2020年高考文數(shù)全國(guó)卷Ⅰ（詳解版）

絕密★啟用前

2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)

在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合A={x|f-3尤-4<0},8={-4,1,3,5},則&B=()

A.{-4,1}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

【答案】D

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式求得集合A,之后利用交集中元素的特征求得AB,得到結(jié)果.

【詳解】由3%—4<0解得一1<無(wú)<4,

所以A={x[T<x<4},

又因?yàn)?={-4,1,3,5},所以AB={1,3},

故選：D.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用一元二次不等式的解法求集

合，集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.

2.若z=l+2i+i3,則0=()

A.0B.1

cV2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)i2=-1將z化簡(jiǎn)，再根據(jù)向量的模的計(jì)算公式即可求出.

【詳解】因?yàn)閦=l+2z+z3=l+2z—i—\+iy所以目=A/12+12=叵-

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模的計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于容易題.

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高

為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底

面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

y/5—1A/5—1-y/5+1口A/5+1

DD.C.\J.

4----------------------------2-------------------------------4-------------------------------2

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)CD=a,PE=b,利用PO2=-CDPE得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.

2

【詳解】如圖，設(shè)CD=a,PE=b,則尸O—=

1"iAA

由題意尸。2=—即y—幺=上。/,,化簡(jiǎn)得4(2)2—2-2—1=0,

242aa

解得2=1±好(負(fù)值舍去).

a4

故選：C.

【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容

易題.

4.設(shè)。為正方形ABC。的中心，在。，A,B,C,。中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為

2

A.B.

55

j_4

C.D.

25

【答案】A

【解析】

【分析】

列出從5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)點(diǎn)的所有情況，再列出3點(diǎn)共線的情況，用古典概型的概率計(jì)算公式運(yùn)算

即可.

【詳解】如圖，從QA,3,C,05個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有

{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C}

{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D}

｛AC,D｝,｛8,C,。｝共10種不同取法,

3點(diǎn)共線只有｛A,O,C｝與｛B,0,0共2種情況,

由古典概型的概率計(jì)算公式知，

21

取到3點(diǎn)共線的概率為一=—.

105

故選：A

【點(diǎn)晴】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是

一道容易題.

5.某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20

個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（七,y）（i=l,2,,20）得到下面的散點(diǎn)圖:

由此散點(diǎn)圖，在1（FC至4（TC之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度X

的回歸方程類型的是（）

A.y=a+bxB.y^a+bx1

C.y=a+6e*D.y-a+b\nx

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.

【詳解】由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象附近，

因此，最適合作為發(fā)芽率y和溫度》的回歸方程類型的是y^a+b\nx.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點(diǎn)圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知圓元2+/一6x=0,過(guò)點(diǎn)（1,2）的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)直線和圓心與點(diǎn)（1,2）連線垂直時(shí)，所求的弦長(zhǎng)最短，即可得出結(jié)論.

【詳解】圓元2+產(chǎn)一6尤=0化為（無(wú)一3）2+產(chǎn)=9,所以圓心。坐標(biāo)為C（3,0）,半徑為3,

設(shè)尸（1,2）,當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線和直線CP垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)P的直線的距離最大，所求的弦

長(zhǎng)最短，

根據(jù)弦長(zhǎng)公式最小值為2小9-［CP「=249-8=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.

IT

7.設(shè)函數(shù)/（x）=cos（ox+：）在［一兀，兀］的圖像大致如下圖，則八尤）的最小正周期為（）

10兀7兀

A.——B.—

96

4兀3兀

C.—D.—

32

【答案】C

【解析】

【分析】

由圖可得：函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)［一季0),即可得到cos1—￡0+"=0,結(jié)合［-手0)是

Arr冗冗Q

函數(shù)/(%)圖象與X軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)即可得到-----。+—=——,即可求得。,

\"9622

再利用三角函數(shù)周期公式即可得解.

【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)/,o］,

(47r7C、

將它代入函數(shù)/(%)可得：cosl--—??+—1=0

又1-/,()］是函數(shù)/(%)圖象與“軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)’

所以47r一7一T解71得：。=巳3

9622

T_2乃_2乃_4不

所以函數(shù)“X)的最小正周期為'=9=于=?

2

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中

檔題.

8.設(shè)Qlog34=2,貝!]4一"二()

1￡11

A.—B.C.一D.-

16986

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題中所給的式子，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，得到log34"=2,即4a=9,進(jìn)而求得

4a=~,得到結(jié)果.

9

【詳解】由4=2可得log34a=2,所以平=9，

所以有4一0=!，

9

故選：B.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)指對(duì)式的運(yùn)算的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)

的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題目.

9.執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的w=（）

《開(kāi)手）

/輸入nj,S=0/

/輸出〃/

（結(jié)束）

A.17B.19C.21D.23

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)程序框圖的算法功能可知，要計(jì)算滿足1+3+5++〃>100的最小正奇數(shù)〃，根據(jù)等差

數(shù)列求和公式即可求出.

【詳解】依據(jù)程序框圖的算法功能可知，輸出的“是滿足1+3+5++”>100的最小正奇數(shù),

因?yàn)椤?1+.

=*+1)2〉1。?！獾谩雹?/p>

1+3+5++〃=-1-小--------

2

所以輸出的〃=21.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的算法功能的理解，以及等差數(shù)列前幾項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

10.設(shè)｛%,｝是等比數(shù)列，且4+4+。3=1，?2+?3+a4=2?則&+%+/=()

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件求得q的值，再由。6+/+%=q5(4+4+%)可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4,則%+4+%=%(1+4+/)=1,

出+%+%=+(1+q+/)=q=2,

因此，a6+ay+a8=qq5+qq6+=qq5([+“+/)=彳5=32.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

2

11.設(shè)耳，工是雙曲線C:V—乙=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸在。上且|OP|=2,

3

則片鳥(niǎo)的面積為()

B.3cID.2

【答案】B

【解析】

【分析】

由耳8P是以尸為直角直角三角形得至iJ|PK『+|P8|2=16,再利用雙曲線的定義得到

||PK|-1P月||=2,聯(lián)立即可得到|P￡||「乙|,代入S^BP=g|P片||沖計(jì)算即可.

【詳解】由已知，不妨設(shè)耳(—2,0),工(2,0),

則。=l,c=2,因?yàn)閨OP|=l=f4鳥(niǎo)

所以點(diǎn)尸在以耳鳥(niǎo)為直徑的圓上，

即耳KP是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

故|尸耳『十]手正|2=|耳星|2,

即|/印2+|「港|2=16,又||「和一|P&b2a=2,

所以4=||。耳|—|PU『=|P￡|2+|PK|2—2|PGI|PEI=16—2|P￡||PEI,

解得\PFl\\PF2\=6,所以11PF,||PF21=3

故選：B

【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角面積的計(jì)算問(wèn)題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)

學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.

12.已知A8,C為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，。。1為ABC的外接圓，若。。1的面積為4兀，

43=30=40=00],則球。的表面積為()

A.64KB.48兀C.36兀D.32兀

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知可得等邊A3。的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出。a的值，根據(jù)球截面性質(zhì)，

求出球的半徑，即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)圓。1半徑為廣，球的半徑為R,依題意，

得7rr2=4肛:.r-2,

由正弦定理可得A3=2rsin60°=2行，

,OQ=AB=26,根據(jù)圓截面性質(zhì)OOX±平面ABC,

OOX±JA,R=OA=JOOJ+OW=^OO2+r2=4,

球。的表面積S=4兀R?=64%.

【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

2x+y-2<0,

13.若x,y滿足約束條件<%-丁-120,則z=x+7y的最大值為.

y+l>0,

【答案】1

【解析】

【分析】

首先畫(huà)出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值.

【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

目標(biāo)函數(shù)z=x+7y即：y=--x+—z,

-77

其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，

據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，

聯(lián)立直線方程：\,c，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：A(l,o),

x-y-1=0

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：zmax=l+7x0=l.

故答案：1.

【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)z=^+by(a毋0)的最值，當(dāng)b>0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距

最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)6<0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距

最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.

14.設(shè)向量。=(1,-1),〃=(7%+1,2加一4),若;貝1|相=.

【答案】5

【解析】

【分析】

根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果.

【詳解】由aJ.。可得。力=0,

又因?yàn)閍=(1,—1),Z?=(zn+l,2m—4),

所以a?Z?=1?+1)+(-1)?(2加一4)=0,

BPm—5,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)

題目.

15.曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.

【答案】y=2x

【解析】

【分析】

設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(/，為)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用y%=2,求出/,代入曲線方程求出先，

得到切線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即可.

[詳解】設(shè)切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為y=Inx+x+1,了=工+1,

yL,=工+1=2,%=1，%=2,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

%

所求的切線方程為y—2=2(X—1),即y=2x.

故答案為：y=2x.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

16.數(shù)列｛叫滿足?！?2+(-1)"。“=3”-1,前16項(xiàng)和為540,則％=.

【答案】7

【解析】

【分析】

對(duì)九為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項(xiàng)遞推公式將奇數(shù)項(xiàng)用

%表示，由偶數(shù)項(xiàng)遞推公式得出偶數(shù)項(xiàng)的和，建立的方程，求解即可得出結(jié)論.

【詳解】an+2+(-iyan=3n-l,

當(dāng)?為奇數(shù)時(shí)，?！?2=?！?3”一1；當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，?！?2+?！?3〃-1.

設(shè)數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為S",

S]6=%++4+。4++〃16

=〃]++〃5+〃15+(〃2+〃4)+(〃14+〃16)

=q+(tZj+2)+(tZj+10)+(%+24)+(q+44)+(a1+70)

+（%+102）+（為+140）+（5+17+29+41）

=8q+392+92=8q+484=540,

q=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)

計(jì)算能力，屬于較難題.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為

必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,。四個(gè)等級(jí).

加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元;

對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分

廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù),

在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：

甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)40202020

乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)28173421

（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；

（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選

哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？

【答案】(1)甲分廠加工出來(lái)的A級(jí)品的概率為0.4,乙分廠加工出來(lái)的A級(jí)品的概率為

0.28；(2)選甲分廠，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)兩個(gè)頻數(shù)分布表即可求出；

(2)根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)，即可求出平均利潤(rùn)，由此作出選

擇.

40

【詳解】(1)由表可知，甲廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率為——=0.4,乙廠加工出

100

來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率為一=0.28；

100

(2)甲分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為

40x(90-25)+20x(50-25)+20x(20-25)-20x(50+25)=1500元，

所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為15元每件；

乙分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為

28x(90-20)+17x(50-20)+34x(20-20)-21x(50+20)=1000元，

所以乙分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為10元每件.

故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù).

【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出

決策，屬于基礎(chǔ)題.

18.ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知8=150。.

(1)若a=布c,b=2幣,求ABC的面積；

(2)若sinA+括sinC=^^,求C.

【答案】(1)山；(2)15°.

【解析】

【分析】

(1)已知角3和b邊，結(jié)合。關(guān)系，由余弦定理建立c的方程，求解得出利用面積

公式，即可得出結(jié)論；

(2)將A=30。-C代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡(jiǎn)得出有關(guān)C角的三

角函數(shù)值，結(jié)合。的范圍，即可求解.

【詳解】(1)由余弦定理可得"=28=a?+c2—2ac-cosl50°=7c2,

.?.。=2,。=26,二443。的面積5=3“。5M3=百；

(2)A+C=30°,

sinA+73sinC=sin(30°—C)+6sinC

=；cosC+與sinC=sin(C+300)=與，

0°<C<30°,.-.30°<C+30°<60°,

.?.C+30°=45o,.-.C=15°.

【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求

解能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，A6c是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO

上一點(diǎn)，ZAPC=90°.

(1)證明：平面B4B_L平面E4C；

(2)設(shè)。。=應(yīng)，圓錐的側(cè)面積為6兀，求三棱錐P-ABC的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)

8

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知可得K4=P5=PC,進(jìn)而有4cM△P3C,可得

ZAPC=ZBPC^90，即/ZLPC,從而證得PC,平面即可證得結(jié)論;

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為母線/和底面半徑廠的關(guān)系，進(jìn)而求出底面半徑，由正弦定理，求出

正三角形ABC邊長(zhǎng)，在等腰直角三角形APC中求出AP，在及APO中，求出P0,即可

求出結(jié)論.

【詳解】(1)Q。為圓錐頂點(diǎn)，。為底面圓心，二。。，平面ABC,

P在DO上,OA=OB=OC,:.PA=PB=PC,

ABC是圓內(nèi)接正三角形，.[AC=5C,ZVMCsZXPBC,

ZAPC=ZBPC=90°,即

PA。5=。,二。。，平面上鉆,。。＜=平面出。，二平面？43，平面24。；

(2)設(shè)圓錐的母線為/,底面半徑為小圓錐的側(cè)面積為不力=岳,〃=百，

0D2=Z2-r=2.解得廠=1,/=6，AC=2rsin60=也,

在等腰直角三角形APC中，AP=-AC=—，

■.三棱錐P-ABC的體積為Vp_曲，PO4ABC,X昱的

r—/IDC3ZA/iDC324g

【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，求錐體的體積，注意空間垂

直間的相互轉(zhuǎn)化，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.

20.已知函數(shù)/(x)="—a(x+2).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論“X)的單調(diào)性；

(2)若/(元)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(減區(qū)間為增區(qū)間為)；

1)(—8,0),(0,+8(2)(-e,+?>).

【解析】

【分析】

(1)將a=1代入函數(shù)解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調(diào)增

區(qū)間和減區(qū)間；

(2)若“X)有兩個(gè)零點(diǎn)，即a(x+2)=0有兩個(gè)解，將其轉(zhuǎn)化為a=—上有兩個(gè)解，令

x+2

Mx)=—《一(XW-2),求導(dǎo)研究函數(shù)圖象的走向，從而求得結(jié)果.

x+2

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(%)="—(x+2),f'(x)=ex-l,

令/’(x)<0,解得尤<0,令f(x)〉0,解得x>0,

所以〃x)的減區(qū)間為(—8,0),增區(qū)間為(0,+8)；

(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，即6工—a(x+2)=0有兩個(gè)解,

從方程可知，尤=2不成立，即。有兩個(gè)解，

x+2

xxxx

人exe(x+2)-ee(x+l)

令丸(x)=--(X豐-2)，則有h(x)=——=2'

x+2(x+2)(x+2)

令/z(x)〉0,解得x>-l,令丸'(%)<0,解得％<-2或—2<x<—1,

所以函數(shù)飄x)在(-<?,-2)和(-2,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

且當(dāng)x<—2時(shí)，h(x)<0,

而x-—2+時(shí)，〃(%)—+0。，當(dāng)時(shí)，/z(x)f+co,

x1

所以當(dāng)a=-e^有兩個(gè)解時(shí)，有。〉丸(―1)=—,

x+2e

所以滿足條件的。的取值范圍是：(L+8).

e

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過(guò)程中，也可以利用數(shù)形結(jié)合，將問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為曲線y=/和直線y=a(x+2)有兩個(gè)交點(diǎn)，利用過(guò)點(diǎn)(-2,0)的曲線y=/的切線

斜率，結(jié)合圖形求得結(jié)果.

21.已知A、8分別為橢圓E：/=1(a>D的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AGGB=8,

尸為直線尸6上的動(dòng)點(diǎn)，9與E的另一交點(diǎn)為C,P8與E的另一交點(diǎn)為。.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線C。過(guò)定點(diǎn).

2

【答案】(1)—+y=l；(2)證明詳見(jiàn)解析.

9

【解析】

【分析】

(1)由已知可得：A(-?,0),B(a,0),G(0,l),即可求得47?_6=父—1,結(jié)合已知

即可求得：/=9，問(wèn)題得解.

⑵設(shè)P(6,%)，可得直線AP的方程為：y=^(x+3),聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方

程即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為廣2，同理可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為

2

年+9y0+9)

*二3,二^],即可表示出直線CD的方程，整理直線CD的方程可得:

為一+1%一+1)

【詳解】(1)依據(jù)題意作出如下圖象:

2

由橢圓方程E:=+>2=1（。〉I）可得：B（a,o）,G（0,l）

a

AG=(tz,l),GB=(?,-1)

AGGB=a2-l=8>二儲(chǔ)=9

r2

,橢圓方程為：—+/=1

9-

（2）證明：設(shè)尸（6,%）,

/為一*°（x+3），即:

則直線AP的方程為：>=

6-(-3)y=

—+/=1

9

聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得：《,整理得:

y=

222

(y0+9)%+6y^x+9%-81=0,解得：r=—3或x=-+了

%+9

將X=3'；+：7代入直線y=6%

可得：y=

為+9為+9

'-3^+27

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為l年+9

同理可得：點(diǎn)￡）的坐標(biāo)為

「?直線CD的方程為:

、

整理可得：丁+21

Jo"+l7

4%2%「4yox-|

整理得：丁二2-2

3(3-%2)y0-33(3-y0)

故直線CD過(guò)定點(diǎn)

（2）

【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及方程思想，還考查了計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理

論證能力，屬于難題.

（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則

按所做的第一題計(jì)分.

［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

rk

x=cost,

22.在直角坐標(biāo)系九0y中，曲線G的參數(shù)方程為《女。為參數(shù)）?以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),

y=sint

X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極