意要

創(chuàng)造三角形，作—是常用的創(chuàng)造三角形的輔助線做法。

欲求高CD,可將其置身于RtaADC或RtZXBDC中。

四、達標(biāo)測試

1.填空題

⑴在RtZ\ABC,NC=90°,a=8,b=15,貝Uc=。

⑵在RtZ\ABC,ZB=90°,a=3,b=4,貝!Jc=□

⑶在RtAABC,ZC=90",c=10,a：b=3：4,則a=,b=。

⑷一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為o

⑸已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5cm,,則第三邊長為。

(6)已知等邊三角形的邊長為2cm,則它的高為,面積為o

2.已知：如圖，在△ABC中，ZC=60°,AB=4A/3,AC=4,AD是BC邊上的高，求BC的

CDB

課題：17.1勾股定理（3）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.會用勾股定理解決簡單的實際問題。

2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想。

重點：勾股定理的應(yīng)用。

難點：實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。

學(xué)習(xí)過程：

一、自主學(xué)習(xí)

填空：在RtaABC,ZC=90°,

（1）如果a=7,c=25,貝!]b=。⑵如果NA=30°,a=4,貝!Jb=。

⑶如果NA=45°,a=3,貝!|c=。⑷如果c=10,a-b=2,貝！Ib=。

⑸如果a、b、c是連續(xù)整數(shù)，貝！Ia+b+c=。⑹如果b=8,a：c=3：5,貝！Ic=

二、交流展示

例1（教材P25頁例1）

D

分析：⑴在實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程中，注意勾股定理的使用條件，即門框r

為長方形，四個角都是直角。⑵探討圖中有幾個直角三角形？圖中標(biāo)字母的線段哪

條最長？⑶指出薄木板在數(shù)學(xué)問題中忽略厚度，只記長度，探討以何種方式通過？

⑷轉(zhuǎn)化為勾股定理計算，采用多種方法。/

A

三、合作探究

例2（教材P25頁例2）

如圖，一個3米長的梯子四，斜靠在一豎直的墻40上，這時40L

的距離為2.5米.如果梯子的頂端力沿墻下滑0.5米，那么梯子|氐_

底端5也外移0.5米嗎？（計算結(jié)果保留兩位小數(shù)）]\、、、O

分析：要求出梯子的底端6是否也外移0.5米，實際就是求即I\\、、

BDO

的長，而BAOD~OB

四、達標(biāo)測試

1.小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著45度的坡路走了500米，看到了一棵紅葉樹,

這棵紅葉樹的離地面的高度是米。

2.如圖，山坡上兩株樹木之間的坡面距離是4g米，則這兩株樹之間的垂直距離是

米，水平距離是米。

3.如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用15米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離

測得BC=50米，ZB=60°,則江面的寬度為o

5.一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在P、Q兩點，PQ=16厘米，且RP_LPQ,則

RQ=厘米o

課題：18.1勾股定理（4）

教學(xué)目標(biāo)

1.會用勾股定理解決較綜合的問題。2.樹立數(shù)形結(jié)合的思想。

重難點1.重點：勾股定理的綜合應(yīng)用。2.難點：勾股定理的綜合應(yīng)用。

一、自主學(xué)習(xí)

例4（教材P26頁探究）

分析：利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無理數(shù)點，進一步體會數(shù)軸上的點與實數(shù)一

一對應(yīng)的理論。（變式訓(xùn)練：在數(shù)軸上畫出表示6—1,2一行的點。）

二、交流展示

例1:已知：在RtZkABC中，NC=90°,CDJLBC于D,ZA=60°,

CD=g,求線段AB的長。

分析：本題是“雙垂圖”的計算題，“雙垂圖”需要掌握的知識點有：3個直角三角形，

三個勾股定理及推導(dǎo)式BC2-BD2=AC?-AD2,兩對相等銳角，四對互余角，及30°或45°特殊

角的特殊性質(zhì)等。

三、合作探究

1、探究：我們知道數(shù)軸上的點有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示

V13的點嗎？

分析：（1）若能畫出長為正的線段，就能在數(shù)軸上畫出表示J值的點.

（2）由勾股定理知，直角邊為1的等腰&△,斜邊為血.因此在數(shù)軸上能表示后的

點.那么長為的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊呢？

012345

在數(shù)軸上畫出表示J行的點？（尺規(guī)作圖）

2、如右祝螺旋帙圖形由普干個疊角三翩所組5成，其中①是、角邊長為]的等腰直角三

角形。那么OAi==,OAa=,0A3=,0A4=,

0A5=,OAe=,0A7=,-,0Ai4=____,…，0A〃=.

四、達標(biāo)測試

1.ZkABC中，AB=AC=25cm,高AD=20cm,則BC=,SAABC=。

2.AABC中，若NA=2NB=3/C,AC=2gcm,貝!]NA=度，ZB=度，N

C=度9BC=,S

3.△ABC中，ZC=90°,AB=4,BC=2百，CDJ_AB于D,貝UAC=,CD=

BD=>AD=,SAABCF

4.已知：如圖，在△腕中，ADLBC于D,AB=6,AO4,538,求?BD,加的長.

5,已知：如圖,

的面積。

教學(xué)目標(biāo)

1.體會勾股定理的逆定理得出過程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的證明方法。

3.理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。

重難點1.重點：掌握勾股定理的逆定理及證明。

2.難點：勾股定理的逆定理的證明。

一、自主學(xué)習(xí)

1.說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？

(1)同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行。

⑵如果兩個實數(shù)的平方相等，那么兩個實數(shù)平方相等。

⑶線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。

⑷直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

2.勾股定理的逆定理__________________________________

小結(jié)注：(1)每一個命題都有逆命題.

(2)一個命題的逆命題是否成立與原命題是否成立沒有因果關(guān)系.

(3)每個定理都有逆命題，但不一定都有逆定理.

二、交流展示

例1(P32探究)證明：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+b2=c2,那么這個三角形

是直角三角形。

例2：判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三刎:

(1)a=15,b=8,c=17.(2)a=13,b=14,c=15.

用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷那條邊

最大。②分別用代數(shù)方法計算出a'+b?和不的值。③判斷a'+b?和c?是否相等，若相等，則

是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形。

三、合作探究

例3、已知：在△ABC中，NA、NB、NC的對邊分別是a、b、c,a=n2-l,b=2n,

c=n2+l(n>l)求證：ZC=90°。

四、達標(biāo)測試

1.填空題。

⑴任何一個命題都有,但任何一個定理未必都有。

⑵“兩直線平行，內(nèi)錯角相等。”的逆定理是O

⑶在△ABC中，若a?=b2-c2,則△ABC是三角形，是直角；

若a2<b2—c2,則NB是o

⑷若在△ABC中，a=m2—n2,b=2mn,c=m2+n2,則△ABC是三角形。

(5)△ABC的三邊之比是1：1：V2,則△ABC是三角形。

2.下列四條線段不能組成直角三角形的是()

A.a=8,b=15,c=17B.a=9,b=12,c=15

C.a=舊,c=V2D.a：b：c=2：3：4

3.已知：在aABC中，NA、NB、NC的對邊分別是a、b、c,分別為下列長度，判斷該

三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？

(l)a=-x/3,b=2y/2,c=V5;⑵a=5,b=7,c=9；⑶a=2,b=百，c=V7；

(4)a=5,b=2y[6,c=l。(5)a=5k,b=12k,c=13k(k>0)?

課題：18.1勾股定理的逆定理(2)

教學(xué)目標(biāo)1.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題。

2.進一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識。

重難點1.重點：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題。

2.難點：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題。

一、自主學(xué)習(xí)

1,若三角形的三邊是(D1、73,2；⑵(3)32,42,52⑷9,40,41；(5)

345

(m+n)'—I,2(m+n),(m+n)2+1；則構(gòu)成的是直角三角形的有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

2,已知：在△ABC中，NA、NB、NC的對邊分別是a、b、c,分別為下列長度，判斷該三

角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？

⑴a=9,b=41,c=40；⑵a=15,b=16,c=6；⑶a=2,b-243.c=4；

二、交流展示

例1課本(P33例2)分析：川

(1)解方位角，及方位名詞；⑵依題意畫出圖形；[遠(yuǎn)航號

⑶依題意可求PR,PQ,QR;

海天號R//

⑷根據(jù)勾股定理的逆定理，求NQPR；⑸求NRPN。\/

------------隼-----------海岸線

小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識。|

例2、一根30米長的細(xì)繩折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長

7米，比較長邊短1