天津第五十九中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

天津第五十九中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)，若，則數(shù)列{xn}是（

）A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列 D.偶數(shù)項(xiàng)遞增，奇數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列參考答案：C【分析】根據(jù)題意，由三角函數(shù)的性質(zhì)分析可得，進(jìn)而可得函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系分析可得答案。【詳解】根據(jù)題意，，則，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)即即即即，數(shù)列是奇數(shù)項(xiàng)遞增，偶數(shù)項(xiàng)遞減的數(shù)列，故選：C.【點(diǎn)睛】本題涉及數(shù)列的函數(shù)特性，利用函數(shù)單調(diào)性，通過函數(shù)的大小，反推變量的大小，是一道中檔題目。

2.函數(shù)f（x）=2x﹣的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】令函數(shù)f（x）=0得到，轉(zhuǎn)化為兩個簡單函數(shù)g（x）=2x，h（x）=，最后在同一坐標(biāo)系中畫出g（x），h（x）的圖象，進(jìn)而可得答案．【解答】解：令=0，可得，再令g（x）=2x，，在同一坐標(biāo)系中畫出g（x），h（x）的圖象，可知g（x）與h（x）的交點(diǎn)在（，1），從而函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在（，1），故選：B．3.天氣預(yù)報(bào)說，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為50%．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬試驗(yàn)的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率：先利用計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三個隨機(jī)數(shù)作為一組，代表這三天的下雨情況．經(jīng)隨機(jī)模擬試驗(yàn)產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989據(jù)此估計(jì)，這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.50參考答案：B【考點(diǎn)】CE：模擬方法估計(jì)概率．【分析】由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，分析所給的數(shù)據(jù)可得表示三天下雨的數(shù)據(jù)組數(shù)，根據(jù)概率公式，計(jì)算可得結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意，用隨機(jī)模擬試驗(yàn)?zāi)M三天中恰有兩天下雨的結(jié)果，分析可得：20組數(shù)據(jù)中表示三天中恰有兩天下雨的有191、271、932、812、393、027、730，共7組，則這三天中恰有兩天下雨的概率近似為=0.35；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查模擬方法估計(jì)概率，解題主要依據(jù)是等可能事件的概率，注意列舉法在本題的應(yīng)用．4.同時(shí)擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為（）A．B．C．D．參考答案：B考點(diǎn)：等可能事件的概率．專題：計(jì)算題．分析：本題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是同時(shí)擲兩枚骰子，共有6×6種結(jié)果，而滿足條件的事件是兩個點(diǎn)數(shù)之和是5，列舉出有4種結(jié)果，根據(jù)概率公式得到結(jié)果解答：解：由題意知，本題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是同時(shí)擲兩枚骰子，共有6×6=36種結(jié)果，而滿足條件的事件是兩個點(diǎn)數(shù)之和是5，列舉出有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），共有4種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到P==，故選B．點(diǎn)評：古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問題為載體．5.閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的S值為（）A.3 B.4 C.5 D.6參考答案：B【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得S＝4，n＝1，不滿足條件S≥6，S＝8，n＝2不滿足條件n＞3，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件S≥6，S＝2，n＝3不滿足條件n＞3，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件S≥6，S＝4，n＝4此時(shí)，滿足條件n＞3，退出循環(huán)，輸出S的值為4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．6.（5分）函數(shù)f（x）=Asin（2x+Φ）（A＞0，Φ∈R）的部分圖象如圖所示，則f（﹣）=（） A． ﹣1 B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣參考答案：D考點(diǎn)： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專題： 計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．分析： 由圖可知，A=2，f（）=2，可得2sin（+φ）=2，即解得φ的值，從而求出解析式，即可求f（﹣）=2sin（﹣﹣）的值．解答： 解：由圖可知，A=2，f（）=2，∴2sin（+φ）=2，即sin（+φ）=1，∴解得：+φ=+2π（k∈Z），∴解得：φ=﹣+2kπ，（k∈Z），∴f（x）=2sin（2x﹣+2kπ）=2sin（2x﹣）．∴f（﹣）=2sin（﹣﹣）=2sin（﹣）=﹣．故選：D．點(diǎn)評： 本題主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．7.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(

)A．f（x）=log22x，g（x）= B．f（x）=，g（x）=xC．f（x）=x，g（x）= D．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx參考答案：A【考點(diǎn)】判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】判斷函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則是否相同，推出結(jié)果即可．【解答】解：f（x）=log22x=x，g（x）==x，兩個函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則相同，所以是相同函數(shù)．f（x）=，g（x）=x，兩個函數(shù)的對應(yīng)法則不相同，所以不是相同函數(shù)．f（x）=x，g（x）=兩個函數(shù)的定義域不相同，所以不是相同函數(shù)．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx兩個函數(shù)的定義域不相同，所以不是相同函數(shù)．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查兩個函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則的判斷，是基礎(chǔ)題．8.已知直線x+ay﹣1=0是圓C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的對稱軸，過點(diǎn)A（﹣4，a）作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|=（） A．2 B．6 C．4 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系． 【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓． 【分析】求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心和半徑，由直線l：x+ay﹣1=0經(jīng)過圓C的圓心（2，1），求得a的值，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再利用直線和圓相切的性質(zhì)求得|AB|的值． 【解答】解：∵圓C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4， 表示以C（2，1）為圓心、半徑等于2的圓． 由題意可得，直線l：x+ay﹣1=0經(jīng)過圓C的圓心（2，1）， 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，點(diǎn)A（﹣4，﹣1）． ∵AC==2，CB=R=2， ∴切線的長|AB|===6． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題主要考查圓的切線長的求法，解題時(shí)要注意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相切的性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題． 9.下列各式不能化簡為的是

（）A．

B．C．

D．參考答案：C略10.已知其中為常數(shù)，若則的值等于(

)

A.-2

B.-4

C.-6

D.-10參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓C的圓心與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與圓C相交于兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為

.參考答案：略12.設(shè)函數(shù)．對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．參考答案：已知為增函數(shù)且，若，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知和均為增函數(shù)，故不合題意；當(dāng)時(shí)，，可得，可得，∵在上的最小值為，∴，即，解得：或（舍），故實(shí)數(shù)的取值范圍是．13.若a＞0，b＞0，a與b的等差中項(xiàng)是5，則ab的最大值是

．參考答案：2514.設(shè)集合A={1，2，3}，B={2，4}，則A∩B=

．參考答案：{2}【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；定義法；集合．【分析】由A與B，求出兩集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，4}，∴A∩B={2}，故答案為：{2}．【點(diǎn)評】此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．15.（5分）已知函數(shù)f（x）=x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，則f（x）的值域是

．參考答案：{﹣1，0，3}考點(diǎn)： 函數(shù)的值域．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 求出函數(shù)的定義域，然后求解對應(yīng)的函數(shù)值即可．解答： 函數(shù)f（x）=x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z所以x=﹣2，﹣1，0，1；對應(yīng)的函數(shù)值分別為：0，﹣1，0，3；所以函數(shù)的值域?yàn)椋簕﹣1，0，3}故答案為：{﹣1，0，3}．點(diǎn)評： 本題考查函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域的求法，注意定義域是易錯點(diǎn)．16.

；

參考答案：17.若直線l的方程為，則其傾斜角為____，直線l在y軸上的截距為_____.參考答案：

【分析】先求得斜率，進(jìn)而求得傾斜角；令，求得直線在軸上的截距.【詳解】依題意，直線的斜率為，故傾斜角為.令，求得直線在軸上的截距.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線斜率和傾斜角，考查直線的縱截距的求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有件，其中件為正品，件為次品：（1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)次取出的都是正品的概率；（2）如果從中一次取件，求件都是正品的概率

參考答案：解：（1）有放回地抽取次，按抽取順序記錄結(jié)果，則都有種可能，所以試驗(yàn)結(jié)果有種；設(shè)事件為“連續(xù)次都取正品”，則包含的基本事件共有種，因此，（2）可以看作不放回抽樣次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄，則有種可能，有種可能，有種可能，所以試驗(yàn)的所有結(jié)果為種

設(shè)事件為“件都是正品”，則事件包含的基本事件總數(shù)為,所以

略19.（本題滿分12分)在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離A為

nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西方向，距離A為2nmile的C處有一艘緝私艇奉命以nmile/h的速度追截走私船，此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東方向逃竄，問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時(shí)間。(本題解題過程中請不要使用計(jì)算器，以保證數(shù)據(jù)的相對準(zhǔn)確和計(jì)算的方便)參考答案：解：設(shè)緝私艇追上走私船需t小時(shí)

則BD=10tnmile

CD=tnmile

∵∠BAC=45°+75°=120°

∴在△ABC中，由余弦定理得

即由正弦定理得∴∠ABC=45°，∴BC為東西走向∴∠CBD=120°在△BCD中，由正弦定理得∴∠BCD=30°，∴∠BDC=30°∴即∴（小時(shí)）答：緝私艇沿北偏東60°方向行駛才能最快追上走私船，這需小時(shí)。

20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，Sn+1﹣2Sn=1（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=n+，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）由題意可得Sn+1+1=2（Sn+1），即有數(shù)列{Sn+1}是以S1+1=2，2為公比的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的遞推式，可得所求通項(xiàng)公式；（2）求出bn=n+=n+n?（）n﹣1，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：分組求和和錯位相減法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡計(jì)算即可得到所求和．【解答】解：（1）a1=1，Sn+1﹣2Sn=1，即為Sn+1+1=2（Sn+1），即有數(shù)列{Sn+1}是以S1+1=2，2為公比的等比數(shù)列，則Sn+1=2?2n﹣1=2n，即Sn=2n﹣1，n∈N*，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，上式對n=1也成立，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣1，n∈N*；（2）bn=n+=n+n?（）n﹣1，前n項(xiàng)和Tn=（1+2+3+…+n）+[1?1+2?（）+3?（）2+…+n?（）n﹣1]，設(shè)Mn=1?1+2?（）+3?（）2+…+n?（）n﹣1，Mn=1?+2?（）2+3?（）3+…+n?（）n，相減可得，Mn=1++（）2+（）3+…+（）n﹣1﹣n?（）n=﹣n?（）n，化簡可得Mn=4﹣（n+2）?（）n﹣1，則Tn=n（n+1）+4﹣（n+2）?（）n﹣1．21.已知數(shù)列{an}，{bn}滿足，數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn.（1）若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為正數(shù)，公比為的等比數(shù)列.①求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；②若對任意恒成立，求q的值；（2）已知{an}為遞增數(shù)列，即.若對任意，數(shù)列{an}中都存在一項(xiàng)使得，求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列.參考答案：解：（1）①數(shù)列是公比