第07講函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用教師版

第07講函數(shù)的單調(diào)性及其運用【必備知識】1函數(shù)單調(diào)性的判斷（1）函數(shù)遞增（2）函數(shù)遞減（3）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷：同增異減.2函數(shù)的單調(diào)性常用結(jié)論（1）； （2）；（3）； （4）；（5）負號和倒數(shù)改變單調(diào)性，根號維持單調(diào)性..3對勾函數(shù)與飄帶函數(shù)圖像：對勾函數(shù)（）飄帶函數(shù)（）【題型精講】【題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷】【題1】如果函數(shù)在上是增函數(shù)，對于任意的，則下列結(jié)論中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】運用增函數(shù)的定義依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A項，因為在上是增函數(shù)，所以對于任意的，（），當(dāng)時，，所以，，所以，當(dāng)時，，所以，，所以，綜述：，故A項正確；對于B項，因為在上是增函數(shù)，所以對于任意的，（），當(dāng)時，，所以，，所以，當(dāng)時，，所以，，所以，綜述：，故B項不成立；對于C項、D項，由于，的大小關(guān)系不確定，所以與的大小關(guān)系不確定，故C項不成立，D項不成立.故選：A.【題2】下列函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，逐項判斷函數(shù)在上的單調(diào)性作答.【詳解】對于A，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A不是；對于B，函數(shù)在上單調(diào)遞增，B是；對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞減，C不是；對于D，函數(shù)在上不單調(diào)，D不是.故選：B【題3】函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)得出單調(diào)減區(qū)間.【詳解】畫出在R上的圖象，如圖，圖象開口向下，且對稱軸，可知函數(shù)在上遞減．故選：A．【題4】下列四個函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性判斷各項即可.【詳解】對于A，，在區(qū)間為減函數(shù)，故A不符合題意；對于B，的對稱軸為直線，且開口向上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B不符合題意；對于C，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C符合題意；對于D，在區(qū)間為減函數(shù)，故D不符合題意.故選：C【題5】(多選)下列說法中，正確的是（

）A．若對任意，，當(dāng)時，，則在上是增函數(shù)B．函數(shù)在上是增函數(shù)C．函數(shù)在定義域上是增函數(shù)D．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是和【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義判斷A，由二次函數(shù)和反比例函數(shù)性質(zhì)判斷BCD．【詳解】對于A：若對任意，，當(dāng)時，，則有，由函數(shù)單調(diào)性的定義可知在上是增函數(shù)，故A正確．對于B，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C，由反比例函數(shù)單調(diào)性可知，在和上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D：由反比例函數(shù)單調(diào)性可知，單調(diào)減區(qū)間是和，故D正確．故選：AD．【題6】(多選)下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】因得，可化簡各函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】在A中，當(dāng)時，在上為減函數(shù)；在B中，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；在C中，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；在D中，當(dāng)時，在上為增函數(shù).故選：BCD.【題7】函數(shù)的值域為．【答案】【分析】利用對勾函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)在時取得最小值，比較端點處的函數(shù)值可得最大.【詳解】由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有最小值，又所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值，故函數(shù)的值域為．故答案為：．【題8】函數(shù)，對任意的，總存在，使得成立，則a的取值范圍為．【答案】【分析】本題的含義是在上的最小值大于等于在上的最小值，分別求和在對應(yīng)區(qū)間上的最小值即可.【詳解】對于，顯然是增函數(shù)，，最小值為；對于，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，，無解；綜上，a的取值范圍是；故答案為：.【題9】已知函數(shù)過點．(1)求的解析式；(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明．(3)求函數(shù)在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析(3)最小值為，最大值為.【分析】（1）把點代入函數(shù)解析式，求出的值，可得的解析式；（2）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性；（3）利用函數(shù)單調(diào)性，可函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值.【詳解】（1）由函數(shù)過點，有，解得，所以的解析式為：．（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增.證明：，且，有．由，得．則，即．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．（3）由在上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.【題10】已知函數(shù)．(1)作出函數(shù)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫出的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)見解析(2)，【分析】（1）分類討論去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)畫出圖象；（2）由圖象寫出函數(shù)單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由，作出函數(shù)圖象，如圖，（2）由圖象可知，函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為，.【題型二已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍】【題1】“函數(shù)在上為增函數(shù)”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍，根據(jù)充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系.【詳解】由在上為增函數(shù)，則，所以“函數(shù)在上為增函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B【題2】若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)滿足（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)的圖象是開口向上，且以為對稱軸，則，解不等式即可得出答案.【詳解】函數(shù)的圖象是開口向上，且以為對稱軸，若在上單調(diào)遞減，所以，解得：.故選：B.【題3】若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】已知是二次函數(shù)，其對稱軸為，開口向上，要使得函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則必須，即，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【題4】若函數(shù)在上單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的對稱軸，討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，從而得出的范圍；【詳解】函數(shù)的對稱軸是，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則可能單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減，則，即時，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增.于是故選：C【題5】若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出給定二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再利用集合的包含關(guān)系求解作答.【詳解】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C【題6】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令二次函數(shù)對稱軸大于小于即可求解.【詳解】的對稱軸為：，要使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得.故選：B.【題7】已知在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸，再結(jié)合單調(diào)性列式即可求得結(jié)果.【詳解】因為的對稱軸為，又因為在上是單調(diào)函數(shù)，所以或，解得或，所以m的范圍是，故選：D.【題8】函數(shù)在上嚴(yán)格增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的單調(diào)性列式求解．【詳解】在上單調(diào)遞增，要使得在上單調(diào)遞增，則，解得.故選：A【題9】(多選)設(shè)函數(shù)，當(dāng)為上增函數(shù)時，實數(shù)a的值可能是（

）A．－1 B．－2 C．－3 D．－4【答案】BCD【分析】等價于函數(shù)，分別遞增，且函數(shù)在處的函數(shù)值小于等于函數(shù)在處的函數(shù)值.據(jù)此可得答案.【詳解】由題，函數(shù)對稱軸為，要使其在上遞增，則；要使在上遞增，則；要使為上增函數(shù)，則函數(shù)在處的函數(shù)值小于等于函數(shù)在.綜上，.故選：BCD【題10】(多選)已知函數(shù)在上的值域為，則實數(shù)的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【分析】配方后得到當(dāng)時，取得最小值，結(jié)合，求出，得到答案.【詳解】，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值，又，故要想在上的值域為，則要，故實數(shù)的值可以是.故選：BCD【題11】若函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，則.【答案】【分析】根據(jù)條件求得函數(shù)的對稱軸，從而得到的值，進而求得.【詳解】因為函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)所以的圖象的對稱軸為，解得：，則，所以，故答案為：.【題12】函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向及對稱軸，可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而列出不等式求解即可.【詳解】函數(shù)為二次函數(shù)，開口向上，且對稱軸方程為，則的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則有.故答案為：【題13】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】要求分段函數(shù)每一段上均單調(diào)遞增，且分段處，右端函數(shù)值大于等于左端函數(shù)值，從而得到不等式組，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：【題14】已知在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)單調(diào)性分別列不等式計算即可.【詳解】由在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，有解得，則的取值范圍為.故答案為:.【題15】已知函數(shù)在上具有單調(diào)性，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，結(jié)合已知可得.【詳解】函數(shù)關(guān)于對稱，因為函數(shù)在上具有單調(diào)性，所以，或．故答案為：【題16】已知在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【分析】先對函數(shù)解析式變形，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】，因為在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，即.故答案為：.【題型三利用函數(shù)單調(diào)性解不等式】【題1】函數(shù)的定義域為，且對于任意均有成立，若，則正實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，可知在上單調(diào)遞減，又，所以,解不等式即可得解.【詳解】由題意,，不失一般性不妨假設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以,解不等式得,則正實數(shù)的取值范圍為.故選：B.【題2】已知是定義在上的增函數(shù)，且，則滿足的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】因為，所以由，因為是定義在上的增函數(shù)，所以有，故選：A【題3】已知函數(shù)，且當(dāng)時，總有，若，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題意在是單調(diào)增函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．【詳解】由題意在是單調(diào)增函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為，解得：，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：．【題4】已知函數(shù)的定義域為，對任意的、，且都有成立，若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】由題意可得函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可得對恒成立，進而得到，從而求解即可.【詳解】對任意的，且都有成立，不妨設(shè)，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，由對恒成立，所以對恒成立，所以，即，，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：．【題型四復(fù)合函數(shù)單調(diào)性】【題1】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可得：，解得：，即或，根據(jù)二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為：.故選：C.【題2】已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．定義域、值域分別是， B．單調(diào)減區(qū)間是C．定義域、值域分別是， D．單調(diào)減區(qū)間是【答案】C【分析】因被開方數(shù)為非負實數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，可判斷BD錯誤，再利用配方，結(jié)合算術(shù)平方根的非負性，可得函數(shù)的值域為，即得C正確.【詳解】因為函數(shù)，所以，解得，故函數(shù)的定義域為，故BD錯誤；，因，故，所以函數(shù)的值域為，故A錯誤，C正確；故選：C【題3】關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．值域是 B．單調(diào)遞增區(qū)間是C．值域是 D．單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】D【分析】求出的定義域，根據(jù)在內(nèi)的單調(diào)性與值域判斷的單調(diào)性與值域.【詳解】因為有意