全等三角形倍長中線(含答案)

全等三角形倍長中線三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的連線三角形中線的相關(guān)定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)見到中線(中點(diǎn))，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無非是倍長中線以及中位線定理(以后還要學(xué)習(xí)中線長公式)，尤其是在涉及線段的等量關(guān)系時(shí)，倍長中線的應(yīng)用更是較為常見．例1、已知：中，是中線．求證：．如圖所示，延長到，使，連結(jié)，利用證得≌，∴中，，∴∴練習(xí)：在中，，則邊上的中線的長的取值范圍是什么？中線倍長，例2、如圖，中，，是中線．求證：．延長到，使，連結(jié)．在和中∴∴，在中，∵，∴∴，∴．(如果取中點(diǎn)用中位線也可證，目前還不能)例3、如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，延長交于，，求證：．延長到，使，連結(jié)∵，，∴∴．又∵，∴∴∴，∴．例4、如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線．延長到點(diǎn)，使，連結(jié)．在和中∴∴，∴，而∴又∵∴，∴∴為的角平分線．例5、已知△ABC，，D，E分別是AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交底BC于G，求證GD=GE．(等腰三角形、線段相等)(一)過E作EF∥AB，交BC的延長線于F，則∠B=∠F∵∠3=∠4，∠3=∠B∴∠4=∠F∴CE=EF在△GEF與△GDB中，∴△GFE≌△GBD∴證明(二)過D，E分別作直線DK⊥CB，EF⊥CB∵∠1=∠2∠2=∠B∴∠1=∠B又∵BD=CE∴Rt△BDK≌△CEF∴DK=EF又∵∠3=∠4．∴Rt△DKG≌Rt△EFG∴GD=GE證明(三)過D點(diǎn)作DK∥AC交BC于K過D點(diǎn)作DF∥BC交AC于F∴四邊形DKCF是開行四邊形∴DK=FC∠1=∠C∵∠C=∠B∴∠1=∠B∴DB=DK=CE=CF∴C是EF中點(diǎn)，∴BC∥DF∴G是DE中點(diǎn)，∴DG=EG注(此題還有他法，可補(bǔ)充)例6、已知為的中線，，的平分線分別交于、交于．求證：．延長到，使，連結(jié)、．易證≌，∴，又∵，的平分線分別交于、交于，∴，利用證明≌，∴，在中，，∴．例7、已知：如圖，梯形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)．求證：．∵點(diǎn)是中點(diǎn)∴又∵，在延長線上∴，在與中∴例8、如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，，分別是及其延長線上的點(diǎn)，．求證：．∵，∴．又∵，，∴．例9、在中，是斜邊的中點(diǎn)，、分別在邊、上，滿足．若，，則線段的長度為_________．如圖、延長至點(diǎn)，使得，聯(lián)結(jié)、．由，有．又，．例10、如圖所示，在和中，、分別是、上的中線，且，，，求證．如圖所示，分別延長、至、，使，．連接、，則，．因?yàn)椋裕诤椭?，，，，故，從而，．同理，，則，．因?yàn)?，所以．在和中，，，，所以，從而，，故，則．在和中，，，，故．練習(xí)1、如圖，在等腰中，，是的中點(diǎn)，過作，，且．求證：．本題相對例題簡單一些．連結(jié)，則．∵，，∴∴，∴．2、如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長交于，與相等嗎？為什么？延長到，使，連結(jié)∵，，∴．∴．又∵，∴∴，而∴，故．3、如右下圖，在中，若，，為邊的中點(diǎn)．求證：．如右下圖，則取邊中點(diǎn)，連結(jié)、．由中位線可得，且．為斜邊上的中線，∴．∴，又∵，即，∴，∴，∴．4、如圖，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線分別交DA、BC的延長線于E，F(xiàn)．求證：∠E=∠F(提示：由△ABD≌△CDB，得∠1=∠2，過