磁場的矢勢及其微分方程省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

2.5

磁場矢勢及其微分方程2.5.1

矢勢穩(wěn)恒磁場基本方程是：穩(wěn)恒磁場是無源有旋場

靜電場是有源無旋場，因為其無旋性，能夠引入標(biāo)勢來描述（

0）。而磁場因為其有旋性不能引入一個標(biāo)勢來描述整個空間磁場。不過依據(jù)磁場無源性，我們能夠引入另一個矢量來描述它。

依據(jù)矢量場論，若

B

0，B能夠表示為矢量旋度，即

(

A)

0，

B

A，A稱為磁場矢勢。1/242.5

磁場矢勢及其微分方程2.5.1

矢勢穩(wěn)恒磁場基本方程是：穩(wěn)恒磁場是無源有旋場

靜電場是有源無旋場，因為其無旋性，能夠引入標(biāo)勢來描述（

0）。而磁場因為其有旋性不能引入一個標(biāo)勢來描述整個空間磁場。不過依據(jù)磁場無源性，我們能夠引入另一個矢量來描述它。

依據(jù)矢量場論，若

B

0，B能夠表示為矢量旋度，即

(

A)

0，

B

A，A稱為磁場矢勢。2/24

由B

A，能夠看出：由矢勢A能夠確定磁場B。不過由磁場B并不能唯一地確定矢勢A。比如：沿z軸方向均勻磁場B0（為常數(shù)）求A

?即Bx

By

0，Bz

B0依據(jù)

A

B則有有解：①

有另一解：②

還存在其它解3/24普通說來，若A是磁場B矢勢，那么

也是同一個B矢勢（

為任意連續(xù)可微標(biāo)量函數(shù)）。因為

0

A’

A

B表明：A

與A對應(yīng)同一個磁場B，也就是說，對于一個磁場B，A不是唯一，它能夠相差一個任意標(biāo)量函數(shù)梯度。對任一給定磁場B，矢勢可按照A

A’=A

變到A’。這種變換稱為規(guī)范變換。磁場含有規(guī)范變換下不變性。

4/24

既然，規(guī)范變換A

A’=A

，A存在這么任意性，能夠?qū)加上一個限制條件，使問題簡化。

是任意標(biāo)量函數(shù)，對

限制就是對A限制?？蛇x一個特定

使問題簡化。

通常要求

A

0稱為庫侖規(guī)范

下面說明對A加上限制條件

A

0總是能夠，即總能夠找到一個A滿足

A

0。假設(shè)有一個不滿足

A

0A可另取一個解

取

為泊松方程

2

u一個解，用這么A去作規(guī)范變換，那么變換后A’滿足：這個A’不影響物理結(jié)果，總能夠找到適合

A’

0矢勢A’。以后所取A都滿足

A

0。5/242.5.2矢勢A微分方程靜磁場基本方程之一對各向同性非鐵磁介質(zhì)B

H，均勻介質(zhì)

常數(shù)。能夠?qū)懗桑河?/p>

關(guān)于A微分方程注意：這是矢量方程，假如寫分量式（直角坐標(biāo)中）每個分量滿足泊松方程6/24Ai滿足方程和靜電場中電勢

方程有相同形式靜電場中，泊松方程解：對比靜電勢解，可寫寫成矢量式：而且已證實

A

0。說明：此式在2.2中為了求

B，令：所以，上式確實是矢勢微分方程解。7/24線電流分布全空間電流分布給定時，可用上式求解磁場。下面舉例由矢勢A求磁場。在2.2中，從畢奧沙伐爾定律出發(fā)，導(dǎo)出磁場微分方程。本節(jié)把磁場散度，旋度作為基本定律，從微分方程出發(fā)引入矢勢A，由A方程取得特解求出A取旋度即可求出B。畢奧沙伐爾沙定律8/24例應(yīng)用矢勢A，求在空氣中長直載流細(xì)導(dǎo)線磁場。P點坐標(biāo)是（x,y,0），取導(dǎo)線沿z軸，P點到導(dǎo)線垂直距離為R，電流元Idz到P點距離為細(xì)導(dǎo)線jdV

Idz解

(1)先求導(dǎo)線外任一點P矢勢A9/24A方向即電流方向，此時I沿z方向，則：當(dāng)L>>R時，

10/24(2)求B利用柱坐標(biāo)求旋度公式則

只有z分量

（Az僅與R相關(guān)）

得到11/24還能夠用另外一個方法令

用公式：

12/242.5.3關(guān)于矢量勢A物了解釋●矢量勢與磁通量關(guān)系：

矢量勢A本身沒有直接物理意義，有物理意義是B。●直到上世紀(jì)60年代普遍認(rèn)為：13/24因為B

A，則在A附加任一個

，對應(yīng)B不變。即：

，而

可見同一個B對應(yīng)無數(shù)個A，A是由數(shù)學(xué)上引進(jìn)，通常認(rèn)為有物理意義B是而不是A。上世紀(jì)60年代，試驗證實了阿哈朗諾夫和玻姻提出構(gòu)想，A能夠直接影響體系量子行為?！?/p>

A-B效應(yīng)14/24

起初螺線管不通電流，當(dāng)然管內(nèi)外B和A均為零。電子行為用波函數(shù)表示，因為兩束電子有相位差，在屏上得到一幅干涉圖象。然后螺線管通以電流，這時也可得到一幅干涉圖象，但其干涉條紋極值位置較前一幅有了變動，此時管外仍是B

0，但A

0。所以A對電子量子行為產(chǎn)生影響，稱為A-B效應(yīng)。

試驗指出：

電子束K射向雙縫，縫后放一無限長密繞螺線管

，電子穿過雙縫后被一透鏡聚焦在屏y上，

上加以電壓以確保電子只在螺線管外飛行。這么電子行為僅與管外空間性質(zhì)相關(guān)。15/24●關(guān)于矢量勢A另一個物了解釋在靜電場中在靜磁場中可見：

與j相當(dāng)，

與A相當(dāng)。在靜電場中，電勢

表示將單位正電荷從無限遠(yuǎn)處移至電場某點外力克服庫侖力所作功。用表示，A也與

有類似解釋。它表示在靜磁場中，將一個正電荷從無限遠(yuǎn)處移到穩(wěn)恒磁場某點總外力克服洛侖茲力所需沖量。16/24

矢量勢A就是移動單位正電荷到電流磁場某點時場電磁動量值。這就是對定義A物了解釋。

能夠證實:靜磁場中某點矢量勢A在數(shù)值上等于將單位正電荷從無限遠(yuǎn)處移到該點外力克服洛侖茲力所需施加沖量。在力學(xué)中，外力對一個物體所加沖量增加了物體機(jī)械動量。在電磁場中，所加這部分沖量在電磁場中儲備起來，增加了電磁場動量。將電荷q從A移動到B時，外力所加沖量應(yīng)等于電磁場動量增量。G——電磁場動量17/24

將電荷q從A點遲緩地至B點，在移動過程中，j’所產(chǎn)生磁場對移動電荷產(chǎn)生洛侖茲力。因移動電荷q需要時間，故外力在q上需要施加沖量。證實

為簡單起見，假定產(chǎn)生磁場穩(wěn)定電流只有一個閉合線圈電流j’。如圖示。這個假設(shè)是允許，因為空間任何穩(wěn)恒電流分布總能夠分成許多閉合電流管迭加。

另首先，q在移動過程中，在j’處也會產(chǎn)生磁場，j’受到磁場力，外力克服這個磁場力也要沖量。把這兩部分沖量加到起來，就得到需要結(jié)果。18/24j’在q處產(chǎn)生磁場為q所受洛侖茲力為在q處外力在dt時間內(nèi)克服洛侖茲力所加沖量為：q以速度v運(yùn)動，在j’處產(chǎn)生磁場為：取負(fù)號原因是

R表示從q到j(luò)’位移19/24當(dāng)q移動dt時間，在j’上所施加沖量（外力克服洛侖茲力所需沖量）外力所施加總沖量為：20/24則：將電荷q從A到B所加總沖量為：21/24相關(guān)

積分公式22/24

假如A點在無限遠(yuǎn)處，AA

0得到所需結(jié)果。靜磁場中某點矢量勢A在數(shù)值上等于將單位正電荷從無限遠(yuǎn)處移到該點外力克服洛侖茲力所需施加沖量。此結(jié)果和移動點電荷路徑無關(guān)。在力學(xué)中，外力對一個物體所加沖量增加了物體機(jī)械動量。在電磁場中，所加這部分沖量在電磁場中儲備起來，增加了電磁場動量。