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上海音樂學(xué)院安師附屬實驗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.(5分)已知=(3,4),=(5,12),則與夾角的余弦為() A. B. C. D. 參考答案:A考點: 數(shù)量積表示兩個向量的夾角.專題: 計算題.分析: 利用向量的模的坐標(biāo)公式求出向量的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積公式求出兩個向量的數(shù)量積;利用向量的數(shù)量積求出向量的夾角余弦.解答: =5,=13,=3×5+4×12=63,設(shè)夾角為θ,所以cosθ=故選A.點評: 本題考查向量的模的坐標(biāo)公式、向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式、利用向量的數(shù)量積求向量的夾角余弦.2.已知變量滿足約束條件,則的取值范圍是(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:A約束條件對應(yīng)的三個“角點”坐標(biāo)分別為:
,則3.某程序框圖如圖所示,該程序運行后輸出的值是8,則S0值為下列各值中的
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
參考答案:A略4.已知函數(shù),若=-1,則實數(shù)a的值為
A、2B、±1C.1D、一1參考答案:C,故選C.5.已知雙曲線C2:的一個頂點是拋物線C1:y2=2x的焦點F,兩條曲線的一個交點為M,|MF|=,則雙曲線C2的離心率是()A. B. C. D.參考答案:C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】通過題意可知F(,0)、不妨記M(1,),將點M、F代入雙曲線方程,計算即得結(jié)論.【解答】解:由題意可知F(,0),由拋物線的定義可知:xM=﹣=1,∴yM=±,不妨記M(1,),∵F(,0)是雙曲線的一個頂點,∴=1,即a2=,又點M在雙曲線上,∴=1,即b2=,∴e==,故選:C.【點評】本題考查求雙曲線的離心率,考查運算求解能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.6.若在曲線f(x,y)=0上兩個不同點處的切線重合,則稱這條切線為曲線f(x,y)=0的“自公切線”。下列方程:①;②,③;④對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有
(
)
A.③④
B.①④
C.①②
D.②③參考答案:D略7.在△ABC中,,,E,F為BC的三等分點,則?=(
) A.
B.
C.
D.參考答案:B8.已知,則
(
)A. B.
C.
D.參考答案:A9.利用如圖算法在平面直角坐標(biāo)系上打印一系列點,則打印的點在圓內(nèi)有(
)A.2個
B.3個
C.4個
D.5個參考答案:B10.設(shè)集合,,則M∩N=()A.{-2,-1} B.{-1,0} C.{0,1} D.{1,2}參考答案:C【分析】先求解集合N中的不等式,再求交集即可?!驹斀狻?;故選:C【點睛】本題考查集合的基本運算,求兩個集合的交集,屬于基礎(chǔ)題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若對恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是
。參考答案:12.在Rt中,,,P是AB邊上的一個三等分點,則的值為____參考答案:4運用坐標(biāo)法如圖A
設(shè)=2x+2y=2(x+y)如圖所示,P坐標(biāo)為或可得原式=
注意:要必須畫圖,切忌憑空想象13.在的二項展開式中,的系數(shù)為
參考答案:-4014.(1)在極坐標(biāo)系中,定點,點在直線上運動,當(dāng)線段最短時,點的極坐標(biāo)為
.參考答案:15.若a>0,則的最小值是____________.參考答案:516.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,已知兩點、的極坐標(biāo)分別為,,則△(其中為極點)的面積為
參考答案:317.已知函數(shù)則______.參考答案:考點:1、分段函數(shù)的解析式;2、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(滿分14分)如圖,在四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,(Ⅰ)求證:平面BCD;(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;(Ⅲ)求點E到平面ACD的距離.參考答案:是直角斜邊AC上的中線,∴
……………9分
方法二:(2)解:以O(shè)為原點,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,……
9分19.(12分)(2015?欽州模擬)如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC且AB⊥BC.(1)求證:AC⊥A1B;(2)求三棱錐C1﹣ABA1的體積.參考答案:【考點】:棱柱、棱錐、棱臺的體積;空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.【專題】:空間位置關(guān)系與距離.【分析】:(1)取AC中點O,連A1O,BO,由已知得A1O⊥AC,BO⊥AC,從而AC⊥平面A1OB,由此能證明AC⊥A1B.(2)由,利用等積法能求出三棱錐C1﹣ABA1的體積.(1)證明:取AC中點O,連A1O,BO.∵AA1=A1C,∴A1O⊥AC,…1分又AB=BC,∴BO⊥AC,…2分∵A1O∩BO=O,∴AC⊥平面A1OB,…3分又A1B?平面A1OB,…4分∴AC⊥A1B…5分(2)解:由條件得:…6分∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC且AB⊥BC,∴,,…9分∴=…10分=.…12分【點評】:本題考查異面直線垂直的證明,考查三棱錐的體積的求法,解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng).20.(本小題滿分13分)已知函數(shù).(1)求證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極值點,并用二分法求函數(shù)取得極值時相應(yīng)的近似值(誤差不超過);(參考數(shù)據(jù),,)(2)當(dāng)時,若關(guān)于的不等式恒成立,試求實數(shù)的取值范圍.參考答案:解:(Ⅰ),
∵
,,∴
.
………………2分令,則,
……3分∴
在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴
在區(qū)間上存在唯一零點,∴
在區(qū)間上存在唯一的極小值點.
…………………4分取區(qū)間作為起始區(qū)間,用二分法逐次計算如下:①
,而,∴
極值點所在區(qū)間是;②
又,∴
極值點所在區(qū)間是;③
∵
,∴
區(qū)間內(nèi)任意一點即為所求.
……7分(Ⅱ)由,得,即,∵
,
∴,……8分令,則.
………………10分令,則.∵,∴,∴在上單調(diào)遞增,∴,因此故在上單調(diào)遞增,
……12分則,∴
的取值范圍是………13分略21.已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)時,討論函數(shù)的零點個數(shù).參考答案:(1)見解析;(2)見解析【分析】(1)討論a的范圍,得出f′(x)>0和f′(x)<0的解集,得出f(x)的單調(diào)性;(2)求出f(x)的極大值,判斷極大值小于0,根據(jù)f(x)的單調(diào)性得出f(x)的零點個數(shù).【詳解】(1),令,其對稱軸為,令,則.當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,對稱軸為,若,即,恒成立,所以,所以在上單調(diào)遞增;若時,設(shè)的兩根,,當(dāng)時,,所以,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,所以,所以在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,所以,所以在上單調(diào)遞增,綜上所述:當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;若時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2)當(dāng)時,由(1)知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,下面研究的極大值,又,所以,令,則(),可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且的極大值,所以,所以,當(dāng)時,單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,單調(diào)遞增,且,,所以存在,使得,又當(dāng)時,單調(diào)遞增,所以只有一個零點,綜上所述,當(dāng)時,在上只有一個零點.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,函數(shù)極值、單調(diào)性與函數(shù)零點的個數(shù)判斷,屬于難題.22.(本小題滿分14分)如圖,已知橢圓C:的離心率,短軸的右端點為B,M(1,0)為線段OB的中點.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)過點M任意作一條直線與橢圓C相交于兩點P,Q試問在x軸上是否存在定點N,使得∠PNM=∠QNM?若存在,求出點N的坐標(biāo);若不存在,說明理由.參考答案:(Ⅰ).(Ⅱ)滿足條件的點N存在,坐標(biāo)為.試題分析:(Ⅰ)由題意知,,由,得(Ⅱ)假設(shè)存在滿足條件的點N,坐標(biāo)為(t,0),其中t為常數(shù).由題意直線PQ的斜率不為0,可得直線PQ的方程可設(shè)為:,;設(shè),聯(lián)立,消去x得:,應(yīng)用韋達(dá)定理
根據(jù)知:即,整理得即求得.試題解析:(Ⅰ)由題意知,
…1分由,
…3分橢圓方程為.
…4分(Ⅱ)若存在滿足條件的點N,坐標(biāo)為(t,0),其中t為常數(shù).由題意直線PQ的斜率不為0,直線PQ的方程可設(shè)為:,
…5分設(shè),
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