函數(shù)的奇偶性講義-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

函數(shù)的奇偶性【知識要點(diǎn)】偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．注意：函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）．，則此函數(shù)即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).二．具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．【例題解析】例1判別下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）f(x)＝x,x∈[2,3].(4).小結(jié)：判別方法，先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再計(jì)算，并與小結(jié)：判別方法，先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再計(jì)算，并與進(jìn)行比較.（1）f(x)＝x＋；（2）f(x)＝|x＋1|+|x－1|；(3)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù),求證:.例3.（1）已知是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的解析式為.（2）已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的解析式為.例4.若，且，求.例5．已知f(x)是奇函數(shù)，且在(0,+∞)上是減函數(shù)，判斷f(x)的(∞,0)上的單調(diào)性，并給出證明.變式：已知f(x)是偶函數(shù)，且在[a,b]上是減函數(shù)，試判斷f(x)在[b,a]上的單調(diào)性，并給出證明.※知識拓展由圖象對稱性可以得到，奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上單調(diào)性一致，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.※知識拓展：奇函數(shù)的一個性質(zhì)證明：奇函數(shù)在處有定義，則，即圖象一定經(jīng)過原點(diǎn).【隨堂檢測】1.對于定義域是R的任意奇函數(shù)有（）.A． B．C． D．2.已知是定義上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù).下列關(guān)系式中正確的是（）A. B.C. D.3.下列說法錯誤的是（）.A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D.既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)4．下列說法①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R)其中正確的數(shù)是5.函數(shù)的奇偶性是.6.已知f(x)是奇函數(shù)，且在[3,7]是增函數(shù)且最大值為4，那么f(x)在[7,3]上是函數(shù)，且最值為.函數(shù)的奇偶性課后練習(xí)1．函數(shù)的奇偶性是（）A．奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)，且最小值是5，那么f(x)在區(qū)間[7,3]上是()A.增函數(shù)且最小值是5B.增函數(shù)且最大值是5C.減函數(shù)且最小值是5D.減函數(shù)且最大值是53.若函數(shù)為奇函數(shù)，則必有A．B.C.D.4．已知f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0，f（x）=x（1x），則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）等于（）A．x（x+1）B.x（x1）C．x（1x）D.x（1+x）5.已知是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)椋瑒t_____，_______6.判斷下列函數(shù)的奇偶性：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)（）eq\o\ac(○,4)7.已知函數(shù)對一切，都有，（1）求證：是奇函數(shù)；（2）若，用表示．在上是奇函數(shù),試確定的解析式.§5·函數(shù)的基本性質(zhì)習(xí)題課問題1：如何從圖象特征上得到奇函數(shù)、偶函數(shù)、增函數(shù)、減函數(shù)？問題2：如何從解析式得到奇函數(shù)、偶函數(shù)、增函數(shù)、減函數(shù)的定義？【例1】已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性，并證明；（2）討論的單調(diào)性，并證明.【例2】利用函數(shù)的性質(zhì)，作函數(shù)的圖像.※知識拓展對勾函數(shù)：形如這樣的函數(shù)，稱作對勾函數(shù)，由圖像得名。性質(zhì)：（1）奇函數(shù)（2）增區(qū)間：和，；（3）減區(qū)間：和變化趨勢：在y軸左邊，增減，在y軸右邊，減增，是兩個勾。【例3】作出函數(shù)y＝x－2|x|－3的圖象，指出單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.小結(jié)：利用偶函數(shù)性質(zhì)，先作y軸右邊，再對稱作.變式：y＝|x－2x－3|的圖象如何作？反思：如何由的圖象，得到、的圖象？※知識拓展形如與的含絕對值的函數(shù)，可以化分段函數(shù)分段作圖，還可由對稱變換得到圖象.的圖象可由偶函數(shù)的對稱性，先作y軸右側(cè)的圖象，并把y軸右側(cè)的圖象對折到左側(cè).的圖象，先作的圖象，再將x軸下方的圖象沿x軸對折到x軸上方.【例4】1.已知是定義上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù).下列關(guān)系式中正確的是A. B.C. D.2.已知是定義上的奇函數(shù)，且在上是減函數(shù).下列關(guān)系式中正確的是A. B.C.