江蘇省泰州市興化市高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試卷

江蘇省泰州市興化市2022屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則＝（

）A． B． C． D．3．設(shè)均為非零向量，且，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．將4名志愿者全部分配到3個核酸檢測點，每個檢測點至少分配1名志愿者，則不同的分配方案有（

）A．6種 B．12種 C．24種 D．36種5．《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)綜合排放標(biāo)準(zhǔn)》中一級標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的氨氮含量允許排放的最高濃度為15ml/L．某企業(yè)生產(chǎn)廢水中的氨氮含量為450ml/L，現(xiàn)通過循環(huán)過濾設(shè)備對生產(chǎn)廢水的氨氮進(jìn)行過濾，每循環(huán)一次可使氨氮含量減少，要使廢水中的氨氮含量達(dá)到國家排放標(biāo)準(zhǔn)，至少要進(jìn)行循環(huán)的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)（

）A．3 B．4 C．8 D．96．我國自主研發(fā)的“嫦娥四號”探測器成功著陸月球，并通過“鵲橋”中繼星傳回了月球背面影像圖．假設(shè)“嫦娥四號”在月球附近一點P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，其軌道的離心率為e，設(shè)月球的半徑為R，“嫦娥四號”到月球表面最近的距離為r，則“嫦娥四號”到月球表面最遠(yuǎn)的距離為（

）A． B．C． D．7．已知雙曲線的左、右頂點分別為，點(與點不重合)是雙曲線右支上一點，若，則的值是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若函數(shù)在上的最小值為，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)一組樣本的統(tǒng)計數(shù)據(jù)為：，其中n∈N*，．已知該樣本的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，設(shè)函數(shù)，x∈R．則下列說法正確的是（

）A．設(shè)b∈R，則的平均數(shù)為B．設(shè)a∈R，則的方差為C．當(dāng)x＝時，函數(shù)有最小值D．10．?dāng)?shù)列滿足，為數(shù)列的前n項和，則（

）A． B． C． D．11．在正四棱錐中，點分別是棱上的點，且，，，其中，則（

）A．當(dāng)時，平面平面B．當(dāng)，，時，平面C．當(dāng)，，時，點平面D．當(dāng)，時，存在，使得平面平面12．已知定義在上的單調(diào)遞增的函數(shù)滿足：任意，有，，則（

）A．當(dāng)時，B．任意，C．存在非零實數(shù)，使得任意，D．存在非零實數(shù)，使得任意，三、填空題13．在的展開式中的系數(shù)是________．14．已知直線與圓交于A，B兩點，則的值是________．15．等邊△ABC的邊長為6，直線l交邊AC，AB分別于點D，E(異于△ABC的頂點)，將△ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，則四棱錐A－BCDE體積的最大值為________．16．已知函數(shù)，若至少存在兩個不相等的實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是________．四、解答題17．在①a＝2b；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中．若問題中的三角形存在，求該三角形面積的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，？注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18．已知數(shù)列滿足，，．(1)設(shè)，，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求證：，．19．在三棱柱中，，，，，，是的中點，與交于．(1)求證：平面；(2)若與平面所成角為，求二面角的正弦值．20．設(shè)是一個二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，其中，令，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：………·………………現(xiàn)有個相同的球等可能的放入編號為1，2，3的三個盒子中，記落下第1號盒子中的球的個數(shù)為X，落入第2號盒子中的球的個數(shù)為Y．(1)當(dāng)n＝2時，求的聯(lián)合分布列；(2)設(shè)且計算．21．在平面直角坐標(biāo)系中，點，記動點P到直線l：的距離為d，且，設(shè)點P的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程；(2)直線m交曲線E于A，B兩點，曲線E在點A及點B處的切線相交于點C．設(shè)點C到直線l的距離為h，若△ABC的面積為4，求證：存在定點T，使得恒為定值．22．已知函數(shù)f(x)＝2ex(x＋1)－xsinx－kx－2，k∈R．(1)若k＝0，求曲線y＝f(x)在x＝0處切線的方程；(2)討論函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上零點的個數(shù)．參考答案：1．B【解析】【分析】先求出集合，再求即可.【詳解】，故.故選：B.2．C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的四則運算化簡，再由模長公式得出.【詳解】，故選：C3．C【解析】【分析】由向量垂直可求得，利用向量夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】由得：，，，又，.故選：C.4．D【解析】【分析】先分成2，1，1的三組，再分配到3個檢測點即可.【詳解】先將4人分成2，1，1的三組，有種，再分配到3個核酸檢測點有種，按照分步乘法計數(shù)原理，共有種.故選：D.5．D【解析】【分析】設(shè)循環(huán)次數(shù)為，由題意可得方程，利用指對數(shù)轉(zhuǎn)化求解即可，需注意為符合條件下的最小整數(shù).【詳解】由題，設(shè)至少循環(huán)次，才能達(dá)到國家排放標(biāo)準(zhǔn)，則，即，兩邊同時取對數(shù)，可得，所以，所以至少要進(jìn)行次循環(huán)，故選：D6．B【解析】【分析】設(shè)衛(wèi)星近地點遠(yuǎn)地點離月球表面的距離分別為，根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及離心率得出“嫦娥四號”到月球表面最遠(yuǎn)的距離.【詳解】橢圓的離心率，設(shè)衛(wèi)星近地點遠(yuǎn)地點離月球表面的距離分別為則故選：B7．A【解析】【分析】設(shè)，可求得，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系可構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，且，；由雙曲線方程知：，，設(shè)，則，又，，，即，解得：或，又，，即.故選：A.8．B【解析】【分析】求導(dǎo)后，根據(jù)單調(diào)遞增和存在最小值可知，使得，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；可知；結(jié)合可解方程組求得的值.【詳解】，又，在上單調(diào)遞增，在上存在最小值，，使得，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，…①，由得：…②，②①得：，，，；①②得：；又，.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值求解參數(shù)值的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)的單調(diào)性及存在最值確定存在零點，進(jìn)而根據(jù)的零點和的最小值構(gòu)造方程組，利用方程組推導(dǎo)得到參數(shù)值.9．AC【解析】【分析】A、B選項直接計算平均數(shù)和方差即可判斷；C選項先化簡得到，再結(jié)合得到，即可判斷；由的最小值即可判斷D選項.【詳解】對于A，的平均數(shù)，的平均數(shù)為，正確；對于B，的方差，的平均數(shù)為，方差為，錯誤；對于C，，又，，故，故當(dāng)x＝時，函數(shù)有最小值，正確；對于D，由上知，，錯誤.故選：AC.10．BC【解析】【分析】根據(jù)題意求得，得到的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且首項分別為，由，可判定A錯誤；求得為奇數(shù)和為偶數(shù)時，數(shù)列的通項公式，可判定B正確；根據(jù)為奇數(shù)和偶數(shù)，求得，可判定C正確；結(jié)合時，可判定D錯誤.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，可得，因為，可得，所以，所以的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且首項分別為，對于A中，可得，所以A錯誤；對于B中，若為奇數(shù)時，可數(shù)列的通項公式為；若為偶數(shù)時，可數(shù)列的通項公式為，當(dāng)為奇數(shù)時，，，此時，當(dāng)為偶數(shù)時，，，此時，綜上可得：，所以B正確；對于C中，數(shù)列為，可得構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，可得，當(dāng)為奇數(shù)時，可得，所以C正確；對于D中，當(dāng)時，可得，，此時，所以D錯誤.故選：BC.11．ABD【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和線面平行的判定可證得平面，平面，由面面平行的判定可知A正確；連接交于點，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行的判定可知B正確；假設(shè)平面，可知平面與平面重合，顯然不成立，知C錯誤；由線面垂直的判定可知平面，取中點，由平行關(guān)系可得平面，則平面與交點滿足題意，知D正確.【詳解】對于A，當(dāng)時，，，，又平面，平面，平面；同理可得：平面；，平面，平面平面，A正確；對于B，當(dāng)，，時，與重合，與重合，為中點，連接，交于點，連接，四邊形為正方形，為中點，又為中點，，又平面，平面，平面，即平面，B正確；對于C，連接，假設(shè)平面，又平面，平面，平面，平面，平面即為平面，顯然不成立，C錯誤；對于D，取中點，連接，交于點，連接，四邊形為正方形，，為正方形的中心，平面，又平面，，又，平面，平面，分別為中點，，平面；過作，交于，則平面，平面平面，D正確.故選：ABD.12．ABD【解析】【分析】令可推導(dǎo)得，結(jié)合的值可知A正確；令可推導(dǎo)得，結(jié)合可推導(dǎo)知B正確；根據(jù)單調(diào)性可知C錯誤；當(dāng)時，根據(jù)的對稱中心及其在時的值域可確定時滿足，知D正確.【詳解】對于A，令，則，即，又，；令得：，，，，則由可知：當(dāng)時，，A正確；對于B，令，則，即，，由A的推導(dǎo)過程知：，，B正確；對于C，為上的增函數(shù)，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，不存在非零實數(shù)，使得任意，，C錯誤；對于D，當(dāng)時，；由，知：關(guān)于，成中心對稱，則當(dāng)時，為的對稱中心；當(dāng)時，為上的增函數(shù)，，，，；由圖象對稱性可知：此時對任意，，D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知關(guān)系式確定的對稱中心，同時采用賦值的方式確定所滿足的其他關(guān)系式，從而結(jié)合對稱性和其他函數(shù)關(guān)系式來確定所具有的其他性質(zhì).13．【解析】【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式可知當(dāng)時得的系數(shù)，代入即可得到結(jié)果.【詳解】展開式通項為：，令，解得：，展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14．【解析】【分析】先求出弦長，再由余弦定理即可求解.【詳解】由題意知：圓心，半徑，圓心到直線的距離為，故，故.故答案為：.15．【解析】【分析】令，過作，垂足為，由結(jié)合重要不等式得出，利用換元法結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出四棱錐A－BCDE體積的最大值.【詳解】令，過作，垂足為，令令在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故答案為：16．【解析】【分析】當(dāng)時，易知必滿足題意；當(dāng)時，根據(jù)可得，由最大值點的個數(shù)可構(gòu)造不等式組，結(jié)合確定具體范圍.【詳解】至少存在兩個不相等的實數(shù)，使得，當(dāng)，即時，必存在兩個不相等的實數(shù)滿足題意；當(dāng)，即時，，，；當(dāng)時，解集為，不合題意；令，則；令，則；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)最值點的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠采用整體對應(yīng)的方式，根據(jù)的范圍所需滿足的條件來構(gòu)造不等式組，解不等式組求得結(jié)果.17．存在，面積為.【解析】【分析】若選①，由正弦定理得，結(jié)合，求出角，進(jìn)而求得三角形存在，再按照面積公式求面積即可；若選②，先由余弦定理得到，再借助正弦定理化簡得到，求出角，進(jìn)而求得三角形存在，再按照面積公式求面積即可；若選③，由可得，化簡得，求出角，進(jìn)而求得三角形存在，再按照面積公式求面積即可.【詳解】若選①，由正弦定理得，又，故，即，化簡得，即，又，故，，，，解得，故該三角形的面積為；若選②，由，又余弦定理可得，故，化簡得，由正弦定理可得，又，故，即，又，故，又，解得，，，解得，故該三角形的面積為；若選③，由得，，由可得，又，故，整理得，又，故，故，，，這樣的三角形存在.又，，解得，故該三角形的面積為.18．(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由整理得，進(jìn)而得，由等差數(shù)列定義得證；（2）先求出，進(jìn)而得到，，按照裂項相消求和求出即可得證.(1)由得，，即，又，故數(shù)列是以4為首項，2為公差的等差數(shù)列；(2)由（1）知：，化簡得，故，.19．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）證明出，可得出，利用線面垂直的判定和性質(zhì)可得出，再結(jié)合以及線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）利用線面角的定義可得出，可求得的長，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得二面角的正弦值.(1)證明：在三棱柱中，且，，所以，四邊形為矩形，因為，，為的中點，所以，，因為，，所以，，所以，，所以，，所以，，，，平面，平面，，，，平面.(2)解：在中，，，，則，，由等面積法可得，，，，，因為平面，所以，直線與平面所成的角為，因為，則為等腰直角三角形，且，因為，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，，所以，，因此，二面角的正弦值為.20．(1)見解析；(2)【解析】【分析】（1）由題意知：可取0，1，2，可取0，1，2，直接計算概率，列出的聯(lián)合分布列即可；（2）直接計算得，結(jié)合二項分布的期望公式求出即可.(1)可取0，1，2，可取0，1，2，則，，，，，，，故的聯(lián)合分布列為：012012·(2)當(dāng)時，，故，所以，設(shè)服從二項分布，由二項分布的期望公式可得.21．(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）由到定點的距離與到直線的距離相等結(jié)合拋物線的定義得出曲線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，由韋達(dá)定理以及導(dǎo)數(shù)得出切線的方程，并聯(lián)立得出點坐標(biāo)以及，由三角形面積公式得出，進(jìn)而存在定點使得.(1)由題意可知到定點的距離與到直線的距離相等的軌跡是拋物線且，曲線的方程為(2)設(shè)直線的方程為，切線的方程為①方程為②聯(lián)立①②得，即設(shè)的中點為軸，存在定點使得【點睛】關(guān)鍵點睛：在第二問中，首先聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及三角形面積公式得出與，與的關(guān)系，進(jìn)而得出定點.22．(1)(2)當(dāng)時，有且僅有1個零點；當(dāng)時，有有2個零點.【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，根據(jù)切點的