【解析】浙江省紹興市柯橋中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

柯橋中學(xué)2019學(xué)年第二學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求解集合，然后求.【詳解】，解得，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集，重點(diǎn)考查不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型.（是虛數(shù)單位），則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)完全平方和除法計算公式計算結(jié)果.【詳解】原式.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的化簡求值，屬于基礎(chǔ)計算題型.3.設(shè){}為等差數(shù)列，公差，為其前n項和，若，則=（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】B【解析】試題分析：由等差數(shù)列的前10項的和等于前11項的和可知，第11項的值為0，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，利用首項和公差d表示出第11項，讓其等于0列出關(guān)于首項的方程，求出方程的解即可得到首項的值．解：由s10=s11，得到a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11即a11=0，所以a12（111）=0，解得a1=20．故選B考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項公式化簡求值，是一道基礎(chǔ)題的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的周期為 B.函數(shù)為奇函數(shù)C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)上對稱【答案】B【解析】【分析】由圖像可知，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)中求出的值，然后求解其周期、單調(diào)區(qū)間、對稱中心可得答案.【詳解】解：由圖像可知，因為函數(shù)圖像過點(diǎn)，所以，由得，因為，所以或，由圖像可知圖像向左平移超過了，即，所以，則由五點(diǎn)對應(yīng)法得，得，所以，則的周期為，所以A錯誤；為奇函數(shù)，所以B正確；由，得，此時不是增函數(shù)，所以C錯誤；因為，所以不是函數(shù)的圖像的對稱中心，所以D錯誤，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，根據(jù)條件確定函數(shù)的解析式是解決此題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.5.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】首先判斷的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性判斷充分必要條件.【詳解】，函數(shù)是奇函數(shù)，并且在R上單調(diào)遞增，所以時，，反過來，若滿足時，根據(jù)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以”是“”的充要條件.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，重點(diǎn)考查函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題型.（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象可能是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)零點(diǎn)，并判斷零點(diǎn)左右的正負(fù)，排除選項，得到正確答案.【詳解】由函數(shù)可知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，和，當(dāng)時，，且時，，故排除B,C,D.滿足條件的是A.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，重點(diǎn)考查函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型，一般函數(shù)圖象的識別，首先考查函數(shù)的定義域，零點(diǎn)，單調(diào)性，極值，特殊值等，一般都是排除選項，得到正確答案.，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，連接交軸于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得垂直于軸，，為的中點(diǎn)，運(yùn)用直角三角形斜邊中線為斜邊的一半，結(jié)合雙曲線的方程可得，再由勾股定理和離心率公式，計算即可得到所求值．【詳解】解：由題意可得垂直于軸，，因為為的中點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，可得，由可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，可得，即，由可得，，解得舍去），故選：C.點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)，注意運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，考查化簡整理的運(yùn)算能力．，，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，可得函數(shù)是奇函數(shù)，并且可得函數(shù)在時單調(diào)遞增，因此在上單調(diào)遞增，利用單調(diào)性與奇偶性可得結(jié)果.【詳解】，函數(shù)是奇函數(shù)，設(shè)在單調(diào)遞增，設(shè)恒成立，在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，是奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，在處連續(xù)，因此在上單調(diào)遞增，，，，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性應(yīng)用的，以及對數(shù)的運(yùn)算、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，意在考查推理能力與計算能力以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，屬于中檔題.滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由可知，再根據(jù)這個不等關(guān)系判斷選項正誤．【詳解】由題得，則有，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，用到了放縮的方法，屬于難題．與向量的夾角為鈍角，，且當(dāng)時，取最小值．向量滿足，則當(dāng)取最大值時，等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】設(shè)，，，如圖：∵向量，的夾角為鈍角，∴當(dāng)與垂直時，取最小值，即．過點(diǎn)B作BD⊥AM交AM延長線于D，則BD，∵||＝MB＝2，∴MD＝1，∠AMB＝120°，即與夾角為120°．∵，∴（）＝0，∴||?||?cos120°||2＝0，∴||＝2，即MA＝2，∵，∴的終點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O上，∵O是AB中點(diǎn)，∴2，∴當(dāng)M，O，C三點(diǎn)共線時，取最大值，∵AB2，∴OB＝0C，∵M(jìn)A＝MB＝2，O是AB中點(diǎn)，∴MO⊥AB，∴∠BOC＝∠MOA＝90°，∴||＝BCOB．故選：A．考點(diǎn)：向量運(yùn)算、兩個向量垂直．【思路點(diǎn)晴】本題考查了平面向量在幾何中的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件，結(jié)合向量運(yùn)算的幾何意義作出符合條件的圖形是解題的關(guān)鍵.作出圖象后，尋找在什么位置取得最小值，計算出向量的夾角，及.由可知的終點(diǎn)在以為直徑的圓上，結(jié)合圖象，找出當(dāng)取得最大值時的位置，由此求得結(jié)果.二、填空題的焦距為__________；漸近線方程為__________．【答案】(1).(2).【解析】由雙曲線可知，故,焦距,漸近線:,故答案為(1)，(2).的前項和為，若，，且，，成等比數(shù)列，則________，________．【答案】(1).(2).12【解析】【分析】根據(jù)條件，，求出等差數(shù)列的通項公式，再求出前項和，再根據(jù)，，成等比數(shù)列求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由得，即，解得，則，．由，，成等比數(shù)列得，即，解得．故答案為：；12【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的概念與求和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)題意確定等差數(shù)列的通項是解題的關(guān)鍵．為的外心，角，，的對邊分別為，，.若，的值為______，______.【答案】(1).；(2).0.【解析】【分析】設(shè)三角形的外接圓半徑為，將已知的等式變形后，左右兩邊平方，由為三角形的外心，得到，再利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計算，可得出的值；由，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求出的值.【詳解】解：設(shè)外接圓半徑為，則，由，得：，平方得：，則，即則；因為，.即.故答案為：；0.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和利用平面向量的數(shù)量積求夾角，以及向量在幾何中的運(yùn)用，考查化簡運(yùn)算能力．，若，則______.若有六個不同的單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用定義判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，可求得的值，令，可知函數(shù)在上有兩個極值點(diǎn)，即函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn)，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，該函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，則.令，則，由于函數(shù)有六個不同的單調(diào)區(qū)間，則函數(shù)在上有兩個極值點(diǎn)，即函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn)，且，由二次函數(shù)的零點(diǎn)分布得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值，同時也考查了利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.中，角，，所對的邊分別為，，，，的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】由可推出，即，故利用基本不等式，結(jié)合“乘1法”即可求出的最值.【詳解】由題可知，則由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式可得：，化簡得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形和基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題，在應(yīng)用基本不等式時，注意遵循“一正二定三相等”原則.的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則______.【答案】【解析】【分析】可設(shè)，，根據(jù)雙曲線的定義及是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，得，，，求得.再在中，用勾股定理，得到關(guān)于的方程，運(yùn)用離心率公式計算即可.【詳解】解：設(shè)，，由，，又，，又，，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，即，，在中，，，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)、考查離心率的求法，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的范圍是______.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再二次求導(dǎo)得，從而得到的單調(diào)區(qū)間，由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增求出其值域，將函數(shù)的單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為，即可列出不等式即可求出的范圍.【詳解】解：由函數(shù)，得，由，得或，函數(shù)的增區(qū)間為，，由，得，函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，由，則時，；時，，得的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上的值域為，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，也就是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此要滿足條件，即，解得：，實(shí)數(shù)的范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬中檔題.三、解答題18.（1）（2）在中，已知，，且角，，滿足.求角的大小和邊的長；【答案】（1）2；（2），.【解析】【分析】（1）先切化弦，再用輔導(dǎo)角公式，分母用倍角公式等三角恒等變換化簡求值；（2）對利用倍角公式，降次公式化簡，可得，從而求得，再求余弦定理可求得的長.【詳解】解：（1）=

（2）由，得，又，得，得，得，由，得，又，得，，得，即，【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換的化簡與求值，輔助角公式，二倍角公式，降次公式，余弦定理，還考查了學(xué)生分析推理能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題.19.已知：二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且對任意實(shí)數(shù)均有成立.（1）求的表達(dá)式；（2）若奇函數(shù)的定義域和值域都是區(qū)間，且時，，求的值.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)和計算得到答案.（2）根據(jù)奇函數(shù)得到函數(shù)解析式，討論和兩種情況，計算得到答案.【詳解】（1），，故，對任意實(shí)數(shù)均有成立.，故，即，故，，即.（2）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，，解得；當(dāng)時，，故，即，解得，驗證滿足.綜上所述：或.【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的值域求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力，分類討論是解題的關(guān)鍵.20.已知等差數(shù)列的公差為，前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式與前項和；（2）將數(shù)列的前四項抽取其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列的前三項，記數(shù)列的前項和為，若存在，使得對任意，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）求等差數(shù)列通項公式，一般利用待定系數(shù)法，本題已知公差，因此只需確定一項即可：由利用等差數(shù)列性質(zhì)得，，再根據(jù)等差數(shù)列廣義通項公式得：，最后利用等差數(shù)列和項公式求前項和，（2）先根據(jù)題意確定數(shù)列的前四項抽取的是哪一項，再根據(jù)剩下三項，利用待定系數(shù)法求等比數(shù)列通項，然后利用錯位相減法求數(shù)列的前項和為，對存在性問題及恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題：，為二次函數(shù)，可根據(jù)對稱軸求其最大值，需注意，而的最值，需根據(jù)數(shù)列單調(diào)性確定.試題解析：解：（1）為等差數(shù)列，且，，即，又公差，，．，．（2）由（1）知數(shù)列的前項為，，，，等比數(shù)列的前項為，，，，，，①，②①②得．，．，，且，時，．又，時，，存在，使得對任意，總有成立．，，實(shí)數(shù)的取值范圍為．考點(diǎn)：等差數(shù)列通項及求和，錯位相減法求和【名師點(diǎn)睛】一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法．用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形更值得注意．(2)在寫出“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便于下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．21.如圖，已知為拋物線上一點(diǎn)，斜率分別為，的直線PA，PB分別交拋物線于點(diǎn)A，B（不與點(diǎn)P重合）.（1）證明：直線AB的斜率為定值；（2）若△ABP的內(nèi)切圓半徑為.（i）求△ABP的周長（用k表示）；（ii）求直線AB的方程.【答案】（1）證明見解析；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）首先設(shè)直線PA的方程為，與拋物線聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求直線的斜率；（2）（?。├孟议L公式，分別求三角形三邊長，（ⅱ）首先求點(diǎn)到直線的距離，再利用等面積公式轉(zhuǎn)化方程求，最后求直線的方程.【詳解】（1）設(shè)直線PA的方程為，與拋物線聯(lián)立，得，易知，，所以直線AB的斜率（定值）.（2）由（1）得直線AB的方程為，所以點(diǎn)P到直線AB的距離.，，.（?。┣蟮闹荛L；（ⅱ）設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，，即，解得.所以直線AB的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計算能力，坐標(biāo)法解決幾何問題的思想，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是利用方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)..（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程有非負(fù)實(shí)數(shù)解，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接求函