考向22 解三角形（重點）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點微專題（新高考地區(qū)專用）

考向22解三角形1．（2021·全國高考真題（文））在中，已知，，，則（）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．2．（2021·全國高考真題）在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因為，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.解答三角高考題的策略：(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。(2)尋找聯(lián)系：運用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來，用向量方法證明兩定理，突出了向量的工具性，是向量知識應(yīng)用的實例。另外，利用正弦定理解三角形時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角”定理及幾何作圖來幫助理解。1、正弦定理：。(其中為的外接圓的半徑)正弦定理的變形公式：①，，；②，，；③；④；2、三角形面積定理：；；(其中為的內(nèi)切圓的半徑)3、余弦定理：；；；4、設(shè)、、是的角、、的對邊，則：①若，則；②若，則；③若，則。【知識拓展】1、三角形解的個數(shù)的討論為銳角為鈍角或直角或兩解一解無解一解無解2、解三角形處理三角形問題，必須結(jié)合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四類基本可解型，特別要多角度(幾何作圖，三角函數(shù)定義，正、余弦定理，勾股定理等角度)去理解“邊邊角”型問題可能有兩解、一解、無解的三種情況，根據(jù)已知條件判斷解的情況，并能正確求解。(1)三角形中的邊角關(guān)系①三角形內(nèi)角和等于；②三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；③三角形中大邊對大角，小邊對小角；(2)利用正、余弦定理及三角形面積公式等解任意三角形已知條件應(yīng)用定理一般方法解的情況一邊和兩角正弦定理由求第三角，由正弦定理求其它兩邊一解兩邊和夾角余弦定理或正弦定理由余弦定理求第三邊，由正弦定理求較小邊對應(yīng)的較小角，由求第三角一解三邊余弦定理由余弦定理求兩角，由求第三角一解兩邊和其中一邊的對角正弦定理或余弦定理①由正弦定理求另一邊的對角，由求第三角，利用正弦定理求第三邊②由余弦定理列關(guān)于第三邊的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解求，然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素兩解一解或無解(3)利用正、余弦定理判斷三角形的形狀常用方法是：①化邊為角；②化角為邊.3、三角形中的三角變換(1)角的變換在中，，則；；；，；(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。面積公式：，其中為三角形內(nèi)切圓半徑，為周長之半；(3)在中，熟記并會證明：①、、成等差數(shù)列的充分必要條件是；②是正三角形的充分必要條件是、、成等差數(shù)列且、、成等比數(shù)列。1．（2021·全國高三其他模擬（文））中角，，所對的邊分別為，，，，若的周長為15，且三邊的長成等差數(shù)列，則的面積為（）A． B． C． D．2．（2021·全國高三其他模擬（理））在中，，，，平分交于點則線段的長為（）A． B． C． D．3．（2021·陜西高三其他模擬（理））在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，外接圓半徑為r，若，，則的面積______.4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，且，則________．1．（2021·全國高三其他模擬）在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則等于（）A．2 B．4 C．6 D．82．（2021·全國高三其他模擬（文））已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，的面積為，則（）A．45° B．60° C．120° D．150°3．（2021·四川高三其他模擬（理））已知是不共線向量，設(shè)，，，，若△的面積為3，則△的面積為（）A．8 B．6 C．5 D．44．（2021·河南高二其他模擬（理））已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.若，則的最小值為（）A． B． C． D．5．（2021·遼寧高三其他模擬）英國數(shù)學(xué)家約翰?康威在數(shù)學(xué)上的成就是全面性的，其中“康威圓定理”是他引以為傲的研究成果之一．定理的內(nèi)容是：三角形ABC的三條邊長分別為a，b，c，分別延長三邊兩端，使其距離等于對邊的長度，如圖所示，所得六點仍在一個圓上，這個圓被稱為康威圓．現(xiàn)有一邊長為2的正三角形，則該三角形生成的康威圓的面積是（）A． B． C． D．6．（2021·全國高三其他模擬（理））（多選題）已知中，角的對邊分別為，且滿足，則下列判斷錯誤的是（）A．B．若則C．若則頂點所在曲線的離心率為D．若，則7．（2019·陜西延安市·高考模擬（理））在中，若，，，則______.8．（2021·四川綿陽中學(xué)高三其他模擬（文））已知外接圓的半徑為，且，若的面積為，則的值為________．9．（2021·貴州凱里一中高三三模（文））在中，角、、的對邊分別為、、，若，則___________.10．（2021·全國高三其他模擬（理））在中，內(nèi)角的對邊分別為為銳角，的面積為2，則的周長的最小值為___________.11．（2020·天津高三二模）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（Ⅰ）若，的面積為6，求；（Ⅱ）若，求.12．（2021·福建省南安第一中學(xué)高三二模）已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，，是邊上一點，．（1）若，，求；（2）若，求的最大值．1．（2020·全國高考真題（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（）A． B． C． D．2．（2014·江西高考真題（文））在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若，則的值為（）A． B． C．1 D．3．（2019·全國高考真題（文））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．34．（2021·浙江高考真題）在中，，M是的中點，，則___________，___________.5．（2021·全國高考真題（理））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．6．（2019·全國高考真題（文））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.7．（2020·江蘇高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．8．（2021·天津高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．9．（2021·江蘇高考真題）已知向量，，設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值;（2）在銳角中，三個角，，所對的邊分別為，，，若，，求的面積.10．（2020·海南高考真題）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．1．【答案】D【分析】利用正弦定理和余弦定理化簡可得，可得，故為最大邊，由數(shù)列性質(zhì)設(shè)，，，再由余弦定理即可得解.【詳解】由余弦定理可得，整理得，所以，，故為最大邊，不失一般性，設(shè)，，()，代入得，所以，，的面積為，故選：D.2．【答案】A【分析】設(shè)，，則，在和中運用正弦定理得到和的關(guān)系式；在中運用正弦定理及二倍角公式可解得，代入和的關(guān)系式即可得到的長.【詳解】設(shè)，，則，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，兩式相除，得，即，所以，在中，由正弦定理，得，即，又因為，所以，化簡得，解得或，代入得，即.故選：A.3．【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)條件化簡得，進而得到以，利用正弦定理得到，求得，再由余弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式，求得的值，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】由，整理得，即，因為，可得，所以由正弦定理可得，，可得，因為，所以，且，又由余弦定理可得，則，所以.故答案為：.4．【答案】【分析】直接利用余弦定理即可求出答案.【詳解】由余弦定理可得，所以．故答案為：.1．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】由，得，即，解得或（舍）．故選D．2．【答案】A【分析】由余弦定理和面積公式分別可得，，可得即可得解.【詳解】由余弦定理可得：由可得，所以，即，由，所以.故選：A.3．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合向量的線性表示，向量加減法的運算，可得到與的兩個邊之間的關(guān)系，利用面積公式結(jié)合邊的關(guān)系，可得結(jié)論.【詳解】∵，，，，如圖，在平行四邊形中，，設(shè)，則，即同理，在平行四邊形中，，可得，，∴，；所以與的夾角為或其補角，則∴的面積為8.故選：A.【點睛】思路點睛：（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算；（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.4．【答案】C【分析】代數(shù)法：由，利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式，化簡得到，求得角B，再利用正弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式求解；幾何解法：由，，作線段，過點畫射線，使得，是射線上的動點，與都是變量,讓長度等于的線段的一個端點與線段的一個端點重合，再從點向“外”引線段，使其長度等于，然后利用含有的直角三角形性質(zhì)求解.【詳解】代數(shù)法：，由正弦定理得，即，因為，所以，所以.因為，所以，所以.因為，所以.由正弦定理可得，，，(時取等)，故選：C.幾何解法：在中，確定的量有兩個：，.如圖，作線段，過點畫射線，使得.這樣是射線上的動點，與都是變量.為了求的最小值，可考慮讓長度等于的線段的一個端點與線段的一個端點重合(即“首尾相連”).考慮從點向“外”引線段，使其長度等于.聯(lián)想到含有的直角三角形性質(zhì)，作如下輔助線：如圖，作射線，使，作，垂足為，則.所以原問題等價于：是射線上的動點，求的最小值，顯然即是點到直線的距離為所求，所以的最小值為.故選：C5．【答案】C【分析】由“康威圓定理”可知的康威圓圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心，據(jù)此可得圓的半徑，進一步可求其面積.【詳解】康威圓的圓心即為三角形內(nèi)切圓的圓心，正三角形內(nèi)切圓的圓心即為中心，所以其康威圓半徑為，故面積為．故選:C.6．【答案】BD【分析】由正弦定理和可判斷A；由，然后利用基本不等式可判斷B；由得，判斷出點的軌跡可判斷C；由余弦定理得，可判斷D.【詳解】由正弦定理和得，，因為，所以，即，故A；若，則，，當(dāng)且僅當(dāng)即，故B正確；若，則，即，所以在以為焦點的橢圓（除去兩點）上運動，其中橢圓的焦距為，而，所以，橢圓的離心率，故C錯誤；若，則有，即有，整理有，所以，得，故D正確.故選：BD.7．【答案】【分析】直接利用余弦定理即可解得.【詳解】因為，，，由余弦定理得：，解得：b=1或b=-4（舍去）故答案為：1.8．【答案】2【分析】由已知結(jié)合正弦定理及余弦定理進行化簡可求，然后結(jié)合三角形面積公式可求．【詳解】解：因為，由正弦定理得，，由余弦定理得，所以由得，若的面積，所以，解得．故答案為：2．9．【答案】【分析】本題可通過余弦定理得出結(jié)果.【詳解】由余弦定理易知：，即，則是以角為直角頂點的直角三角形，，故答案為：.10．【答案】【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)可知是的直角三角形，即有其周長為，利用基本不等式即可求出最小值，注意等號成立的條件.【詳解】由知：，而，∴，∴是的直角三角形，故，即，而，∴的周長，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用三角恒等變換及三角形內(nèi)角的性質(zhì)判斷三角形的形狀，再由三角形周長公式、基本不等式求周長的最小值即可.11．【答案】（1）；（2）【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理可得，進而可求，利用三角形的面積公式即可求得的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，結(jié)合已知由余弦定理可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用二倍角公式可求，的值，進而根據(jù)兩角差的正弦公式即可計算求解．【詳解】解：（Ⅰ），，由正弦定理可得，又，，的面積為，解得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又，由余弦定理可得，，，，，．12．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系將化為，從而可求出，，然后在利用余弦定理求出；（2）解法一：由，，平方化簡后可得，再利用基本不等式可求得答案；解法二：設(shè)，則，，然后在和利用余弦定理，結(jié)合可得，在利用余弦定理可得，從而得，再利用基本不等式可求得答案；【詳解】解：(1)，，，，，∴，∵，，在中，由余弦定理得，，∴（2）解法一：，因為，所以，即，整理得到，兩邊平方后有，所以即，整理得到，所以，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值．解法二：設(shè)，則，，在中，，在中，，又，所以，解得，①在中，，即，②由①②可得．所以，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值．1．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據(jù)余弦定理：可得，即由故.故選：A.【點睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理邊化角求解即可.【詳解】由正弦定理有.又,故.故選：D【點睛】本題主要考查了正弦定理邊化角的問題,屬于基礎(chǔ)題.3．【答案】A【分析】利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【點睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．4．【答案】【分析】由題意結(jié)合余弦定理可得，進而可得，再由余弦定理可得.【詳解】由題意作出圖形，如圖，在中，由余弦定理得，即，解得（負(fù)值舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以；在中，由余弦定理得.故答案為：；.5．【答案】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.6．【答案】.【分析】先根據(jù)正弦定理把邊化為角，結(jié)合角的范圍可得.【詳解】由正弦定理，得．，得，即，故選D．【點睛】本題考查利用正弦定理轉(zhuǎn)化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取定理法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．忽視三角形內(nèi)角的范圍致誤，三角形內(nèi)角均在范圍內(nèi)，化邊為角，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變化求角．7．【答案】或0【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)，結(jié)合與三點共線，可求得，再根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點共線，∴可設(shè)，∵，∴，即，若且，則三點共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設(shè)，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴，解得，∴的長度為.當(dāng)時，，重合，此時的長度為，當(dāng)時，，重合，此時，不合題意，舍去.故答案為：0或.【點睛】