2021年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的旋轉(zhuǎn)與相似

2021年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的旋轉(zhuǎn)與相似

一、選擇題（共6小題）

1.（2021?黃石）如圖，AABC的三個頂點都在方格紙的格點上，其中A點的坐標(biāo)是（-1,0）,現(xiàn)將AA8C繞A

點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，則旋轉(zhuǎn)后點C的坐標(biāo)是（）

C.(-2,2)D.(-3,2)

2.（2021?賀州）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（3,2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（）

A.(-3,2)B.(3,-2)C.(-2,-3)D.(-3,-2)

3.(2021?哈爾濱)如圖，在AABC中，DE//BC,4)=2,BD=3,AC=10,則的長為()

4.（2021?廣西）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與點P（3,4）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（）

A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,3)

5.（2021?本溪）下列漂亮的圖案中似乎包含了一些曲線，其實它們這種神韻是由多條線段呈現(xiàn)出來的，這

些圖案中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

6.（2021?安徽）如圖，在菱形A88中，AB=2,ZA=120°,過菱形A88的對稱中心O分別作邊AB,

3c的垂線，交各邊于點￡,F,G,H,則四邊形EFG”的周長為（）

A.3+73B.2+2&C.2+GD.1+2>73

二、填空題（共5小題）

7.（2021?上海）定義：在平面內(nèi)，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距離，在平面內(nèi)

有一個正方形，邊長為2,中心為O,在正方形外有一點P,OP=2,當(dāng)正方形繞著點。旋轉(zhuǎn)時，則點P到

正方形的最短距離d的取值范圍為

C

8.（2021?青海）如圖所示的圖案由三個葉片組成，繞點O旋轉(zhuǎn)120。后可以和自身重合.若每個葉片的面積

為4c>,NAO3為120。，則圖中陰影部分的面積之和為cm2.

9.（2021?牡丹江）如圖，矩形ABCD中，AD=?AB,點E在3c邊上，且AE=A￡>,。尸_LAE于點

連接。E,BF,8尸的延長線交QE于點O,交C￡>于點G.以下結(jié)論：

?AF=DC,②OF:BF=CE:CG,③/?“=夜$必《;，④圖形中相似三角形有6對，則正確結(jié)論的序號

10.(2021?撫順)在平面直角坐標(biāo)系中，點M(-2,4)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是.

2

11.(2021?大慶)已知2=2=三，則r+X)'=

234yz----

三、解答題(共9小題)

12.(2021?長春)如圖，在菱形AB8中，對角線AC與應(yīng))相交于點O,AC=4,8。=8,點E在邊4)

上，AE=-AD,連結(jié)班1交AC于點M.

3

(1)求AM的長.

(2)tan/MBO的值為.

13.(2021?江西)已知正方形ABCD的邊長為4個單位長度，點E是CD的中點，請僅用無刻度直尺按下列

要求作圖(保留作圖痕跡).

(1)在圖1中，將直線AC繞著正方形438的中心順時針旋轉(zhuǎn)45。；

(2)在圖2中，將直線AC向上平移1個單位長度.

14.(2021?百色)如圖，PM、PN是OO的切線，切點分別是A、B,過點O的直線CE//PN,交O。于

點C、D,交.PM于點、E,AO的延長線交PN于點尸，若BCI/PM.

(1)求證：ZP=45°；

(2)若8=6,求PF的長.

N

15.(2021?黑龍江)己知ZABC=60°,點F在直線8c上，以AF為邊作等邊三角形AFE,過點E作EDA.AB

于點。.請解答下列問題:

圖①圖②圖③

(1)如圖①，求證：AB+BF=2BD；

(2)如圖②、圖③，線段AB,BF,8D又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需要證明.

16.(2021?黑龍江)如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),

A4BO的三個頂點坐標(biāo)分別為A(-l,3),8(-4,3),0(0,0).

(1)畫出AA8O關(guān)于x軸對稱的△4與0,并寫出點A的坐標(biāo);

(2)畫出A48O繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的△人與。，并寫出點兒的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下，求點A旋轉(zhuǎn)到點為所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留；r).

17.（2021?貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）.如圖，已知AABC,iLAB>AC.

（1）在AB邊上求作點O,使￡>B=￡）C；

（2）在AC邊上求作點E,使AADEs.CB.

18.（2021?綏化）如圖所示，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，把小正方形的頂點叫做

格點，O為平面直角坐標(biāo)系的原點，矩形。WC的4個頂點均在格點上，連接對角線03.

（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點O為位似中心，把AOAB縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似

圖形與A。記的相似比等于4；

2

（2）將AOAB以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△。4,耳，作出△04百，并求，出線段03旋轉(zhuǎn)過

程中所形成扇形的周長.

19.（2021?北京）如圖，在AABC中，AB=AC,ABAC=a,M為8c的中點，點。在上，以點A為

中心，將線段AD順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接BE,DE.

（1）比較NS4E與NC4D的大??；用等式表示線段BE,BM,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）過點〃作A3的垂線，交DE于氤N,用等式表示線段NE與N￡>的數(shù)量關(guān)系，并證明.

E

20.(2021?重慶)在等邊A48c中，AB=6,f3D±AC,垂足為。，點E為"邊上一點，點F為直線BD

上一點，連接印.

(1)將線段EF繞點￡逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG,連接FG.

①如圖1,當(dāng)點E與點3重合，且GF的延長線過點C時，連接OG,求線段。G的長;

②如圖2,點E不與點A,8重合，G尸的延長線交邊于點H,連接求證：BE+BH=6BF；

(2)如圖3,當(dāng)點E為中點時，點M為比;中點，點N在邊AC上，且DN=2NC,點、F從BD中點、Q

沿射線QD運動，將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EP,連接尸P,當(dāng)最小時，直接寫

2

出ADPN的面積.

圖2圖3

2021年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之圖形的旋轉(zhuǎn)與相似

參考答案與試題解析

一、選擇題（共6小題）

1.（2021?黃石）如圖，A4BC的三個頂點都在方格紙的格點上，其中A點的坐標(biāo)是（-1,0）,現(xiàn)將AABC繞A

點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，則旋轉(zhuǎn)后點C的坐標(biāo)是（）

C.(-2,2)D.(-3⑵

【答案】B

【考點】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

【專題】幾何直觀；作圖題

【分析】利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出3,C的對應(yīng)點8,C可得結(jié)論.

【點評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，平移等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，屬于中

考常考題型.

2.（2021?賀州）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（3,2）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（）

A.(-3,2)B.(3,-2)C.(-2,-3)D.(-3,-2)

【答案】D

【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)

【專題】符號意識；平面直角坐標(biāo)系

【分析】兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點P(x,y)關(guān)于原點O的對稱點是尸(-x,-y).

【解答】解：點(3,2)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是：(-3,-2).

故選：D.

【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的符號是解題關(guān)鍵.

3.(2021?哈爾濱)如圖，在AABC中，DEHBC,4)=2,應(yīng))=3,AC=1O,則的長為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【考點】平行線分線段成比例

【專題】推理能力；圖形的相似

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例由0E//3C得到絲=空，然后根據(jù)比例的性質(zhì)可求出

ABAC

【解答】解：???￡>￡/ABC,

ADAE

..---=---,

ABAC

?.,4)=2,BD=3,AC=\O,

,2AE

"2+3--m(

:.AE=4.

故選：B.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.

4.(2021?廣西)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)與點尸(3,4)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是()

A.(-3,4)B.(-3,-4)C.(3,-4)D.(4,3)

【答案】B

【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)

【專題】平面直角坐標(biāo)系；符號意識

【分析】平面直角坐標(biāo)系中任意一點P(x,y),關(guān)于原點的對稱點是記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)

系的圖形記憶.

【解答】解：點P（3,4）關(guān)于中心對稱的點的坐標(biāo)為（-3,-4）.

故選：B.

【點評】此題主要考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的符號關(guān)系是解題關(guān)鍵.

5.（2021?本溪）下列漂亮的圖案中似乎包含了一些曲線，其實它們這種神韻是由多條線段呈現(xiàn)出來的，這

些圖案中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

【答案】A

【考點】軸對稱圖形；中心對稱圖形

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；空間觀念

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：A.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：A.

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折

疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

6.（2021?安徽）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°,過菱形的對稱中心O分別作邊他，

3c的垂線，交各邊于點E,F,G,H,則四邊形EFG”的周長為（）

A.3+6B.2+26C.2+x/3D.l+2x/3

【答案】A

【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；中心對稱；菱形的性質(zhì)

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；矩形菱形正方形；推理能力

【分析】證明是等邊三角形，求出防，同法可證ADG",AEOH,都是等邊三角形，求出￡77,

GF,FG即可.

【解答】解：如圖，連接瓦＞,AC.

???四邊形ABCD是菱形，ZBAD=120°,

；.AB=BC=CD=AD=2,ZBAO=ZDAO=60°,BDLAC,

ZABO=ZCBO=30°.

OA=—AB=1,OB=A/3OA=G,

2

?,OE±AB,OF上BC,

：.ZBEO=/BFO=%。,

在ABEO和AB尸O中，

/BEO=/BFO

<ZEBO=ZFBO,

BO=BO

:.^BEO=ABFO(AAS),

:.OE=OF,BE=BF,

???ZEBF=60。，

；.MEF是等邊三角形,

.?.￡F=BE=V3X—=-,

22

同法可證，NDGH,\OEH,AO/G都是等邊三角形，

,'.EF=GH=-EH=FG=—,

292

二.四邊形ER3H的周長=3+6，

故選：A.

【點評】本題考查中心對稱，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型.

二、填空題（共5小題）

7.（2021?上海）定義：在平面內(nèi)，一個點到圖形的距離是這個點到這個圖上所有點的最短距離，在平面內(nèi)

有一個正方形，邊長為2,中心為O,在正方形外有一點尸，OP=2,當(dāng)正方形繞著點。旋轉(zhuǎn)時，則點P到

正方形的最短距離d的取值范圍為_2-何口1_.

C

【答案】2-也融1.

【考點】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【專題】矩形菱形正方形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力

【分析】由題意以及正方形的性質(zhì)得OP過正方形A8CD各邊的中點時，d最大,OP過正方形A8CD的頂

點時，d最小，分別求出d的值即可得出答案.

【解答】解：如圖：設(shè)他的中點是￡,OP過點￡時，點O與邊口上所有點的連線中，OE最小，此時d=PE

最大，OP過頂點A時，點。與邊河上所有點的連線中，最大，此時4=R4最小，

如圖①：?.?正方形ABCD邊長為2,O為正方形中心,

：.AE^1,ZOAE=45°,OE1AB,

:.OE=\,

-,-OP=2,

:.d=PE=l；

如圖②：?.?正方形ABC。邊長為2,。為正方形中心，

:.AE=1,Z.OAE=45°,OEYAB,

：.OA=y/2,

?.6=2,

:.d=PA=2-yf2；

的取值范圍為2-夜蒯/1.

故答案為：2-夜蒯/1.

【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意得出d最大、最小時點尸的位置是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?青海）如圖所示的圖案由三個葉片組成，繞點O旋轉(zhuǎn)120。后可以和自身重合.若每個葉片的面積

為4c>,NAOB為120。，則圖中陰影部分的面積之和為4cm,.

【考點】旋轉(zhuǎn)對稱圖形

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；幾何直觀

【分析】由于NAOB為120。，由三個葉片組成，繞點O旋轉(zhuǎn)120。后可以和自身重合，所以圖中陰影部分的

面積之和等于三個葉片的面積和的三分之一.

【解答】解：?.?三個葉片組成，繞點O旋轉(zhuǎn)120。后可以和自身重合，

而NAOB為120。，

圖中陰影部分的面積之和=3（4+4+4）=4（的2）.

故答案為4.

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形：如果某一個圖形圍繞某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于360。）后能與原圖形

重合，那么這個圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形.

9.（2021?牡丹江）如圖，矩形中，A。=,點E在邊上，且AE=AZ）,。尸_LAE于點F,

連接。E,BF,3尸的延長線交小于點O,交CD于點G.以下結(jié)論:

@AF=DC，②OF:BF=CE:CG,③=啦$皿<；，④圖形中相似三角形有6對，則正確結(jié)論的序號

是①②.

【答案】①②.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【專題】三角形；矩形菱形正方形；應(yīng)用意識

【分析】①根據(jù)A4S證AD戶E=ADCE■即可得￡>F=￡>C,根據(jù)A￡>=043,得出即A45E是等

腰直角三角形，A/也是等腰直角三角形，即AfuDFuDC,故①正確；

②作FH_LA￡>于H,得出歹是3G的中點，即BF=FG,連接Cr，證XOEFsmCG即可得證

OF:BF=CE-.CG,即②正確；

③令4?=1,分別求出DG和CG的長度，可得出CG=e〃G,故48“=夜5必憶錯誤，即③不正確；

④根據(jù)角相等可以得出圖形中相似三角形如下：^ABE^/SAFD,這是1對；AABF^AOEF^AADE,可組

成3對；ABCGsADCEsAD莊，又可組成3對；ABEF^ABOE^^DOG^AFDG,還可組成6對.綜上，

圖形中相似三角形有13對，故④不正確.

【解答】解：?-;AE=AD,AD=41AB,

：.AE=4IAB,

即A43E是等腰直角三角形,

,-.ZBAE=45°,

.?.Zft4F=900_45°=45。，

即A4/D為等腰直角三角形,

：.AF=DF,

?;ADIIBC,

.-.ZADE=ZDEC,

.AE^AD,

:.ZAED=ZADE,

:.ZAED=ADEC,

又?；NDFE=ZDCE=90。,DE=DE,

\DFE=\DCE(AAS),

:.DF=DC,

即AF=DC,

故①正確：

②由①知A4AD為等腰直角三角形，

如圖1,作/H_L4)于，，連接CF,

.?.點〃是AD的中點，

點尸是BG的中點，

即BF=FG=FC,

vZAEB=45o,

NEFC=Z.ECF=-ZAEB=22.5°,

2

ZFCG=ZFGC=90。一22.5°=67.5°,

ZOFE=ZAFB=g(180°-45°)=67.5°,ZOEF=90°-Z￡DF=90°-22.5°=67.5°,

/.ZFCG=ZFGC=ZOFE=NOEF,

:.AGFC^AFOE,

:.OF:FC=EF,CG,

又?；FC=BE,EF=CE,

:.OF-.BF=CE:CG,

即②正確；

③令A(yù)B=1,則AQ=A￡=BC=夜，

.-.C￡=V2-1,

?/ZGBC=ZEDC,ZDCE=ZBCG=90°,

...ABCGSADCE,

BCDC

~CG~~CE

V21

即：

CG-V2-1

CG=2-,^2,

DG=1—(2—>/2)=5/2—1,

:.CG=&DG,

'''SgCG=J5SAO.G不成“，

即③不正確；

④根據(jù)角相等可以得出圖形中相似三角形如下：AABESWD,這是1對；AABF^AOEF^AADE,可組

成3對；ABCGSADCESAOFE,又可組成3對；\BEF^^OE^^DOG^\FDG,還可組成6對，

綜上，圖形中相似三角形有13對，故④不正確.

故答案為：①②.

【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用輔助線構(gòu)造相似三角形

是解題的關(guān)鍵.

10.(2021?撫順)在平面直角坐標(biāo)系中，點M(-2,4)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是_(2,-4)

【答案】(2,-4).

【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)

【專題】數(shù)感；平面直角坐標(biāo)系

【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得答案.

【解答】解：點(-2,4)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為(2,T).

故答案為：(2,-4).

【點評】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于原點對

稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

11.(2021?大慶)已知±=上=三，則'*.

234yz16一

【考點】比例的性質(zhì)

【專題】實數(shù)；運算能力

【分析】設(shè)2=2=三=4，分別求出X、y、Z的值，代入所求式子化簡即可.

234

【解答】解：設(shè)f=2=三=R，

234

/.x=2kfy=3kfz=4A,

./+外4r+2h3。101_5

-yz-3h4Z~-12F~6T

故答案為3.

6

【點評】本題考查比例的性質(zhì)，利用比值相等的特點，將已知等式進行轉(zhuǎn)化得到x=2A:,y=3k,z=4l是

解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共9小題）

12.（2021?長春）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與如相交于點O,AC=4,BD=8,點E在邊AD

上，AE=-AD,連結(jié)班'交AC于點M.

3

（1）求AW的長.

（2）tan/MBO的值為

【答案】（1）1.

【考點】菱形的性質(zhì)；解直角三角形；相似三角形的判定與性質(zhì)

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；矩形菱形正方形：推理能力

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得MSWSACBM,再由也.=空求解.

CMBC

（2）由tanNMBO="求解.

BO

【解答】解：（1）在菱形ABCD中，

AD//BC,AD=BC,

..AAEMSACBM，

.AMAE

CM'

?/AE=-AD,

3

：.AE=-BC,

3

.AMAE_\

"CM~BC~3,

AM=-CM=-AC=].

34

（2）■.■A0=-AC=2,f3O=-BD=4,ACrBD,

22

:.ZBOM=90°,AM=OM=-AO=\,

2

tanNMBO=.

BO4

故答案為：

4

【點評】本題考查菱形與直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)與解直角三角形的方法.

13.（2021?江西）已知正方形ABCD的邊長為4個單位長度，點E是8的中點，請僅用無刻度直尺按下列

要求作圖（保留作圖痕跡）.

（1）在圖1中，將直線AC繞著正方形438的中心順時針旋轉(zhuǎn)45。；

（2）在圖2中，將直線AC向上平移1個單位長度.

【考點】作圖-平移變換；正方形的性質(zhì)；作圖-旋轉(zhuǎn)變換；全等三角形的判定與性質(zhì)

【專題】幾何直觀；作圖題；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可作出圖形；

（2）根據(jù)平移的性質(zhì)即可作出圖形.

【解答】解：（1）如圖1,直線/即為所求；

圖2

（2）如圖2中，直線a即為所求.

【點評】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，作圖-平移變換，正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

和平移的性質(zhì).

14.（2021?百色）如圖，PM、/W是。。的切線，切點分別是A、B,過點O的直線CE//PN,交。。于

點C、D,交于點E,AD的延長線交PN于點尸，若3C7/PM.

（1）求證：NP=45。；

（2）若C￡>=6,求PF的長.

【答案】（1）見解析；（2）PF=3.

【考點】圓周角定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質(zhì)；切線的性質(zhì)

【專題】圖形的相似；正多邊形與圓；應(yīng)用意識

【分析】（1）連接03,PM、PN切。。于點A、B,根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形P3CE是平行四

邊形，即NP=NC=45。，

（2）CD=6,由（1）得N1=NP=45。，根據(jù)勾股定理得出OE的長度，由相似三角形的判定得出

AAED^AAPF,根據(jù)相似比可以得出尸尸的長.

【解答】解：(1)證明：連接08,

?；PM、PN切OO于點A、B,

:.OALPM,OB工PN,

?：CEHPN,

,\OB±CE9

???OB=OC,

.\ZC=45°,

?,BC〃PM,

四邊形尸3CE是平行四邊形，

/.ZP=ZC=45°；

(2)?.?8=6,

:.OB=OA=OD=3,

由(1)WZ1=ZP=45°,

AE=OA=3，

:.OE=V32+32=3y/2=BC,

:.PE=BC=3^,ED=OE-OD=3x/2-3,

-,-ED//PF,

AAEZ>^AAPF，

AEED

——=——,

APPF

即--=巫2,

30+3PF

:.PF=3.

【點評】本題考查相似三角形的判定與定理、垂徑定理、圓周角定理、切線的性質(zhì).解本題要熟練掌握相

似三角形的判定與定理、垂徑定理、圓周角定理、切線的性質(zhì)等這些基本知識點.

15.(2021?黑龍江)已知60°,點F在直線上，以AF為邊作等邊三角形AFE,過點E作ED±AB

于點。.請解答下列問題：

圖①圖②圖③

(1)如圖①，求證：AB+BF=2BD-,

(2)如圖②、圖③，線段AB,BF,8。又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需要證明.

【答案】(1)證明見解析部分.

(2)如圖②，結(jié)論：AB—BF=2BD,如圖③，結(jié)論：BF-AB=2BD,證明見解析部分.

【考點】幾何變換綜合題

【專題】幾何綜合題；推理能力

【分析】(1)如圖①中，連接8E,在8c的延長線上截取3T,使得37=84,連接AT.根據(jù)等邊三角形

的性質(zhì)得到AF=AE,N7XB=ZE4E=60。，推出NZ477=Na4E,證得AA7F三AAfiE,根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)得到7F=BE,ZA7B=ZAB￡=60°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到80='BE,等量代換

2

即可得到結(jié)論；

(2)①如圖②中，結(jié)論：AB—BF=2BD.連接5E,在BC的延長線上截取BT,使得=84,連接AT.根

據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到4C=A8,AF^AE,NC4B=NE4E=60。，推出NC4尸=NB4E,證得

AACF=MBE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=3E,NC=NASE=60。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

BI)=-BE,等量代換即可得到結(jié)論.②如圖③中，結(jié)論：BF-AB=2BD,證明類似①中.

2

【解答】(1)證明：如圖①中，連接8E,在3c的延長線上截取取，使得取=84,連接AT.

E

:./\ABT是等邊二角形，

vAABT,AAEF是等邊三角形，

/.AT=AB,AF=AE,N7XB=NE4E=60。，

:.ZTAF=ZBAE,

在AA7F與AAB石中，

AT=AB

<ZTAF=ZBAE,

AF=AE

M7F=MBE(SAS),

:.TF=BE,NA7B=NA晅=60。，

v￡D±AB,

:.ZDEB=30°,

:.BD=-BE,

2

:.TF=2BD,

?.?BT=AB,

.\AB+BF=2BD.

(2)①如圖②，結(jié)論：AB-BF=2BD.

理由：連接BE,在8C的延長線上截取仃，使得87=84,連接AT.

圖②

\AABT,AAEF是等邊三角形，

/.AT=AB,AF=AE,ZTAB=ZFAE=60°,

:.ZTAF=ZBAE,

在AA7F與AABE中，

AT=AB

<ZTAF=/BAE,

AF=AE

M7F會/SABE(SAS),

:.TF=BE,ZATF=ZABE=60。，

:.ZEBD=60°，

vED±AB,

.\ZDEB=30°,

:.BD=-BE,

2

:.TF=2BD,

-：BT=AB,

:.AB=2BD,

:.AB-BF=2BD.

②如圖③，結(jié)論：BF-AB=2BD.

理由：連接BK,在3。上截取BT,使得BT=BA,連接AT.

圖③

vAABT,AA￡F是等邊三角形，

:.AT=AB,AF=AE,

.\ZTAF=ZBAE,

在AA7F與AASE中，

AT=AB

<ZTAF=ZBAE,

AF=AE

^ATFMBE(SAS),

:.TF=BE,ZA7F=ZABE=120。，

.-.ZEBD=60°

??."￡?=30。，

:.BD=-BE

2f

:.TF=2BD,

?.?BT=AB,

:,BF-AB=2BD

【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)，

正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

16.(2021?黑龍江)如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),

A4BO的三個頂點坐標(biāo)分別為A(—l,3),8(-4,3),0(0,0).

(1)畫出AA3O關(guān)于x軸對稱的△并寫出點4的坐標(biāo)；

(2)畫出A43O繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的△人&0,并寫出點&的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，求點A旋轉(zhuǎn)到點A?所經(jīng)過的路徑長(結(jié)果保留；r).

【答案】(1)作圖見解析部分，A的坐標(biāo)(-1,-3)；

(2)作圖見解析部分，點4的坐標(biāo)(3,1)；

小回

(3)-----71.

2

【考點】軌跡；作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-軸對稱變換

【專題】幾何直觀；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱

【分析】(1)利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A,B的對稱點A，即可.

(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A,3的對應(yīng)點為,區(qū)即可.

(3)利用弧長公式/=也，求解即可.

180

【解答】解：(1)如圖，△4與。即為所求，點4的坐標(biāo)(-1,-3)；

(2)如圖，即為所求，點4的坐標(biāo)(3,1)；

(3)點A旋轉(zhuǎn)到點兒所經(jīng)過的路徑長=甄二叵=典萬

1802

【點評】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，軸對稱變換，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換，軸

對稱變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型.

17.（2021?貴港）尺規(guī)作圖（只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）.如圖，已知AABC,且

（1）在A3邊上求作點O,使。8=DC；

（2）在AC邊上求作點E,使AADESA4cB.

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖-相似變換

【專題】作圖題；幾何直觀

【分析】（1）作線段8c的垂直平分線交A8于點。，連接8即可.

（2）作NA0T=NACB,射線0T交AC于點E,點E即為所求.

【解答】解：（1）如圖，點。即為所求.

（2）如圖，點E即為所求.

【點評】本題考查作圖-相似變換，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用

所學(xué)知識解決問題.

18.（2021?綏化）如圖所示，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，把小正方形的頂點叫做

格點，O為平面直角坐標(biāo)系的原點，矩形。4BC的4個頂點均在格點上，連接對角線08.

（1）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點O為位似中心，把AOAB縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似

圖形與AQ鉆的相似比等于4：

2

（2）將Aas以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△OAB「作出△。4田，并求，出線段08旋轉(zhuǎn)過

(2)4A/13+713^-.

【考點】矩形的性質(zhì)：弧長的計算：作圖-旋轉(zhuǎn)變換：作圖-位似變換

【專題】作圖題；幾何直觀

【分析】(1)根據(jù)位似變換的性質(zhì)作出圖形即可，注意有兩種情形.

(2)利用勾股定理，弧長公式求解即可.

【解答】解：(1)如圖，△OA6或△04"次即為所求.

（2）如圖，即為所求.0B="+6,=2g,

線段08旋轉(zhuǎn)過程中所形成扇形的周長=2x2萬+也為叵=4乃.

180

【點評】本題考查作圖-位似變換，旋轉(zhuǎn)變換，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),

屬于中考?？碱}型.

19.（2021?北京）如圖，在AAfiC中，AB=AC,ZBAC=a,M為BC的中點，點。在上，以點A為

中心，將線段4）順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE,連接DE.

（1）比較N&4E與NC4D的大?。挥玫仁奖硎揪€段BE,BM,用。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（2）過點M作/記的垂線，交DE于氤N,用等式表示線段NE與A?的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）ZBAE=ZCAD,BE+MD=BM；（2）EN=DN.

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力

【分析】（1）由NZM￡=44C可得44E=NC4￡>,然后SAS證=AAC￡>即可；

（2）作.9交3c于〃，可證ABEFm&BHF得BE=BH,再證用H=再借助肱V///7F,由平

行線分線段成比例即可證出.

【解答】解：（1）-.-ZDAE=ZBAC=a,

ZDAE-ABAD=ABAC-ABAD,

即Nfi4E=NCM>,

在AASE和AACD中，

AB=AC

<Z.BAE=Z.CAD,

AE=AD

.■.AABEwAAC5sAS）,

:.BE=CD,

?.?M為3c的中點，

/.BM=CM,

:.BE+MD=BM；

(2)如圖，作交8C于”，交AB于尸，

由(1)AA8EMAA8得：ZABE=ZACD,

-.■ZACD=ZABC,

:.ZABE=ZABD,

在Afi防和中，

,ZEBF=ZHBF

<BF=BF,

NBFE=NBFH

^BEF三ABHF(ASA),

:.BE=BH,

由(1)知：BE+MD=BM,

:.MH=MD,

?：MNIIHF,

.ENMH

"而一礪’

【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的對稱性等知識，作

構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

20.（2021?重慶）在等邊AA8c中，AB=6,BDrAC,垂足為D,點,E為AB邊上一點，點F為直線BD

上一點，連接￡F.

（1）將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG,連接FG.

①如圖1,當(dāng)點E與點8重合，且G/7的延長線過點C時，連接。G,求線段OG的長；

②如圖2,點￡不與點A,8重合，G尸的延長線交BC邊于點H,連接求證：BE+BH=-^BF；

（2）如圖3,當(dāng)點E為相中點時，點M為破中點，點N在邊AC上，且DN=2NC,點F從BD中點Q

沿射線。。運動，將線段所繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段），連接尸尸，當(dāng)NP+g〃P最小時，直接寫

出ADPN的面積.

【答案】（1）①句;

②證明見解答過程；

⑵”

3

【考點】幾何變換綜合題

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形：推理能力；模型思想；應(yīng)用意識

【分析】（1）①過。作七），_LGC于”，先證明ABG/是等邊三角形，求出CD長度，再證明BFuCVuG/7,

從而在RlABDC中，求出CF=———=--一=26,即得G5,在RtACDH中，求出

cosZDCFcos30°

￡>”=C￡>-sin30°=a和C〃=C￡）cos30°=更，可得GH=GF+FH=史,RtAGHD中，即可得到

222

DG=-JGH2+DH2=721；

②過E作交3。于P,過”作MH_L3C交皮）于M,連接尸G,作3P中點N,連接EV,由

ZABC+ZE/77=180°,得B、E、F、〃共圓，可得NFBH=/FEH,從而可證//F=GF,由￡、P、

F、G共圓可得/比斷=/6尸尸=60。，故.暮JFPwHFM,PF=FM,可得NF=MH,BF=MH+EP,

h巧

在RtABEP中，EP=BEtan300=—BE,RtRVIHB中，MH=BH-tan300=—BH,即可得到

33

BE+BH=y/3BF；

（2）以M為頂點，MP為一邊，作NHWL=30。，ML交,BD于G,過尸作于H,設(shè)初戶交3D于

K,RtAPMH中，HP=-MP,NP+^MP最小即是NP+HP最小，此時N、P、”共線，而將線段EF

22

繞點E?順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EP,可得NQK尸=NFEP=60。，從而可證ML//AC,四邊形GMVD是矩

形，由DN=2NC,得DN=GH=2,由等邊AABC中，AB=6,點后為AB中點時，點M為8E中點，可

得8M=3,BD=ABsinA=3y/3,RtABGM中，MG=-BM=-,BG=cos30°=—,可求

2244

MH=MG+GH=—,GD=BD-BG=^—,RtAMHP中，可得HP=—^—,從而可得

4412

PN=HN-HP=GD—HP=^~,故$ADPN=；PN,DN=更?

【解答】解：（1）①過。作D"_LGC于”，如圖：

???線段￡F繞點上逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EG,點￡與點3重合，且G尸的延長線過點C,

，BG=BF,N—5G=60°,

:.ABGF是等邊三角形，

/.ZBFG=ZDFC=60°,BF=GF,

??等邊A/WC,AB=6,BD1.AC,

.ZDCF=180°-ZBDC-Z.DFC=30°,NDBC=1ZABC=30。,CD=-AC=-AB=3f

222

4BCG=ZACB-ADCF=30°,

ZBCG=ZDBC,

；,BF=CF,

；,GF=CF,

RtAFDC中，CF=———=―-—=26，

cosZ.DCFcos30°

.-.GF=2y/3,

RtACDH中，DH=CDsin300=-,CH=CDcos300=—,

22

：.FH=CF-CH=—,

2

sh

??.GH=GF+FH=-

2f

RtAGHD中，DG=\lGH2+DH2=后；

②過E作￡?，他交班）于尸，過H作MHLBC交BD于M,連接PG,作B尸中點N,連接回V,如圖:

???EF繞點￡逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EG,

/.AEGF是等邊三角形，

/.Z.EFG=AEGF=Z.GEF=60°,NEFH=120。,EF=GF,

???AABC是等邊三角形，

/.ZABC=60°,

:.ZABC+ZEFH=\S00,

...B、E、F、”共圓，

.\ZFBH=ZFEHf

而AABC是等邊三角形，BDVAC,

:.ADBC=ZABD=3(T,即NFBH=30。，

/./FEH=30。,

ZFHE=180O-ZEFH-ZFEH=30°,

.?.EF=HF=GF①,

v￡P(guān)±AB,ZABE>=30°,

/.ZEPB=60°,Z￡P(guān)F=120°,

.\ZEPF+ZEGF=180°,

???￡：、P、F、G共圓，

ZGPF=ZGEF=60°,

,.MH工BC,NDBC=30。,

.\ZBMH=60°,

:?ZBMH=/GPF②,

而NGFP=NHFM③,

由①②③得bGFP三*FM〈AAS),

:.PF=FM,

.EPLAB,BP中點N,ZABD=30°,

:.EP=-BP=BN=NP,

2

:.PF+NP=FM+BN,

:.NF=-BM,

2

RlAMHB中，MH=-BM,

2

:.NF=MH,

:.NF+BN=MH+EP,^BF=MH+EP,

RtABEP中，EP=BE-tan300=—BE,

3

RtAMHB中，MH=BHVdn30°=—BH,

3

:.BF=—BE+—BH,

33

:.BE+BH=6BF；

(2)以例為頂點，MP為一邊，作NWWL=30。，ML交BD于G,過P作于H,設(shè)MP交BD于

K,如圖：

.?.NP+'MP最小即是NP+HP最小，此時N、P、，共線，

2

???將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EP,

,戶在射線QF上運動，則尸在射線上運動，根據(jù)“瓜豆原理”，尸為主動點，P是從動點，E為定點,

ZFEP=6O°,則F、P軌跡的夾角NQKP=NFEP=60。，

/.ZBAJW=60°,

?/ZABD=30°，

=90°,

-,?ZPML=30°,

:.ZBML=6O。,

:.ZBML=ZA,

:.MLIIAC,

ZHNA=180°-4PHM=90°,

而60_LAC,

??.ZBDC=Z/ZV4=4PHM=90°,

四邊形G”NO是矩形，

:.DN=GH,

???等邊AABC中，AB=6,BD±AC,

,\CD=3，

又DN=2NC,

:.DN=GH=2,

?.?等邊A4BC中，AB=6,點￡為回中點時，點M為BE中點,

3

/.BM=—,BD=AB?sinA=6xsin60°=3G,

2

Io3c

RtABGM中，MG=-BM=-,=cos30°=—,

244

.\MH=MG+GH=—GD=BD-BG=—,

4f4

RtAMHP中，"尸=MHtan300=^^,