最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)練習題

最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)練習題一.填空題。1.都是自然數(shù)，如果，的最大公約數(shù)是〔〕，最小公倍數(shù)是〔〕。2.甲，乙，甲和乙的最大公約數(shù)是〔〕×〔〕＝〔〕，甲和乙的最小公倍數(shù)是〔〕×〔〕×〔〕×〔〕＝〔〕。3.所有自然數(shù)的公約數(shù)為〔〕。4.如果m和n是互質數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是〔〕，最小公倍數(shù)是〔〕。5.在4、9、10和16這四個數(shù)中，〔〕和〔〕是互質數(shù)，〔〕和〔〕是互質數(shù)，〔〕和〔〕是互質數(shù)。6.用一個數(shù)去除15和30，正好都能整除，這個數(shù)最大是〔〕。*7.兩個連續(xù)自然數(shù)的和是21，這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是〔〕，最小公倍數(shù)是〔〕。*8.兩個相鄰奇數(shù)的和是16，它們的最大公約數(shù)是〔〕，最小公倍數(shù)是〔〕。**9.某數(shù)除以3、5、7時都余1，這個數(shù)最小是〔〕。10.根據(jù)下面的要求寫出互質的兩個數(shù)?！?〕兩個質數(shù)〔〕和〔〕?！?〕連續(xù)兩個自然數(shù)〔〕和〔〕?！?〕1和任何自然數(shù)〔〕和〔〕?！?〕兩個合數(shù)〔〕和〔〕?！?〕奇數(shù)和奇數(shù)〔〕和〔〕?！?〕奇數(shù)和偶數(shù)〔〕和〔〕。二.判斷題。1.互質的兩個數(shù)必定都是質數(shù)?！病?.兩個不同的奇數(shù)一定是互質數(shù)?！病?.最小的質數(shù)是所有偶數(shù)的最大公約數(shù)?！病?.有公約數(shù)1的兩個數(shù)，一定是互質數(shù)?！病?.a是質數(shù)，b也是質數(shù)，，一定是質數(shù)?！病橙?直接說出每組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。26和13〔〕 13和6〔〕 4和6〔〕5和9〔〕 29和87〔〕 30和15〔〕13、26和52 〔〕 2、3和7〔〕四.求下面每組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)?！踩齻€數(shù)的只求最小公倍數(shù)〕45和60 36和6027和72 76和8042、105和56 24、36和48**五.動腦筋，想一想：學校買來40支圓珠筆和50本練習本，平均獎給四年級三好學生，結果圓珠筆多4支，練習本多2本，四年級有多少名三好學生，他們各得到什么獎品？試題答案一.填空題。1.都是自然數(shù)，如果，的最大公約數(shù)是〔〕，最小公倍數(shù)是〔〕。2.甲，乙，甲和乙的最大公約數(shù)是〔2〕×〔3〕＝〔6〕，甲和乙的最小公倍數(shù)是〔2〕×〔3〕×〔5〕×〔7〕＝〔210〕。3.所有自然數(shù)的公約數(shù)為〔1〕。4.如果m和n是互質數(shù)，那么它們的最大公約數(shù)是〔1〕，最小公倍數(shù)是〔mn〕。5.在4、9、10和16這四個數(shù)中，〔4〕和〔9〕是互質數(shù)，〔9〕和〔10〕是互質數(shù)，〔9〕和〔16〕是互質數(shù)。6.用一個數(shù)去除15和30，正好都能整除，這個數(shù)最大是〔15〕。*7.兩個連續(xù)自然數(shù)的和是21，這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是〔1〕，最小公倍數(shù)是〔110〕。*8.兩個相鄰奇數(shù)的和是16，它們的最大公約數(shù)是〔1〕，最小公倍數(shù)是〔63〕。**9.某數(shù)除以3、5、7時都余1，這個數(shù)最小是〔106〕。10.根據(jù)下面的要求寫出互質的兩個數(shù)?！?〕兩個質數(shù)〔2〕和〔3〕?！?〕連續(xù)兩個自然數(shù)〔4〕和〔5〕?！?〕1和任何自然數(shù)〔1〕和〔9〕?！?〕兩個合數(shù)〔9〕和〔16〕?！?〕奇數(shù)和奇數(shù)〔15〕和〔7〕?！?〕奇數(shù)和偶數(shù)〔7〕和〔4〕。二.判斷題。1.互質的兩個數(shù)必定都是質數(shù)?！病痢?.兩個不同的奇數(shù)一定是互質數(shù)?！病痢?.最小的質數(shù)是所有偶數(shù)的最大公約數(shù)?！病獭?.有公約數(shù)1的兩個數(shù)，一定是互質數(shù)?！病痢?.a是質數(shù)，b也是質數(shù)，，一定是質數(shù)?！病痢橙?直接說出每組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。26和13〔13、26〕 13和6〔1、78〕 4和6〔2、12〕5和9〔1、45〕 29和87〔29、87〕 30和15〔15、30〕13、26和52 〔13、52〕 2、3和7〔1，42〕四.求下面每組數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。〔三個數(shù)的只求最小公倍數(shù)〕45和60 最大公約數(shù)15，最小公倍數(shù)180。36和60 最大公約數(shù)是12，最小公倍數(shù)180。27和72 最大公約數(shù)是9，最小公倍數(shù)216。76和80 最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)1520。42、105和56 最小公倍數(shù)是840。24、36和48 最小公倍數(shù)是144。**五.動腦筋，想一想：學校買來40支圓珠筆和50本練習本，平均獎給四年級三好學生，結果圓珠筆多4支，練習本多2本，四年級有多少名三好學生，他們各得到什么獎品？你是這樣思考嗎？〔1〕圓珠筆多4支，也就是圓珠筆用了〔支〕〔2〕練習本多2本，也就是練習本用了〔本〕〔3〕36和48的公約數(shù)是2，3，4，6，12。因為，2不滿足條件，3不滿足條件，4不滿足條件，6滿足條件，12滿足條件所以，四年級的三好學生人數(shù)是6人或12人。〔4〕當三好學生人數(shù)為6人時，他們每人6支圓珠筆，8本練習本；當三好學生人數(shù)為12人時，他們每人3支圓珠筆，4本練習本?？焖偾笞钚」稊?shù)的四種方法江蘇省海門市通源小學五〔4〕班張羿王春雷：226100我們在求最小公倍數(shù)時一般用短除法來求的，其實在很多情況下，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)可以用口算直接求出。下面就給大家介紹四種。一、兩數(shù)相乘法。如果兩個數(shù)是互質數(shù)。那么它們的最小公倍數(shù)就是這兩個數(shù)的乘積。例如：4和7的最小公倍數(shù)就是4×7=28。二、找大數(shù)法。如果兩個數(shù)有倍數(shù)關系。那么較大的數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：3和15的最小公倍數(shù)就是較大數(shù)15。三、擴大法如果兩數(shù)不是互質，也沒有倍數(shù)關系時，可以把較大數(shù)依次擴大2倍、3倍、……看擴大到哪個數(shù)時最先成為較小數(shù)的倍數(shù)時，這個數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：18和30的最小公倍數(shù)，就是把30擴大2倍得60，60不是18的倍數(shù)；再把30擴大3倍得90，90是18的倍數(shù)，那么90就是18和30的最小公倍數(shù)。四、兩數(shù)的乘積再除以兩數(shù)的最大公約數(shù)法。這個方法雖然比擬復雜，但是使用范圍很廣。因為兩個數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。例如：4和6的最大公約數(shù)是2，最小公倍數(shù)是12，那么，4×6=2×12。為了便于口算，我們可以把兩個數(shù)中的任意一個數(shù)先除以它們的最大公約數(shù)，然后再和另一個數(shù)相乘。例如：18和30的最大公約數(shù)是6，要求18和30的最小公倍數(shù)時，可以先用18除以6得3，再用3和30相乘得90；或者先用30除以6得5，再用5和18相乘得90。這90就是18和30的最小公倍數(shù)?！仓笇Ю蠋煟菏﹤ァ车谌v最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)一、根本概念和知識1.公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。例如：12的約數(shù)有：1，2，3，4，6，12；18的約數(shù)有：1，2，3，6，9，18。12和18的公約數(shù)有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公約數(shù)，記作〔12，18〕=6。2.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12的倍數(shù)有：12，24，36，48，60，72，84，…18的倍數(shù)有：18，36，54，72，90，…12和18的公倍數(shù)有：36，72，….其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作[12，18]=36。3.互質數(shù)如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個數(shù)叫做互質數(shù)。二、例題例1用一個數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個數(shù)最大是多少？分析∵要求的數(shù)去除30、60、75都能整除，∴要求的數(shù)是30、60、75的公約數(shù)。又∵要求符合條件的最大的數(shù)，∴就是求30、60、75的最大公約數(shù)。解：∵〔30，60，75〕=5×3=15這個數(shù)最大是15。例2一個數(shù)用3、4、5除都能整除，這個數(shù)最小是多少？分析由題意可知，要求的數(shù)是3、4、5的公倍數(shù)，且是最小的公倍數(shù)。解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，∴用3、4、5除都能整除的最小的數(shù)是60。例3有三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米.現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？分析∵要截成相等的小段，且無剩余，∴每段長度必是120、180和300的公約數(shù)。又∵每段要盡可能長，∴要求的每段長度就是120、180和300的最大公約數(shù).〔120，180，300〕=30×2=60∴每小段最長60厘米。120÷60+180÷60+300÷60=2＋3＋5=10〔段〕答：每段最長60厘米，一共可以截成10段。例4加工某種機器零件，要經(jīng)過三道工序.第一道工序每個工人每小時可完成3個零件，第二道工序每個工人每小時可完成10個，第三道工序每個工人每小時可完成5個，要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？分析要使加工生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應是3、10和5的公倍數(shù).要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍數(shù)。［3，10，5］=5×3×2=30∴各道工序均應加130個零件。30÷3=10〔人〕30÷10=3〔人〕30÷5=6〔人〕答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。例5一次會餐供有三種飲料.餐后統(tǒng)計，三種飲料共用了65瓶；平均每2個人飲用一瓶A飲料，每3人飲用一瓶B飲料，每4人飲用一瓶C飲料.問參加會餐的人數(shù)是多少人？分析由題意可知，參加會餐人數(shù)應是2、3、4的公倍數(shù)。解：∵[2，3，4]=12∴參加會餐人數(shù)應是12的倍數(shù)。又∵12÷2+12÷3+12÷4=6+4+3=13〔瓶〕，∴可見12個人要用6瓶A飲料，4瓶B飲料，3瓶C飲料，共用13瓶飲料。又∵65÷13=5，∴參加會餐的總人數(shù)應是12的5倍，12×5=60〔人〕。答：參加會餐的總人數(shù)是60人。例6一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米.要把它截成假設干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大.問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？分析由題意可知，正方形的邊長即是2703和1113的最大公約數(shù).在學校，我們已經(jīng)學過用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，但有時會遇到類似此題情況，兩個數(shù)除了1以外的公約數(shù)一下不好找到.但又不能輕易斷定它們是互質數(shù).怎么辦？在此，我們以例6為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法。對于例6，可做如下列圖解：從圖中可知：在長2703厘米、寬1113厘米的長方形紙的一端，依次裁去以寬〔1113厘米〕為邊長的正方形2個.在裁后剩下的長1113厘米，寬477厘米的長方形中，再裁去以寬〔477厘米〕為邊長的正方形2個.然后又在裁剩下的長方形〔長477厘米，寬159厘米〕中，以159厘米為邊長裁正方形，恰好裁成3個，且無剩余.因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的約數(shù).所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的邊長應是159厘米.所以，159厘米是2703和1113的最大公約數(shù)。讓我們把圖解過程轉化為計算過程，即：2703÷1113，商2余477；1113÷477，商2余159；477÷159，商3余0?；蛘邔憺?703=2×1113+477，1113=2×477+159，477=3×159。當余數(shù)為0時，最后一個算式中的除數(shù)159就是原來兩個數(shù)2703和1113的最大公約數(shù).可見，477=159×3，1113=159×3×2+159=159×7，2703=159×7×2+477=159×7×2+159×3=159×17。又∵7和17是互質數(shù)，∴159是2703和1113的最大公約數(shù)。我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉相除法.輾轉相除法的優(yōu)點在于它能在較短的時間內(nèi)求出任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)。例7用輾轉相除法求4811和1981的最大公約數(shù)。解：∵4811=2×1981+849，1981=2×849+283，849=3×283，∴〔4811，1981〕=283。補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結果.也可以直接觀察，依次試公有的質因數(shù)。例8求1008、1260、882和1134四個數(shù)的最大公約數(shù)是多少？解：∵〔1260，1008〕=252，〔882，1134〕=126，又〔252，126〕=126，∴〔1008，1260，882，1134〕=126。求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？請看例9.例9兩個數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少？∴x=4×y28=4×7∴28x=4×y×4×7又∵4是x和28的最大公約數(shù)，〔y，7〕=1，∴4×y×7是x和28的最小公倍數(shù)?！鄕×28=4×252∴x=4×252÷28=36∴要求的數(shù)是36。通過例9的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)：如果用a和b表示兩