(完整版)湖南師范大學(xué)考研專業(yè)課高等量子力學(xué)知識點綜述

PAGEPAGE27量子力學(xué)的基本假設(shè)微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性。力學(xué)量用厄米算符表示。如果在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則在量子力學(xué)中表示這個力學(xué)量的算符，由經(jīng)典表示式中將動量P換為。表示力學(xué)量的算符有組成完全系的本征函數(shù)。將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符的本征函數(shù)展開（）：，則在態(tài)中測量力學(xué)量得到結(jié)果為的幾率是，得到結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率是。體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程：在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)。所謂全同性，是指無法確認(rèn)兩個物體之間的任何差別。在量子體系中，由于態(tài)的量子化，兩個量子態(tài)要么全同，要么全不同，沒有中間連續(xù)的過渡態(tài)。沒有態(tài)的量子化，就談不上全同性。反之，全同性又對自然界中的可能出現(xiàn)的量子態(tài)給與很嚴(yán)格的限制，即全同粒子系的量子態(tài)，對于兩個粒子交換，要么是對成的，要么是反對稱，二者必居其一。這種對稱性導(dǎo)致統(tǒng)計性守恒。矩陣力學(xué)與波動力學(xué)的關(guān)系量子力學(xué)本身是在1923-1927年一段時間中建立起來的，兩個等價的理論——矩陣力學(xué)和波動力學(xué)幾乎同時提出。矩陣力學(xué)是在對波爾的舊量子論的批判中產(chǎn)生的。矩陣力學(xué)的創(chuàng)始人海森伯的觀點是：任何物理理論只應(yīng)討論物理上可以觀測的物理量，對于建立微觀現(xiàn)象的正確理論，尤其要注意這點。他認(rèn)為舊量子論中引用了一整套沒有實驗根據(jù)的概念，例如，電子軌道的概念，因為沒有任何實驗支持我們肯定電子有完全確定的軌道。事實上，也沒有什么實驗證據(jù)妨礙我們拋棄電子由精確的軌道的概念。海森伯、波恩與約當(dāng)?shù)木仃嚵W(xué)，從物理上可觀測量，例如原子輻射的頻率及強(qiáng)度出發(fā)，賦予每一個物理以一個矩陣，它們的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則與經(jīng)典物理量不相同，遵守乘法不可對易的代數(shù)。量子體系得各力學(xué)量（矩陣）之間的關(guān)系（矩陣方程），形式上與經(jīng)典力學(xué)相似，但運(yùn)算規(guī)則不同。另一個理論即薛定諤的波動力學(xué)，則從完全不同的觀點出發(fā)，它來源于德布羅意的物質(zhì)波思想。德布羅意在研究了力學(xué)與光學(xué)的相似性之后，企圖找到實物粒子與輻射的統(tǒng)一的基礎(chǔ)，他提出了下列假定：波動-粒子的兩重性是微觀客體的普遍性質(zhì)。他從這概念出發(fā)，較自然的導(dǎo)出了量子化條件。薛定諤進(jìn)一步推廣了物質(zhì)波的概念，找到了一個量子體系的物質(zhì)波的運(yùn)動方程——薛定諤方程，它是波動力學(xué)的核心。與矩陣力學(xué)一樣，薛定諤用他的波動方程成功的解決了氫原子光譜等一系列重大問題。接著，薛定諤還證明，矩陣力學(xué)與波動力學(xué)是完全等價的，是同一種力學(xué)規(guī)律的兩種不同的表述。事實上，量子理論還可以有更為普遍地表述出來，這是狄拉克的工作。量子理論的詮釋及內(nèi)部的字恰是在波恩對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋提出之后才得以解決的。到此，量子力學(xué)還是非相對論量子力學(xué)。狄拉克的電磁場的量子理論對它作了補(bǔ)充。這樣，涉及到非相對論的實物粒子與電磁場作用的問題，原則上都可以解決了。對Bohr互補(bǔ)性原理的理解通常人們所說的“量子力學(xué)的哥本哈根詮釋”的兩大支柱就是海森伯德不確定度原理和Bohr的互補(bǔ)性原理。它們構(gòu)成了正統(tǒng)的量子力學(xué)理論的物理詮釋的基礎(chǔ)。哥本哈根學(xué)派的代表人物是Bohr、Heisenberg、Pauli等人，在長期的量子力學(xué)基本概念和物理詮釋的長期爭論中，堅持Born的波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，即把微觀粒子呈現(xiàn)出的波動性理解為“概率波”，而不同意薛定諤、德布羅意等人的“把物質(zhì)歸結(jié)為純粹的波動現(xiàn)象”的觀點。也不贊同愛因斯坦等人堅持的決定論性描述的觀點。我們注意到，Bohr與Heisenberg的觀點，在早期是有區(qū)別的。最初，Heisenberg“不愿意承認(rèn)波動性概念有什么重要性”，“波動力學(xué)只不過是一個有用的數(shù)學(xué)工具”，而Bohr認(rèn)為“波動概念必須與粒子概念一道納入量子理論的基本假設(shè)之中”。Bohr認(rèn)為：“波動與粒子描述是兩個理想的經(jīng)典概念，每個概念都有一個有限的適用范圍。在特定的物理現(xiàn)象的實驗探索中，輻射和實物均可以展現(xiàn)其波動性和粒子性。但這兩種描述中的任何單獨(dú)一個，都不能對所涉及的現(xiàn)象給出完整的說明”。這兩種描述中的任何一個都是不充分的。盡管它們彼此不相容，但為了說明所有可能的實驗現(xiàn)象，又都是必需的。為了表示這種彼此不相容，而為了完整描述又都是必要的邏輯關(guān)系，Bohr提出了“互補(bǔ)性”這個術(shù)語。從量子力學(xué)的最新進(jìn)展來看，除了Bohr強(qiáng)調(diào)過的波動-粒子兩相性這一對互補(bǔ)概念之外，互補(bǔ)性原理的更深刻的含義還有待探討。如連續(xù)性和離散性，概率性和決定論性在量子力學(xué)中的并存等。波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)可以給出對體系進(jìn)行各種測量的結(jié)果出現(xiàn)的概率的預(yù)期值。處理測量問題，對于一個自洽的理論體系來講，應(yīng)該把測量裝置與待測體系看成一個復(fù)合體系。但人們通常只對待測體系的測量結(jié)果有興趣，此時人們就應(yīng)把待測體系看成復(fù)合體系的一個子體系，由約化密度矩陣去描述結(jié)果。疊加原理與糾纏態(tài)當(dāng)體系處于某力學(xué)量F的若干本征態(tài)的疊加態(tài)時，就導(dǎo)致測量F的結(jié)果的不確定性，這完全是一種量子力學(xué)效應(yīng)。量子態(tài)的疊加原理是波的疊加性與波函數(shù)完全描述一個體系的量子態(tài)兩個概念的概括。量子態(tài)的疊加性源于微觀粒子“波粒二象性”的波動“相干疊加性”（一個以上的信息狀態(tài)累加在同一個微觀粒子上的現(xiàn)象）；量子糾纏態(tài)指的是兩個或多個量子系統(tǒng)之間的非定域、非經(jīng)典的關(guān)聯(lián)，是量子系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)或各自由度之間關(guān)聯(lián)的力學(xué)屬性（一個以上的微觀粒子因微觀系統(tǒng)內(nèi)特性相互交纏在一起的現(xiàn)象。）量子態(tài)可以疊加的物理特性是實現(xiàn)量子并行計算的基礎(chǔ)。量子態(tài)能夠糾纏是實現(xiàn)信息高速的不破譯通信的理論基礎(chǔ)。它們都是量子信息理論中特有的概念。量子態(tài)的糾纏是量子系統(tǒng)各子系統(tǒng)或各自由度之間關(guān)聯(lián)的屬性。經(jīng)典系統(tǒng)內(nèi)也有此關(guān)聯(lián)，但它表現(xiàn)在概率不相乘上，而量子態(tài)的糾纏卻反映在概率幅不相乘上。概率幅的糾纏將對量子干涉產(chǎn)生重要的影響。當(dāng)量子比特的疊加態(tài)無法用各量子比特的張量乘積表示時，這種疊加態(tài)就稱為量子糾纏狀態(tài)。量子糾纏狀態(tài)是量子信息理論中的特有的概念。盡管處于糾纏的兩個或多個量子系統(tǒng)之間不存在實際物質(zhì)的聯(lián)系，但不同的量子位卻因為糾纏而彼此影響。正是由于“糾纏”的神秘性，使得一個量子態(tài)的狀態(tài)將與另一個量子態(tài)相關(guān)，似乎在它們相互之間的關(guān)聯(lián)性上比緊密結(jié)合的原子的關(guān)聯(lián)性還強(qiáng)。EPR佯謬愛因斯坦等于1935年發(fā)表了一篇簡短而重要的文章對量子力學(xué)描述的完備性和理論的自洽性提出了尖銳的批評。EPR一文中提出了兩個論斷：（1）量子力學(xué)對于“物理實在”的描述是不完備的。這主要是針對于波函數(shù)的統(tǒng)計解釋。認(rèn)為“上帝并不擲子”。他們相信，應(yīng)該存在所謂的“隱變量”可以對物理實在給出更加完備的描述。（２）、量子力學(xué)理論是不自洽的。這個問題的實質(zhì)是涉及多粒子體系（或多自由度體系）的糾纏概念的澄清。而在坐標(biāo)表象中就表現(xiàn)為量子力學(xué)中的“非定域性”。解決EPR佯謬的關(guān)鍵是對于一個復(fù)合體系進(jìn)行的測量，是一個不完備的測量，因而對它的任何一個子體系的量子態(tài)的描述，必須用約化密度矩陣來描述。因此，EPR佯謬一文對量子力學(xué)正統(tǒng)理論提出的指責(zé)是不成立的。另外，一個多粒子（或多自由度）體系的量子態(tài)采用一個表象展開時，其基矢必須是多粒子體系的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)（完備，正交），波函數(shù)的統(tǒng)計解釋才能賦予展開系數(shù)（是一個數(shù)）的模方以測量力學(xué)量完全集的相應(yīng)的某一組本征值出現(xiàn)的概率的物理意義。在EPR佯謬一文的分析中，把一個復(fù)合體系的量子態(tài)按照它的一個子體系的某一組力學(xué)量的完全集來展開，而把系數(shù)（是一組體系的某一組力學(xué)量完全集的本征態(tài)失）與子體系的那組力學(xué)量出現(xiàn)的概率聯(lián)系起來，這一錯誤導(dǎo)致了量子力學(xué)多年的爭論。Bohr對應(yīng)原理在大量子數(shù)極限情況下，量子體系的行為將漸近于與經(jīng)典力學(xué)體系相同。Bohr的思想對于原子物理和量子理論的發(fā)展有極深的影響。Bohr早期的量子論為經(jīng)典物理學(xué)通往微觀世界的心理學(xué)的國度鋪設(shè)了一座橋梁。1925年德國年輕物理學(xué)家海森伯正是通過Bohr的對應(yīng)原理最終建立了微觀體系的新力學(xué)——矩陣力學(xué)。Bohr的量子論的主要貢獻(xiàn)有兩點：光譜學(xué)中的德拜-李茲組合原則是量子關(guān)系式的表現(xiàn)。頻率，當(dāng)量子數(shù)很大時（，將趨近于經(jīng)典頻率的倍。這正是Bohr對應(yīng)關(guān)系的體現(xiàn)。Bohr理論的核心思想有兩條：一是原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)概念，二是兩個定態(tài)之間的量子躍遷概念和頻率條件。Poisson括號與正則量子化從經(jīng)典力學(xué)到矩陣力學(xué)的過渡，在于把經(jīng)典力學(xué)中的連續(xù)變量換成遵守一定代數(shù)法則的矩陣。量子泊松括號：按正則量子化程序，經(jīng)典力學(xué)中的正則方程將代之為：一般力學(xué)力量隨時間的演化遵守下列方程注：密度算符隨時間的演化為：經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)的關(guān)系（1）一般討論當(dāng)一個物理的運(yùn)動速度時，相對論效應(yīng)便可忽略，相對論力學(xué)就回到牛頓力學(xué)。形式上，就可以表述為：在的極限情況下，相對論力學(xué)牛頓力學(xué)。量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，亦可以形式的表述如下：在普朗克常數(shù)的情況下，量子效應(yīng)便可以忽略，量子力學(xué)就回到了經(jīng)典力學(xué)。這一點是狄拉克首先提出的，它比波爾的對應(yīng)原理更能準(zhǔn)確地反映量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系。實際上，普朗克常數(shù)。其表現(xiàn)之一是：某些力學(xué)量的本征值是量子化的，相鄰本征值之差是h的高階小量。只有這個差別可以忽略時，才能得出經(jīng)典力學(xué)中“所有力學(xué)量的變化都是連續(xù)的”這一結(jié)論。這正是大量子數(shù)極限的情況（Bohr的對應(yīng)原理）。但有些現(xiàn)象，例如測不準(zhǔn)關(guān)系，純屬量子效應(yīng)。并不與某些力學(xué)量的本征值的不連續(xù)性有關(guān)。當(dāng)時，，粒子的坐標(biāo)與動量就可以同時取確定值。此時經(jīng)典軌道運(yùn)動概念就完全適用了。（2）泊松括號與運(yùn)動方程在經(jīng)典力學(xué)中，任何兩個力學(xué)量的乘積是滿足交換律的，即AB-BA=0。而量子力學(xué)中，表達(dá)力學(xué)量的算符則遵守不可對易代數(shù)運(yùn)算規(guī)則。狄拉克首先指出，在的極限下。因此，量子力學(xué)中的海森伯方程在在的極限下，將回到經(jīng)典力學(xué)的正則方程薛定諤方程與雅可比-哈密頓方程的關(guān)系設(shè)粒子在勢場中運(yùn)動，薛定諤方程為：（1）試把波函數(shù)的模與相角分開，令（R，S為實數(shù)）代入（1）式，分別令實部=實部，虛部=虛部得（2A）(2B)與（2）式完全等價。（2A）式就是連續(xù)性方程。在的極限下，（2B）變成了，它與經(jīng)典的雅可比-哈密頓方程相同。*量子力學(xué)與經(jīng)典流體力學(xué)的相似性*量子力學(xué)與光學(xué)的相似性WKB近似考慮粒子在勢場中的運(yùn)動，薛定諤方程為（1）令，為復(fù)函數(shù)，代入（1），得到滿足的方程：（2）量子效應(yīng)是用普朗克常數(shù)來表征的。當(dāng)時，量子力學(xué)就回到了經(jīng)典力學(xué)。WKB近似處理問題的精神在于：把按的冪級數(shù)作漸近展開，然后按問題要求的精確程度，逐級近似求解。令：（3）代入（2）得：（4）比較同冪次項，得：（5a）(5b)(5c)從（5a）可以求出零級近似解：（6）利用（5a）,由（5b）式得：，兩邊積分得：（7）因此，在準(zhǔn)確到的近似下，薛定諤方程的解為；（a）的情況（經(jīng)典允許區(qū)）（8）式中，與（或與）由具體問題的邊界條件及歸一化條件確定。（b）的情況（經(jīng)典禁區(qū)）令則（9）式中，與由具體問題的邊界條件及歸一化條件確定。由（4）式可以看出（8）、（9）成立的條件為：（10a）(10b)（10a）可以表示為：及，式中，為德布羅意波長，故（10a）也可以表示為：（11）由此可以看出一級近似解成立的條件為：勢場的變化較緩慢，即在粒子的德布羅意波長范圍內(nèi)，的變化比粒子的“動能”（要小得多。在轉(zhuǎn)折點的附近近似條件不成立。相干態(tài)（壓縮相干態(tài)）相干態(tài)本身是無窮多個光子數(shù)本征態(tài)的一種特殊的相干疊加，易于展現(xiàn)光子之間的合作行為。相干態(tài)的研究起于薛定諤1926年的工作，他發(fā)現(xiàn)諧振子存在這樣一種狀態(tài)，它展現(xiàn)出的運(yùn)動性質(zhì)與經(jīng)典振子很相似。在此狀態(tài)下，諧振子的能量平均值（零點能除外）與經(jīng)典振子能量相同，而坐標(biāo)和動量的平均值（即波包中心的位置和動量）隨時間的演化也與經(jīng)典振子完全相同，并且波包不擴(kuò)散，（取極小值），這就是諧振子的相干態(tài)。諧振子的相干態(tài)可以表示為：（，），，可以證明是諧振子淹沒算符的本征值。證明：得證?？紤]并不是厄米算符，它的本征值不一定是實數(shù)，故相干態(tài)可以取為：相干態(tài)中復(fù)參數(shù)的變化區(qū)域是的全平面。可以證明，與全部值相對應(yīng)的相干態(tài)全體是完備的，即完備性條件為：。這表明，任何物理態(tài)均可以用相干態(tài)的全體來展開。這使得相干態(tài)的全體構(gòu)成了一個新的表象——相干態(tài)表象。應(yīng)該指出的是，作為相干態(tài)表象的基矢——相干態(tài)，雖然各自都?xì)w一，但彼此并不正交。這種彼此不正交但總體卻完備的態(tài)矢集合常稱為超完備的。意即集合的完備性“過了頭”，仿佛是在三維空間中取了四個不在同一平面上的彼此不相交的單位矢量作為基矢。相干態(tài)的思想自20世紀(jì)60年代以來有明顯的進(jìn)展。目前，相干態(tài)的概念已遠(yuǎn)超過原先的與經(jīng)典類比的思考范圍，出現(xiàn)了眾多的種類。現(xiàn)在關(guān)于相干態(tài)表象的兩條基本要求是：I、它是這樣一些態(tài)矢的集合，這些態(tài)矢關(guān)于標(biāo)號是強(qiáng)連續(xù)函數(shù)；II、存在正測度使得下面完備性關(guān)系成立，。利用幺正變換，定義算符，，為實參數(shù)，，不難證明滿足的對易式與相同，。淹沒算符的本征態(tài)記為，滿足，它具有不同于相干態(tài)的一些性質(zhì)?？梢宰C明，在本征態(tài)下，盡管最小不確定度關(guān)系還成立。但，，依賴于參數(shù)的取值，這與相干態(tài)下取固定值不同。因此可以調(diào)節(jié)參數(shù)的值，可以使變得很小。這在量子光學(xué)和量子通訊中有重要的應(yīng)用。的本征態(tài)稱為壓縮相干態(tài)。路徑積分基本思想如果從A點發(fā)射出的粒子的動量有一個分布，則粒子有一定的概率經(jīng)過CK而在B點被觀測到。在B點被測得的總概率，其中表示粒子從A點出發(fā)，經(jīng)過孔二在B點被測得的概率。從量子力學(xué)的觀點來分析，考慮到粒子-波動兩重性，按照疊加原理，粒子從A點出發(fā)到B點的概率波幅為，其中表示只有孔打開時的情況下粒子在B點出現(xiàn)的概率波幅。按波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，粒子在B點被測到的概率為?，F(xiàn)在設(shè)想屏上開的小孔越來越多，最后就等于沒有設(shè)置這個屏。此時，粒子經(jīng)過屏上所有各點而到達(dá)B點的概率波幅都應(yīng)考慮進(jìn)去。設(shè)代表從A點到B點的一條可能的道路，則粒子從A出發(fā)而在B點出現(xiàn)的概率波幅為，其中代表粒子經(jīng)過道路而到達(dá)B點的概率波幅，表示不同道路貢獻(xiàn)的波幅以相同權(quán)重相加起來，但相位可以不同，從而出現(xiàn)干涉現(xiàn)象。Feynman路徑積分理論的基本假定是如下構(gòu)造傳播子：，其中，代表粒子沿道路從A到B的作用量，L是粒子的拉格朗日量，C是適當(dāng)?shù)臍w一化常數(shù)。這里的道路并不限于要求作用量S取極值的經(jīng)典軌道，而是包括從A到B的一切可能的通道。于是，粒子在B點被測到的概率為，實際上，由于各種可能的道路是連續(xù)變化的，是不可數(shù)的，所以求和應(yīng)化為對所有連續(xù)變化的道路進(jìn)行積分，這就是路徑積分的由來。量子力學(xué)中的相位AB效應(yīng)量子力學(xué)中，無論采取哪種形式，描述荷電粒子在電磁場中的動力學(xué)方程中都會出現(xiàn)粒子所在區(qū)域的矢勢和標(biāo)勢。Aharonov和Bohm首先認(rèn)識到電磁矢勢和標(biāo)勢的深刻物理意義。他們指出，在電磁場強(qiáng)度為0的區(qū)域中（但矢勢和標(biāo)勢并不為零）運(yùn)動的兩束相干的荷電粒子，波函數(shù)會發(fā)生不同的相位變化。因此，當(dāng)兩束粒子重新會聚后，就會出現(xiàn)干涉現(xiàn)象。不久，在實驗中看到了這種干涉現(xiàn)象，后來稱之為AB效應(yīng)。弱等價原理在經(jīng)典力學(xué)中，慣性質(zhì)量為的粒子的動力學(xué)方程為，設(shè)萬有引力，為萬有引力勢。則有：，說明在萬有引力場中，不管其質(zhì)量如何，都具有相同的加速度。因此，只要初位置和初速度相同，不因為粒子的質(zhì)量不同而異。這就是經(jīng)典力學(xué)的弱等價原理。在量子力學(xué)中，弱等價原理不適用。量子力學(xué)中的相位不定性常數(shù)相位不定性在量子力學(xué)中對波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，相對概率是本質(zhì)，因此，波函數(shù)有一個常數(shù)因子的不定性和常數(shù)相位因子的不定性。即表示同一個態(tài)。量子力學(xué)中，任何力學(xué)量的本征態(tài)都有常數(shù)相位因子的不定性。本征態(tài)的含時相位不變性含時不變量：。設(shè)包含在內(nèi)的一組守恒量完全集的共同本征態(tài)記為，，含時不變量具有以下特點：含時不變量的本征值不隨時間變化（2）、一般不滿足含時薛定諤方程（3）、作為的本征態(tài)，視為參數(shù)，則有含時相位不定性。設(shè)不含對的微商算符，則可作一個含時相位變換，（1）（為實數(shù)）。則有，。此時，不妨要求滿足含時薛定諤方程，（2）代入（2）得（3）左乘，得（4）當(dāng)時，（4）左邊為零，即要求在給定的的子空間中可以把對角化。當(dāng)，（4）式化為，兩邊積分得（5）結(jié)論是后就滿足含時薛定諤方程。由（4）給出，就叫Lewis相。三、量子絕熱近似設(shè)的瞬時本征方程為**，是包含在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)，是一組完備的量子數(shù)，為瞬時能量本征值，一般要隨時間變化。作為本征態(tài)，具有相位不定性。設(shè)體系初態(tài)處于的某一瞬間時本征態(tài)，在時刻應(yīng)該表示成所有的相干疊加………（1）上式中表示在時刻測得體系處于態(tài)的概率。一般情況下很難求解，需要用近似方法來求，如果隨時間變化足夠緩慢，則可以用量子絕熱定理來處理。量子絕熱定理：設(shè)體系哈密頓量隨時間變化足夠緩慢，初態(tài)為，則時刻體系將保持在的瞬時本征態(tài)上。這就要求（1）中所有項的非常小，，即從態(tài)到所有態(tài)的躍遷可以忽略，因而體系才可能保持在態(tài)。絕熱近似條件成立的條件是體系的哈密頓量緩慢變化的頻率遠(yuǎn)小于體系的特征頻率。兩邊左乘絕熱定理要求所有的項可以略去。可推出條件為：，物理意義是：體系的瞬時本征態(tài)隨時間變化的頻率，比體系的內(nèi)稟特征頻率要小得多。**對微分，得用左乘上式得，（對所有）Berry相設(shè)體系隨時間變化足夠緩慢，能保證絕熱近似條件，則有積分得設(shè)——絕熱相，動力學(xué)相隨時間的變化，往往是由于中所含參量隨時間變化而來。隨的變化，參數(shù)隨之變化。如果經(jīng)歷一周期后，，在參數(shù)空間中畫出一條閉合曲線C?？梢员硎緸閰?shù)空間中的積分Berry的重要發(fā)現(xiàn)是，依賴于參數(shù)空間中的的變化過程。對于給定，不同過程相應(yīng)于不同，由此，他指出是不可積的。是沿參數(shù)空間中的閉合曲線C走一圈后的改變，Berry稱之為幾何相位改變。后來也稱之為幾何相位。AA相Aharonov與Anandan放棄了Berry的量子絕熱近似假定，他們假定體系的量子態(tài)按薛定諤方程周期性演化，周期為，。對量子態(tài)作含時變換，則有，令，則，即在經(jīng)歷一周期后沒有相位變化。假設(shè)滿足薛定諤方程，則有，左乘，得對積分一周期，得，稱為動力學(xué)相，稱為幾何相。從對稱性分析全同性原理在量子力學(xué)中，如果體系的哈密頓算符在某個變換下保持不變，則說明該體系具有某種對稱性，空間的均勻性，空間的各向同性和時間的均勻性使得孤立體系具有空間平移的不變性，空間旋轉(zhuǎn)的不變性，時間平移不變性。除了空間幾何對稱性外，量子力學(xué)還有一些重要的新的對陣性。其中最重要的是全同粒子的置換對稱性，以及相位對稱性。這些對稱性都是由于量子態(tài)的描述與經(jīng)典力學(xué)態(tài)的描述有根本性差異而來的，在物理上則反映微觀粒子的波動性。所謂“全同性”，是指無法確定兩個物體之間的任何差別。在量子力學(xué)中，由于態(tài)的量子化，兩個量子態(tài)，或全同，或全不同，中間無連續(xù)的過渡。全同粒子系的量子態(tài)，對于交換兩個粒子，或者是對稱的，或者是反對稱的，二者必居其一，這種對稱性，導(dǎo)致統(tǒng)計性守恒。在粒子不發(fā)生轉(zhuǎn)化或湮沒情況下，粒子的統(tǒng)計性是守恒的。全同性是一個可以觀測量。特別是全同性將導(dǎo)致粒子之間有一種新型作用力——交換力，這是純粹的量子效應(yīng)。如果沒有這種交換力，世界上原子和分子不可能穩(wěn)定存在。守恒量與對稱性一個體系的量子態(tài)隨時間演化遵守薛定諤方程，，設(shè)體系在某種線性變換下（或）體系在變換下的不變性表現(xiàn)為：滿足相同的動力學(xué)規(guī)律，即，可得，用運(yùn)算（為線性算符，不顯含），得，根據(jù)不變性要求，，兩邊同左乘，得，該式稱為體系的對稱變換，這式成立與否，取決于體系的對稱性。物理學(xué)中的對稱變換，總是構(gòu)成一個群，稱為體系的對稱性群。Winger曾經(jīng)指出：滿足量子力學(xué)統(tǒng)計詮釋要求的連續(xù)對稱性變換，必為幺正變換。它們的無窮小變量可以表示成，為描述連續(xù)變換的無窮小量，為一個線性算符。按照幺正性要求可得，即為線性厄米算符，可用以定義一個可觀測量。這樣，Hamilton量的不變性條件就化為，F(xiàn)成為體系的一個守恒量。對于一個體系，設(shè)一個變換不改變它的各物理量之間的相互關(guān)系，則稱為體系的一個對稱變換。Winger根據(jù)這一基本原理得出重要結(jié)論：對稱變換只能是幺正變換或反幺正變換。當(dāng)一個體系具有一個守恒量，則體系一定具有相應(yīng)的某種對稱性。反之，不一定。守恒量的物理含義：量子力學(xué)中的守恒量并不一定具有確定的值。它在任何態(tài)（不一定是定態(tài)）下的平均值和測量值的概率分布都保持不隨時間變化（與初態(tài)相同）量子力學(xué)中并非所有守恒量都可以同時取確定值。量子力學(xué)中的守恒量并不全有經(jīng)典對應(yīng)。薛定諤方程與時間反演得不變性時間反演：時間反演態(tài)并不意味著真正時間倒流，而只不過是運(yùn)動方向的倒轉(zhuǎn)，時間都是正向的，因果關(guān)系也相同。時間反演對稱性并不意味著新的守恒量。無自旋粒子在實勢場中取復(fù)共軛：用t代替-t，可見時間反演態(tài)也是薛定諤方程的解，這就是薛定諤方程的時間反演不變性。對于一般情況取復(fù)共軛，用t代替-t，假設(shè)，則，用U對上式運(yùn)算，可以看出時間反演態(tài)滿足薛定諤方程。這就是薛定諤方程的時間反演不變性。時間反演算符的本征值與統(tǒng)計性的關(guān)系按照時間反演算符T的物理意義，與是同一個量子態(tài)，因而它們最多可以差一個常數(shù)因子。令，，可以得。對相對論量子力學(xué)的理解薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，是非性對論性的。在此方程中，時間與空間坐標(biāo)顯然處于不同等的地位，，方程描述的粒子，概率是守恒的。在這里沒有粒子的產(chǎn)生和淹沒現(xiàn)象，事實表明，方程對于描述原子、分子的絕大多數(shù)現(xiàn)象，甚至包括低能核物理的許多現(xiàn)象是很成功的。但在高能領(lǐng)域里，粒子的產(chǎn)生和淹沒就是一個普遍的現(xiàn)象。高能現(xiàn)象中不僅涉及到粒子數(shù)相同的量子