5 微專題：利用空間向量求異面直線所成的角(用空間向量解答立體幾何問題)-上海外國語大學(xué)附屬浦東外國語學(xué)校2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題講義

【學(xué)生版】微專題：利用空間向量求異面直線所成的角1、兩條異面直線所成的角①定義：設(shè)，是兩條異面直線，過空間任一點(diǎn)作直線∥，∥，則與所夾的銳角或直角叫做與所成的角；②范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍是；2、利用向量求異面直線所成的角（1）是幾何法：作—證—算；（2）是向量法：把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)注意體會兩種方法的特點(diǎn)，“轉(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關(guān)鍵，一般地，異面直線，的夾角β的余弦值為；3、用向量法求異面直線所成的角的步驟（1）建立空間直角坐標(biāo)系（或確定不共面的三個(gè)非零向量為基向量）；（2）求出兩條直線的方向向量；（3）代入向量數(shù)量積公式求解；（4）歸納，回答（注意：異面直線所成的角與向量所成的角的差異）；【注意】兩條異面直線所成的角不一定是兩直線的方向向量的夾角，即；【典例】例1、底面為正三角形的直棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．【提示1】【答案】【解析1】【提示2】【解析2】【說明】例2、如圖所示，在棱長為的正方體中，是底面的中點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，那么異面直線和所成的角的余弦值等于（）A． B． C． D．【提示1】【答案】【解析1】【說明】【提示2】【解析2】【說明】例3、如圖，圓錐的底面直徑，其側(cè)面展開圖為半圓，底面圓的弦，求：異面直線與所成的角的余弦值?！練w納】1、兩條異面直線所成角與的兩個(gè)向量面直線所成角的聯(lián)系設(shè)，分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θ與的夾角β范圍eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))[0，π]求法cosθ＝cosβ＝1、向量法求兩異面直線所成角的步驟（1）選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；（2）求出兩直線的方向向量，；（3）代入公式求解；【提醒】兩異面直線所成角θ的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，兩向量的夾角α的范圍是[0，π]，當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是這兩條異面直線所成的角；當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是兩異面直線所成的角；【即時(shí)練習(xí)】1、在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為()A． B． C．D．2、已知正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，那么異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．3、如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝eq\r(2)，BC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則異面直線AD與A1C所成的角為4、如圖，在三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，且，則與所成角的余弦值為5、在棱長為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為6、如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為eq\f(3\r(2),10)，則λ的值為________.7、如圖，在四棱錐中，，平面，，，則異面直線與所成角的余弦值為8、已知長方體的棱，則異面直線與所成角的大小是________________.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）9、在四面體ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，求：異面直線AB與CD所成角的余弦值。10、如圖在長方體中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)；（1）求長方體的體積；（2）求異面直線與所成角的大小（用反三角函數(shù)表示）．【教師版】微專題：利用空間向量求異面直線所成的角1、兩條異面直線所成的角①定義：設(shè)，是兩條異面直線，過空間任一點(diǎn)作直線∥，∥，則與所夾的銳角或直角叫做與所成的角；②范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍是；2、利用向量求異面直線所成的角（1）是幾何法：作—證—算；（2）是向量法：把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)注意體會兩種方法的特點(diǎn)，“轉(zhuǎn)化”是求異面直線所成角的關(guān)鍵，一般地，異面直線，的夾角β的余弦值為；3、用向量法求異面直線所成的角的步驟（1）建立空間直角坐標(biāo)系（或確定不共面的三個(gè)非零向量為基向量）；（2）求出兩條直線的方向向量；（3）代入向量數(shù)量積公式求解；（4）歸納，回答（注意：異面直線所成的角與向量所成的角的差異）；【注意】兩條異面直線所成的角不一定是兩直線的方向向量的夾角，即；【典例】例1、底面為正三角形的直棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．【提示1】延長到，使得，證明，得異面直線與所成的角是（或其補(bǔ)角），然后求得線段長，用余弦定理可得余弦值；【答案】C【解析1】如圖，延長到，使得，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，則，又，所以是平行四邊形，，所以異面直線A1M與B1N所成的角是（或其補(bǔ)角），又是中點(diǎn)，所以，，三棱柱是正三棱柱，平面，平面，所以，所以，所以，所以異面直線A1M與B1N所成的角的余弦值為；故選：C；【提示2】利用，，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義計(jì)算可得的值，再分別求出和，代入計(jì)算可得答案；【解析2】如圖，，，所以，；【說明】通過本題“比較解答”，可以看到：結(jié)合幾何體的幾何性質(zhì)，通過確定三個(gè)不共面的非零向量作為基向量，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，求異面直線所成的角，可以“避免”幾何縝密的邏輯推理，“以數(shù)助形”；例2、如圖所示，在棱長為的正方體中，是底面的中點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，那么異面直線和所成的角的余弦值等于（）A． B． C． D．【提示1】取BC的中點(diǎn)G，連接GC1，則GC1FD1，再取GC的中點(diǎn)H，連接HE、OH，則∠OEH為異面直線所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得結(jié)論；【答案】B；【解析1】取BC的中點(diǎn)G．連接GC1，則GC1FD1，再取GC的中點(diǎn)H，連接HE、OH，如圖所示，∵E是CC1的中點(diǎn)，∴GC1EH，∴∠OEH為異面直線和所成的角．在△OEH中，，HE＝，OH＝．由余弦定理，可得cos∠OEH＝．故選：B；【說明】本題考查異面直線所成的角，考查余弦定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是作出異面直線所成的角；【提示2】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出的坐標(biāo)，寫出向量的坐標(biāo)，用兩向量的夾角公式求出余弦值；【解析2】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，所以異面直線和所成角的余弦值等于.故答案為：.【說明】利用空間向量的坐標(biāo)表示考查異面直線所成的角；只要“恰當(dāng)”建立空間直角坐標(biāo)系，“按部就班”地求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算，即可基本解決問題；細(xì)節(jié)之處就是，注意：角度范圍的差異；例3、如圖，圓錐的底面直徑，其側(cè)面展開圖為半圓，底面圓的弦，求：異面直線與所成的角的余弦值。【提示】注意：圓錐的幾何性質(zhì)與空間直角坐標(biāo)系的關(guān)聯(lián)；【答案】；【解析】在劣弧上取的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)閳A錐的底面直徑，其側(cè)面展開圖為半圓，所以，所以，則，又底面圓的弦，則；所以,所以，則，因?yàn)楫惷嬷本€的成角范圍為，故異面直線與所成的角的余弦值為；【說明】本題的解答，“示范”了利用空間向量的“坐標(biāo)表示”及其運(yùn)算，求異面直線的成角的基本步驟；【歸納】1、兩條異面直線所成角與的兩個(gè)向量面直線所成角的聯(lián)系設(shè)，分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θ與的夾角β范圍eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))[0，π]求法cosθ＝cosβ＝1、向量法求兩異面直線所成角的步驟（1）選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；（2）求出兩直線的方向向量，；（3）代入公式求解；【提醒】兩異面直線所成角θ的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，兩向量的夾角α的范圍是[0，π]，當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時(shí)，就是這兩條異面直線所成的角；當(dāng)兩異面直線的方向向量的夾角為鈍角時(shí)，其補(bǔ)角才是兩異面直線所成的角；【即時(shí)練習(xí)】1、在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為()A． B． C．D．【答案】C【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以,因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C；2、已知正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，那么異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為2，以DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則A（2，0，0），E（2，2，1）D1（0，0，2），F(xiàn)（0，2，1），∴（0，2，1），（0，2，﹣1），設(shè)異面直線AE與D1F所成角為θ，則cosθ＝|cos，|＝||；故選：B．3、如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝eq\r(2)，BC＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則異面直線AD與A1C所成的角為【答案】eq\f(π,3)；【解析】以A為原點(diǎn)，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，A1(0，0，eq\r(2))，B(eq\r(2)，0，0)，C(0，eq\r(2)，0)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，eq\o(A1C,\s\up6(→))＝(0，eq\r(2)，－eq\r(2))，∴cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AD,\s\up6(→))·\o(A1C,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))||\o(A1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，∴〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).4、如圖，在三棱柱中，底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，且，則與所成角的余弦值為【答案】【解析】取AC中點(diǎn)為O,以O(shè)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)，則所以由向量夾角公式得又由異面直線夾角的范圍可知，異面直線與所成角的余弦值為.5、在棱長為的正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為【答案】；【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，，因此，直線與所成角的余弦值為，6、如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為eq\f(3\r(2),10)，則λ的值為________.【答案】eq\f(1,3)；【解析】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.正方體的棱長為2，則A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).所以eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(0，2，－1)，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋λeq\o(AD,\s\up6(→))＝(0，0，－2)＋λ(－2，0，0)＝(－2λ，0，－2).則cos〈eq\o(A1F,\s\up6(→))，eq\o(D1E,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(A1F,\s\up6(→))·\o(D1E,\s\up6(→)),|\o(A1F,\s\up6(→))|·|\o(D1E,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,2\r(λ2＋1)·\r(5))，所以eq\f(2,2\r(5)·\r(λ2＋1))＝eq\f(3\r(2),10)，解之得λ＝eq\f(1,3)(舍去－eq\f(1,3)).7、如圖，在四棱錐中，，平面，，，則異面直線與所成角的余弦值為【答案】【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，可得，因?yàn)槠矫?，所以平面，又由且為的中點(diǎn)，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，故，，則.8、已知長方體的棱，則異面直線與所成角的大小是________________.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【提示】建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線與的方向向量，再求出兩向量的夾角，進(jìn)而可得異面直線與所成角的大?。敬鸢浮俊窘馕觥拷猓航⑷鐖D所示的空間直角坐標(biāo)系：在長方體中，，，，，，，，，，異面直線與所成角的大小是；故答案為：．9、在四面體ABCD中，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥BC，BD＝AD＝1，BC＝2，求：異面直線AB與CD所成角的余弦值?！敬鸢浮縠q\f(\r(10),10)；【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面BCD內(nèi)過D與BD垂直的直線為x軸，以DB，DA所在的直線分別為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，1)，B(0，1，0)