2020-2021學年廣西北海市高一年級上冊期末數(shù)學試卷(含解析)

2020-2021學年廣西北海市高一上學期期末數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.設(shè)集合2={1,9,3},B=[1,3,7},則=()

A.{3}B.{1,3}C.{-1}D.0

2.已知四組函數(shù)：

①f(x)=x,g(x)=(Vx)2；

@/(x)=%，g(%)=3x3；

③f(n)=2n-l,g(n)=2n+l(nGN)；

@f(x)=x2—2x—1,g(t)=t2—2t—1.

其中是同一函數(shù)的()

A.沒有B.僅有②C.④D.②③④

3.已知/(%)=/+3%+i,0(%)=鋁+%,若/i(%)=/(%)-g(x)恰有兩個零點，則實數(shù)q的取

值為（）

A.1B.-捺C.1或一捺D.[一卷,1]

4,若0<bVa<1,p=ab,q=ba,r=bb,則()

A.p>q>rB.p>r>qC.q>p>rD.r>q>p

.設(shè)是方程的解，則在下列哪個區(qū)間

5.7a21nl_?=-xa

A.(0,1)B.(3,4)c.(2⑶D.(l,2)

6.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的邊長為2的正方形，主視圖與左視圖是邊長

為2的正三角形，則其全面積是（）

A.8

B.12

C.4(1+73)

D.4V3

7.已知時=蛔鼠小攙緲徵后磁》，把使得乘積陽一颶-:鳴…螂*為整數(shù)的制叫做"成功數(shù)”，則區(qū)

間以倒鼠1圈內(nèi)所有成功數(shù)的和為（）

A.頌蝌B.W!C.W?D.巽制

8,下列命題正確的是（）

A.平行于同一平面的兩條直線一定平行

B.夾在兩平行平面間的等長線段必平行

C.若平面外的直線a與平面a內(nèi)的一條直線平行，則a〃平面a

D.如果一平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

9,若函數(shù)/（%）=6[-1，0）則/（logs%=（）

15X,xG[0,1].

A.|B.3C.1D.4

10.在正方體ABCD-&B1C1D1中，M和N分別為&Bi和B?的中點，那么直線AM與CN所成角的余

弦值是（）

A.3B.叵C.|D.1

21055

11.已知偶函數(shù)/（X）在區(qū)間[0,+8）上是減函數(shù)，則滿足/（2x-1）>/（》的X的取值范圍是（（）

4

A.（-00,B.6+8）

c.質(zhì)》D.（—8,》u“+8）

12.在三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=V5,AB=AC=BC=V3,則三棱錐P—ABC外接球的

表面積是（）

A.9兀B.—7iC.4兀D.—7T

24

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.5.正四棱柱的側(cè)面展開圖是長為12,寬為8的矩形，則該正四棱柱的體積是.

14.在正項等比數(shù)列｛曰｝中，若N1,則1■...I-|

15.函數(shù)f（x）是連續(xù)的偶函數(shù),方程f（x）=0僅有兩個實根±1,且當x在（一2,0）U（2,+8）時（。）>0

恒成立，則不等式x/O）<。的解集為.

16.以下幾個命題中真命題的序號為.

①在空間中，m>ri是兩條不重合的直線，a、。是兩個不重合的平面，如果al）S,an^=n,mln,

那么m1。；

②相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1,兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強；

③用秦九昭算法求多項式f（x）=208+9/+6%4+一在％=—4時，%的值為22；

④過拋物線y2=4%的焦點作直線與拋物線相交于4B兩點，則使它們的橫坐標之和等于4的直線有

且只有兩條.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知集合4={%|-1<%<3],B={x\x2—2x>0且x>1].

(1)求AUB,ACiB；

(2)若集合C={%|2x+a<0}和集合4沒有公共元素，求實數(shù)a的取值范圍.

18.如圖，四棱錐P-4BCD中，底面4BCD是平行四邊形,"CB=90。，/\、

平面P4。1平面PA=BC=1,PD=AB=五,E、F分別:

為線段PD和BC的中點.二

(I)求證：CE//平面P4F；.r"

(口)在線段BC上是否存在一點G,使得平面P4G和平面PGC所成二面角的大小為60。？若存在，試確

定G的位置；若不存在，請說明理由.

19.有甲乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次為p和q(萬元)；它們與投入資金x(萬

元)的關(guān)系有經(jīng)驗函數(shù)：P=|x,q=|石.現(xiàn)有4萬元資金投入經(jīng)營甲乙兩種商品，為獲得最大

利潤，對甲乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少？能獲得的最大利潤為多少？

20.求函數(shù)/(%)=-x2+2x-3在區(qū)間[2a-1,2]上的最小值和最大值.

21.如圖，四邊形48CD與四邊形J齦嫡都為正方形，/蛭1.罡廨，F(xiàn)為線段.蹣的中點，E為線

段BC上的動點.

(1)當E為線段BC中點時，求證：徽要7平面4EF；

(2)求證：平面麟窿嫡平面；

(3)設(shè)票口.熱，寫出於為何值時MF，平面4EF(結(jié)論不要求證明).

22.已知函數(shù)f(%)=——1,0(%)=%+1.

(1)求函數(shù)F。)=/(%)+|g(%)|在區(qū)間［-2,0］上的值域.

(2)若當久ER時，不等式/(%)N4g(%)恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

參考答案及解析

L答案：B

解析：解：集合4={1,9,3},B=[1,3,7),

則2CB={1,3}.

故選：B.

根據(jù)交集的定義寫出an艮

本題考查了交集的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

2.答案：C

解析：

本題主要考查判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

分別判斷兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是否一致即可判斷.

解：①/(x)的定義域為R，而9。)的定義域為[0,+8),所以定義域不同，所以①不是同一函數(shù)；

②/(X)的定義域為R,g(x)的定義域為R，所以定義域相同，但是對應(yīng)法則不相同，所以②不是同

一函數(shù)；

③因為g(n)=2n+l(neN)的定義域和f(n)的定義域不相同，所以③不是同一函數(shù)；

④兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則相同，所以④是同一函數(shù).

故選C.

3.答案：B

解析：解：聯(lián)立y=/(x)和y=g(x)得%2+3%+1=丐+%,

整理可得Q=X3+X2—X,且％。1.

令函數(shù)%(%)=%3+%2-%,可得函數(shù)九(%)的極值點在-1和1處，

畫出以%)的草圖，如圖示:

當％=—1時，/i(x)=1；當％=1時，h(x)=—金

故當a=1時，y=a和y=h(%)l個交點，

因為(1,1)不在h(%)上，不滿足條件.

故當a=-捺時，結(jié)合圖象可得y=a和y=h(%)恰有2個交點.

綜上，只有當a=-捺時，才能滿足y=。和y=九(乃恰有2個/交點，

故選：B.

問題轉(zhuǎn)化為a=+%2—。1)的交點問題，令%(%)=+為2一%,畫出函數(shù)九(%)的圖

象，結(jié)合圖象求出a的值即可.

本題考查了函數(shù)的交點問題，考查數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題.

4.答案：B

解析：

本題主要考查了利用募函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是中檔題.

由幕函數(shù)y=”的單調(diào)性可知丁<P，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)丫=尹的單調(diào)性可知丁>q,從而得到p,q,T

三個數(shù)的大小關(guān)系.

解：:幕函數(shù)y=%匕在(0,+8)上單調(diào)遞增，且0<b<a<1,

??.bb<ab,即r<p,

???指數(shù)函數(shù)y=/在R上單調(diào)遞減，且0<bVa<1,

??.bb>ba,即r>q,

：.p>r>q,

故選：B.

5.答案：D

解析：令f(x)=21nx-3+x,由零點存在定理可驗證各選項區(qū)間的端點值，若兩端點值異號則存

在零點.

???/(I)=-2<0

/(2)=2)2-1>0

由零點存在定理可得

在(1,2)內(nèi)方程有實根.

故選D.

6.答案：B

解析：解：由題意幾何體是一個四棱錐，其側(cè)面三角形的高為2,底面是邊長為2的正方形，

幾何體的表面積為4x|x2x2+2x2=12

故選B

由題意及圖象知，幾何體是一個四棱錐，其側(cè)面三角形的高為2,底面是邊長為2的正方形，由公式

求表面積即可

本題考查由三視圖求面積、體積，求解的關(guān)鍵是根據(jù)所給的三視圖判斷出幾何體的幾何特征，再根

據(jù)其幾何特征選擇求全面積的方法.

7.答案：C

解析：試題分析：由已知:%-%,?:%…穌=額舐察蛔翳不蜘輯S-__.-崛弘斕蒯書緲

=整-整1'整"一"整黑=/和|■孫為使蠅闞1■騫為整數(shù)，則有蒯#既=噴鮑住閶:‘

在區(qū)間虱含的蜀內(nèi)，所有“成功數(shù)”為管一釐密一群.

它們的和為翳玨寓K―.#密，-&四=醐髓，選屆.

考點：1.對數(shù)換底公式及對數(shù)運算；2.新定義.

8.答案：C

解析：解：4平行于同一平面的兩條直線平行、相交或異面直線，因此不正確；

8.夾在兩平行平面間的等長線段必平行、相交或異面直線，不正確；

C若平面外的直線a與平面a內(nèi)的一條直線平行，則a〃平面a,正確.

D如果一平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行或相交.

故選：c.

A平行于同一平面的兩條直線平行、相交或異面直線；

R夾在兩平行平面間的等長線段必平行、相交或異面直線；

C.利用線面平行的判定定理即可判斷出；

D利用平面平行的判定定理即可判斷出.

本題考查了空間線面面面平行的判定定理及其性質(zhì)定理，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：D

解析：解：?."(%)平尸”

卬,xG[0,1].

to4

.../■(log54)=5^=4.

故選：D.

利用函數(shù)性質(zhì)和對數(shù)運算法則求解.

本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用.

10.答案:D

解析：

取4B中點E,BC中點F,連接/E,B#,則NEB/為直線4M與CN所成角，設(shè)正方體棱長為2a,然

后利用余弦定理求解.

本題考查異面直線所成的角，關(guān)鍵是找出角，是中檔題.

解：如圖，

取4B中點E,BC中點F,連接B/,

則四邊形當FCN為平行四邊形，

AM//BrE,CN//BrF,

???NEB/為直線AM與CN所成角(或補角)，

設(shè)正方體的棱長為2a,則BE=BF=a,EF=V2a,B】E=B/=小a.

?.COS乙EB#-2xV5axV5a~5,

；.直線AM與CN所成角的余弦值是:

故選：D.

11.答案：C

解析：

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得;'(2x-1)>/(：)=>/(|2x-1|)>/(》今|2x-1|<%

解可得久的取值范圍，即可得答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

解：根據(jù)題意，偶函數(shù)f。)在區(qū)間［0,+8)上是減函數(shù)，

f(2x-1)>6)0/(|2x-1|)>0|2久

—<2%-1<一,

44

解可得：I<X<I，

OO

即X的取值范圍為

OO

故選C.

12.答案：D

解析：解：因為PA=PB=PC=亞,AB=AC=BC=百，

故三棱錐P-ABC是正三棱錐，

設(shè)PH為三棱錐P-28c的高，

則其外接球的球心在PH上，

設(shè)外接球的半徑為R,

因為C”=苧x8=1,則PH=VPC2-CH2=2,

所以。C2=。"2+C”2,即R2=(2—R)2+12,解得R=、，

故三棱錐P-ABC外接球的表面積是S=4兀旌=4兀-(|)2=等.

故選：D.

由外接球的球心在正棱錐的高上，求出外接球的半徑，由球的表面積公式求解即可.

本題考查了幾何體的外接球問題，解題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置，三棱錐的外接球的球心在

過各面外心且與此面垂直的直線上，由此結(jié)論可以找到外接球的球心，考查了邏輯推理能力與空間

想象能力，屬于中檔題.

13.答案：72或48

正四棱柱的底面周長為12時，高為8,則底面面積為9,

__/.正四棱柱的體積為：9X8=72;

解析?____

正四棱柱的底面周長為8時，高為12,則底面面積為4,

二.正四棱柱的體積為：4X12=48.

14.答案:9

□

15.答案:(—1,0)U(1,4-00)

解析:

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)圖象的判斷，不等式的解法，是中檔

題.

結(jié)合函數(shù)的導數(shù)的符號，以及函數(shù)的零點，畫出函數(shù)的示意圖，然后求解不等式的解集即可.

解：函數(shù)是連續(xù)的偶函數(shù)，方程f(x)=0僅有兩個實根±1,

且當％在(—2,0)U(2,+8)時/(為＞0恒成立，

可知函數(shù)在x6(-2,0),xe(2,+oo)時，都是增函數(shù)，

函數(shù)的示意圖如圖：

所以不等式＜。的解集為：(-1,0)U(1,4-00).

故答案為：(一1,0)乂1,+8).

16.答案：②③④

解析：對于①，因為根并不屬于叫根據(jù)線面垂直的關(guān)系定理，不能得到機1。，即錯誤.

對于②，根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)r的意義可知，當r的絕對值越接近于1時，兩個隨機變量線性相關(guān)性越

強，故正確；

對于③，=208+9%2+6x4+x6=(((((%)%+6)x)x+9)x)x+208,

當x=-4時，v0=1,=1X(-4)=-4,v2=—4X(—4)+6=22,故正確；

對于④，過拋物線f=4x的焦點F(l,0)作直線I與拋物線相交于4B兩點,

當直線/的斜率不存在時，橫坐標之和等于2,不合題意；

當直線/的斜率為0時，只有一個交點，不合題意；

???設(shè)直線［的斜率為k(k豐0),則直線I為y=k(x-1),

代入拋物線f=4x得，k2x2-2(/c2+2)x+/c2=0；

???4、B兩點的橫坐標之和等于5,迎學=4,解得1=2,

這樣的直線有且僅有兩條.故正確；

故答案為：②③④

①，m并不屬于a,根據(jù)線面垂直的關(guān)系定理，不能得到

②，利用線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)取判斷.

③，先將多項式改寫成如下形式：/(%)=(((((%)%+6)久)x+9)x)x+208,將x=-4代入并依次計

算為，%，吭的值，即可得到答案.

④,討論直線/的斜率不存在和斜率為0時都不符合題意，設(shè)Z為y=k(x-1)與拋物線方程聯(lián)立消去y,

得出4、B兩點的橫坐標之和，求得k的值，判定命題正確

本題考查了命題真假的判定，涉及到了大量的基礎(chǔ)知識，屬于中檔題.

17.答案:解：(1)集合4={萬一1<久<3},

B={x\x2-2x>0且x>1}={x\x>2}；

AC\B={x\2<%<3},

A\JB={x\x>—1}；

(2)集合C={x\2x+a<0}={x\x<一］},

由Cn2=0,得-1,

解得a的取值范圍是aN2.

解析：(1)化簡集合B,根據(jù)交集與并集的定義寫出運算結(jié)果；

(2)化簡集合C,根據(jù)CC2=。求出a的取值范圍.

本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎(chǔ)題.

18.答案：（I）證明：取P4中點為連結(jié)CE、HE、FH,

-1

???”、E分別為PA、PD的中點，；.HE=-AD,

???ABCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點，

?-.FC//AD,EC=^AD,

■-HE//FC,HE=FC,四邊形FCEH是平行四邊形，

EC//HF,又CE不包含于平面P4F,u平面P4F,丈

??.CE//平面PAF….（4分）/\

（口）解：???四邊形4BCD為平行四邊形且乙4cB=90。，二二公尸"

.-.CALAD,又由平面PA。，平面ABC。，??~[

CA1平面PAD,CA1PA

由P4=4D=1,PD=四知,P4_L4D...（5分）

二建立如圖所示的平面直角坐標系4-xyz

PA—BC=1,AB=V2,AC=1,

???B（L-L0），C（L0,0），P（（W），

假設(shè)BC上存在一點G,使得平面PNG和平面PGC所成二面角的大小為60。，

設(shè)點G的坐標為（1,%0），-l<a<0,

.?1=（1,00）,AP=（0,0,1），

設(shè)平面P/G的法向量為沅=（%,y,z）,

則｛:｝『一°，令％=a，y=-l,z=0,?<.m=（a,-1,0）,

又方=（0,仇0）,而=（-1,0,1）,

設(shè)平面PCG的法向量為元=（%,y,z）,

則｛%]：_（），令久y=0,z=L.,?元=（1,0,1），…（9分）

???平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60。，

.?.|3<記,元>|=|痂土或=,

a=+1,又—1<a<0,a=-1,…（11分）

所以線段BC上存在一點G,

使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°

點G即為B點....（12分）

解析：(1)取PA中點為H,連結(jié)CE、HE、FH,由已知得4BCD是平行四邊形，四邊形FCEH是平行四

邊形，由此能證明CE〃平面PAF.

(2)由已知得C4LA。，CAl^PAD,CALPA,建立平面直角坐標系2-xyz,利用向量法能求出

平面PAG和平面PGC所成二面角的大小.

本題考查直線與平面平行的證明，考查滿足條件的點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意空間

思維能力的培養(yǎng).

19.答案：解：設(shè)對乙產(chǎn)品投入x萬元，

???共4萬元資金投入經(jīng)營甲乙兩種商品，

0<x<4,對甲產(chǎn)品投入4一萬萬元，

???甲乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次為p和q(萬元與投入資金雙萬元)的關(guān)系有

經(jīng)驗函數(shù)：p=-x,q=|Vx,

I.、2/-

p=-(4-%),q=-y/xf

???總的利潤為：

y=1(4-%)+|Vx,(0<X<4),

..~=_1+2+1

=-|(Vx-l)2+l<l.

當且僅當?=1,即X=1時，取等號.

???甲投3萬元，乙投1萬元，最大利潤為1萬元.

解析：本題可以先設(shè)對乙產(chǎn)品投入x萬元，得到對甲產(chǎn)品投入4-%萬元，利用利潤與投入資金的關(guān)

系，得到相應(yīng)的函數(shù)，配方得到函數(shù)的最值，得到本題結(jié)論.

本題考查了函數(shù)的實際應(yīng)用，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

20.答案：解：〃久)=—(久―I/一2；

f(2)=-3,/(0)=-3；

:當2a-1<0即a<3時，=/(2a-1)=-4a2+8a—6；

12

當0<2a—1<2即5<a<5時，=/(2)=-3；

-4a2+8a—6d<—

i32

{-3-2<a<-2

—4a2+8a—6=—4(a—l)2—2；

?e?aW5時，—4小+8a—6單調(diào)遞增；

aW|時>9(a)<5(|)=-3；

g(a)的最大值為-3；

即/(x)在［2a-1,2］上的最小值的最大值為-3.

解析：本題考查二次函數(shù)的定軸動區(qū)間的最值問題.

對/(%)配方即可知道f(x)的對稱軸為％=1,且/(2)=/(0)=-3,所以討論2a-1和0的關(guān)系，可結(jié)

—4a2+8a—6ci<—

.'i.2根據(jù)

-3-<a<-

{22

二次函數(shù)的最值及分段函數(shù)的最值即可求得g(a)的最大值.

21.答案：解：(1)證明：F為線段翩;?的中點，E為線段BC中點，所以庭防"球，

又羸鰥窿平面4EF,感聲后平面4EF

所以統(tǒng),代平面4EF

(2)證明：四邊形,魂圖與四邊形都為正方形

所以J遨