2024年青海省部分校高三數(shù)學（文）4月模擬聯(lián)考試卷附答案解析

年青海省部分校高三數(shù)學（文）4月模擬聯(lián)考試卷2024.4考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，，，且，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的極值點為a，則（

）A． B．0 C．1 D．25．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為（

）A．11 B．7 C．－1 D．－46．已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，，點P在C的右支上，且的周長為，則（

）A． B． C． D．7．若，，則（

）A．1 B．－1 C．2 D．－28．已知F是拋物線C：的焦點，過F的直線l與C交于A，B兩點，且A，B到直線的距離之和等于，則（

）A．6 B．8 C．12 D．149．記數(shù)列的前n項積為，設(shè)甲：為等比數(shù)列，乙：為等比數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分不必要條件B．甲是乙的必要不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲是乙的既不充分也不必要條件10．已知函數(shù)在上的圖象大致如圖所示，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．11．如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點，為的中點，連接，．對于空間任意兩點，，若線段上不存在也在線段，上的點，則稱，兩點“可視”，則與點“可視”的點為（

）A． B． C． D．12．已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（

）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．在等差數(shù)列中，，則．14．甲、乙、丙、丁各自研究兩個隨機變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙、丁計算得到各自研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)系數(shù)分別為，，，，則這四人中，研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)程度最高.15．若，，則．16．在半徑為5的球體內(nèi)部放置一個圓錐，則該圓錐體積的最大值為．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．如圖，在三棱錐中，平面，、分別為、的中點，且，，．(1)證明：平面．(2)求到平面的距離．18．為提升基層綜合文化服務(wù)中心服務(wù)效能，廣泛開展群眾性文化活動，某村干部在本村的村民中進行問卷調(diào)查，將他們的成績（滿分：100分）分成7組：.整理得到如下頻率分布直方圖.(1)求的值并估計該村村民成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；(2)從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，再從這6人中任選3人，記這3人中成績在內(nèi)的村民人數(shù)為，求的分布列與期望.19．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，的面積為S．周長為L，求的最大值．20．已知橢圓：的離心率為．(1)求的方程；(2)過的右焦點的直線與交于，兩點，與直線交于點，且，求的斜率．21．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有3個零點，求的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］22．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．(1)求C與l的直角坐標方程；(2)若P是C上的一個動點，求P到l的距離的取值范圍．［選修4-5：不等式選講］23．已知函數(shù)的最小值為8．(1)求a；(2)若在上單調(diào)遞減，求不等式的解集．1．A【分析】化簡式子即可得出結(jié)論【詳解】由題意，故選：A.2．C【分析】通過將集合中的元素代入集合，看是否符合不等式，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，，當時，，當時，，當時，，∴和滿足集合的要求，∴，故選：C.3．B【分析】根據(jù)坐標運算的加減法進行運算，再結(jié)合向量垂直即可得出結(jié)果.【詳解】由題，因為，所以，.故選：B.4．B【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)的極值點，再代入求出函數(shù)值.【詳解】函數(shù)，求導得，當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此是的極小值點，且是唯一極值點，所以，.故選：B5．A【分析】畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)的幾何意義得到當過點時，取得最大值，求出答案.【詳解】由約束條件作出可行域和目標函數(shù)，變形為，由于為在軸上的截距，要想得到的最大值，只需得到在軸上的截距的最小值，顯然當過點時，取得最大值，聯(lián)立，解得，將代入，，當直線l：經(jīng)過點時，z取得最大值11．故選：A6．D【分析】借助雙曲線定義計算即可得.【詳解】由雙曲線定義可知：，則三角形的周長為，故.故選：D.7．A【分析】本題考查指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的運算法則、換底公式的應(yīng)用.【詳解】由，所以故選：A8．C【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線的定義求出，列出方程求解即得.【詳解】依題意，設(shè)點，而拋物線C：的準線方程為，則，點到直線的距離和為，因此，所以.故選：C9．D【分析】利用等比數(shù)列通項公式、等比數(shù)列定義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷得解.【詳解】若為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，，于是，，當時，不是常數(shù)，此時數(shù)列不是等比數(shù)列，則甲不是乙的充分條件；若為等比數(shù)列，令首項為，公比為，則，，于是當時，，而，當時，不是等比數(shù)列，即甲不是乙的必要條件，所以甲是乙的既不充分也不必要條件.故選：D10．B【分析】根據(jù)圖象確定周期的范圍，得出，再由特殊點求出即可得解.【詳解】由圖可知，，則．，．解得，，故，則，所以，故的最小正周期為．故選：B11．D【分析】連接、、、、、，借助平行線的性質(zhì)可得四點共面，即可得線段與相交，線段與相交，線段與相交，從而排除A、B、C.【詳解】如圖，連接，，，由正方體的性質(zhì)及、分別為棱、的中點，易得，所以線段與相交，與相交，故A、B錯誤；連接，，有，，故，所以線段與相交，C錯誤；連接，直線與，直線與均為異面直線，D正確.故選：D.12．D【分析】依次求出猜想,再用等比數(shù)列求和.【詳解】,,,,,,,故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題關(guān)鍵是通過計算觀察得到,進而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.13．3【分析】根據(jù)給定條件，利用首項表示公差，再借助等差數(shù)列通項計算即得.【詳解】令等差數(shù)列的公差為，由，得，因此，所以.故答案為：314．乙【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義判斷即可.【詳解】因為，所以這四人中，乙研究的兩個隨機變量的線性相關(guān)程度最高，故答案為：乙.15．【分析】由已知條件可得，根據(jù)兩角和的正切公式化簡即可求解.【詳解】因為，所以，所以，又因為，，所以上式可化為：.故答案為：16．##【分析】利用球的截面小圓性質(zhì)，用圓錐的高表示出圓錐的底面圓半徑，再求出圓錐體積的函數(shù)關(guān)系，利用導數(shù)求出最大值即得.【詳解】過圓錐的軸的平面截球面得大圓，截圓錐得軸截面等腰三角形，是球的截面大圓的內(nèi)接三角形，如圖，設(shè)圓錐的高為，圓錐底面圓半徑為，球心到圓錐底面距離，則，即，圓錐體積，求導得，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以圓錐體積的最大值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識解題是解決問題的關(guān)鍵.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先利用勾股定理得出，再利用平面，證，最后根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；’（2）根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量的方法求距離即可.【詳解】（1）因為、分別為、的中點，所以為的中位線，所以，，因為，所以；在中，，，，所以，所以，即；因為平面，平面，所以；又平面，平面，，所以平面.（2）由（1）可知、、兩兩垂直，建立如圖所示分別以、、為、、軸的空間直角坐標系，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，所以，設(shè)到平面的距離為，則.18．(1)；(2)分布列見詳解；【分析】（1）由頻率和為1，可求的值，再由平均數(shù)計算公式求解；（2）根據(jù)分層抽樣可確定的取值，再分別求出概率，最后利用期望公式求解.【詳解】（1）由圖可知，，解得，該村村民成績的平均數(shù)約為；（2）從成績在內(nèi)的村民中用分層抽樣的方法選取6人，其中成績在的村民有人，成績在的村民有4人，從中任選3人，的取值可能為1,2,3，，，，則的分布列為123故19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理統(tǒng)一為角，再由三角恒等變換化簡即可得解；（2）由余弦定理及三角形的面積公式得，再由基本不等式進行求解即可.【詳解】（1）由正弦定理可得，，所以,所以，即，由，可知，所以，即，由，知.（2）由余弦定理，得，即，所以，即，因為，，所以，所以，又（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），所以（當且僅當時取等號），即的最大值為.20．(1)(2)【分析】（1）由離心率公式求出即可；（2）首先計算直線的斜率為時不符合題意，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，表示出，再求出點坐標，即可得到，從而得到方程，求出即可.【詳解】（1）因為橢圓：的離心率為，所以，解得，所以橢圓方程為.（2）由（1）可得，當直線的斜率為時，則，，，所以，，顯然不滿足，故舍去；依題意直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，，，由，消去整理得，顯然，則，，所以，又解得，所以，所以，因為，所以，解得，綜上可得的斜率為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.21．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，分與1的大小關(guān)系討論即可；（2）分別討論與的大小時，利用導數(shù)求出函數(shù)的極值，再求有3個零點時極值的范圍即可求出結(jié)果.【詳解】（1），令，解得或，①當，即時，由得或；由得，所以在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；②當，即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；③當，即時，由得或；由得，所以在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；綜上，當時，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（2）因為有3個零點，所以，當時，極大值；極小值，所以，解得，當時，極大值；極小值，所以，解得，綜上，的取值范圍為.【點睛】方法點睛：（1）帶參數(shù)的單調(diào)性討論問題可按照如下步驟求解：求導，討論方程的性質(zhì)，根的個數(shù)，根的大小，根與給定區(qū)間的關(guān)系；（2）已知方程根的個數(shù)求參數(shù)時，可求導分析極值，利用極值范圍求解.22．(1)，；(2).【分析】（1）消去參數(shù)求出曲線C的普通方程；利用極坐標與直角坐標的互化公式求出l的直角坐標方程.（2）利用點到直線的距離公式，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)求出取值范圍.【詳解】（1）消去曲線C的參數(shù)方程中的參數(shù)得：，把代入直線l的極坐標方程得：，所以C與l的直角坐標方程分別為，.（2）顯然曲線