二次函數(shù)與一元二次方程不等式6種常見考法歸類

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式6種常見考法歸類1、一元二次不等式的概念定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)2、二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．3、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??注：一元二次不等式與一元二次函數(shù)關(guān)系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象在x軸上方的點的橫坐標(biāo)x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象在x軸下方的點的橫坐標(biāo)x的集合．4、簡單的分式不等式的解法(1)eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)?(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0).(2)eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((ax＋b)(cx＋d)≥0(≤0)，,cx＋d≠0.))總之，簡單的分式不等式可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解．圖示如下：思考eq\f(x－3,x＋2)>0與(x－3)(x＋2)>0等價嗎？eq\f(x－3,x＋2)≥0與(x－3)(x＋2)≥0等價嗎？答案eq\f(x－3,x＋2)>0與(x－3)(x＋2)>0等價；eq\f(x－3,x＋2)≥0與(x－3)(x＋2)≥0不等價，前者的解集中沒有－2，后者的解集中有－2.5、一元二次不等式恒成立問題（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．6、利用不等式解決實際問題的一般步驟（1）選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)．（2）由題目中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)．（3）求解所列出的不等式(組)．（4）結(jié)合題目的實際意義確定答案．7、解一元二次不等式的一般步驟(1)將一元二次不等式化為一端為0的形式(習(xí)慣上二次項系數(shù)大于0)．(2)求出相應(yīng)一元二次方程的根，或判斷出方程沒有實根．(3)畫出相應(yīng)二次函數(shù)示意草圖，方程有根的將根標(biāo)在圖中．(4)觀察圖象中位于x軸上方或下方的部分，對比不等式中不等號的方向，寫出解集．注：(1)若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉(zhuǎn)化為幾個代數(shù)式的乘積形式，則可以直接由一元二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集．(2)若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠化為完全平方式，不論取何值，完全平方式始終大于或等于零，則不等式的解集易得．(3)若上述兩種方法均不能解決，則應(yīng)采用求一元二次不等式的解集的通法，即判別式法．8、解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟特別提醒：(1)對應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定，分解不開時再求判別式Δ，用求根公式計算．(2)在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時，往往要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個方面進(jìn)行考慮：①關(guān)于不等式類型的討論：二次項系數(shù)a＞0，a＜0，a＝0.②關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的討論：兩個不相等實數(shù)根(Δ＞0)，兩個相等實數(shù)根(Δ＝0)，無實數(shù)根(Δ＜0).③關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.9、三個“二次”之間的關(guān)系(1)三個“二次”中，二次函數(shù)是主體，討論二次函數(shù)主要是為了將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：10、根據(jù)一元二次不等式解集求參數(shù)已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循(1)根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號．(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式．(3)約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解．11、分式不等式的解法(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意等價變形，保證分母不為零．(2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．注：解分式不等式的思路是轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式的方法：移項，通分，不等式右邊化為0，左邊化為乘積的形式．將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式同解不等式的變形方法如下表：分式不等式整式同解不等式eq\f(y1,y2)＞0與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＞0，,y2＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＜0，,y2＜0))同解；與y1y2＞0同解eq\f(y1,y2)＜0與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＞0，,y2＜0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＜0，,y2＞0))同解；與y1y2＜0同解eq\f(y1,y2)≥0與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1y2≥0，,y2≠0))同解eq\f(y1,y2)≤0與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1y2≤0，,y2≠0))同解特別地，形如eq\f(y1,y2)＞a(a≠0)的分式不等式，可同解變形為eq\f(y1－ay2,y2)＞0，故可轉(zhuǎn)化為解y2(y1－ay2)＞0.12、一元二次不等式恒成立問題的解法(1)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，考慮兩個方面：x2的系數(shù)和對應(yīng)方程的判別式的符號．(2)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題：分離參數(shù)后，求相應(yīng)二次函數(shù)的最值，使參數(shù)大于(小于)這個最值．注：(1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)對于x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝b2－4ac＜0(≤0)；))一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(≤0)對于x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝b2－4ac＜0(≤0).))(2)在解關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)對一切x恒成立問題時，應(yīng)注意對二次項的系數(shù)進(jìn)行討論，需研究二次項系數(shù)為0時是否滿足題意．13、解不等式應(yīng)用題的步驟考點一一元二次不等式的解法考點二含參數(shù)的一元二次不等式的解法（一）對二項式系數(shù)的討論（二）對判別式的討論（三）對兩根大小的討論考點三根據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)考點四簡單的分式不等式的解法考點五一元二次不等式的恒成立問題考點六一元二次不等式的實際應(yīng)用考點一一元二次不等式的解法1．（2023春·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）已知集合，，則．【答案】【分析】解一元二次不等式化簡集合N，再利用交集的定義求解作答.【詳解】解不等式，得，即，而，所以故答案為：2．（2023秋·廣東佛山·高一佛山市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)無解(3)【分析】根據(jù)十字相乘法、配方法，可得答案.【詳解】（1），，，.（2），，，無解.（3），，，解得.3．（2023秋·高一?？颊n時練習(xí)）解下列不等式：（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）【分析】（1）根據(jù)題意原不等式變形可得，進(jìn)而分析可得答案；（2）根據(jù)配方法將不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而分析可得答案；（3）根據(jù)題意原不等式變形可得，進(jìn)而分析可得答案；（4）根據(jù)題意原不等式變形可得，進(jìn)而分析可得答案.【詳解】（1）原不等式變形可得則該不等式的解集為；（2）因為恒成立，所以該不等式的解集為；（3）原不等式變形可得則該不等式的解集為；（4）原不等式變形可得則該不等式的解集為.4．（2023·上海·高一專題練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則y>0的解集為（

）A．{x|2<x<1} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3}【答案】B【分析】直接根據(jù)圖象求解即可.【詳解】由題圖知y>0的解集為{x|1<x<2}.故選B.5．（2023秋·上海黃浦·高一上海市光明中學(xué)校考期中）關(guān)于的不等式解集是．【答案】【分析】分和分別解一元二次不等式即可求解.【詳解】當(dāng)時，不等式化為，解得，即；當(dāng)時，不等式化為，解得，即.綜上所述，不等式的解集為．故答案為：．考點二含參數(shù)的一元二次不等式的解法（一）對二項式系數(shù)的討論6．（2023秋·北京·高一北京市第五十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解不等式.【答案】當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為．【分析】需要分類討論，先討論，和，時，相應(yīng)方程的兩根大小易判斷，可直接得出不等式的解集，時，相應(yīng)方程的兩根的大小不確定，需按兩根大小分類．【詳解】當(dāng)，原不等式等價于，解得．當(dāng)時，原不等式1）當(dāng)時，原不等式，此時，原不等式解集為2）當(dāng)時，原不等式①當(dāng)，即時，原不等式解集為②當(dāng)，即時，易得原不等式解集為③當(dāng)，即時，易得原不等式解集為綜上所述得：當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為．【點睛】思路點睛：本題考查解含參數(shù)的一元二次不等式，解題時要注意分類討論，分類討論有三個層次：第一層次是最高次項系數(shù)是否為0，在最高次項系數(shù)不為零時，還應(yīng)分正負(fù)，第二層次是相應(yīng)的二次方程有無實根，在有實根的前提下，第三層次就是比較兩根的大?。?．（2023秋·高一校考課時練習(xí)）解關(guān)于x的不等式:.【答案】答案見解析【分析】對，，進(jìn)行分類討論進(jìn)而解方程即可.【詳解】①當(dāng)時，不等式化為，解得，此時不等式的解集為;②當(dāng)時，原不等式化為，解得不等式的解集為:；③當(dāng)時，原不等式化為:，解得不等式的解集為:.綜上所述，當(dāng)時，解集為;當(dāng)時，解集為;當(dāng)時，解集為8．（2023秋·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┰O(shè)，解關(guān)于的不等式：．【答案】答案見解析【分析】將所求不等式變形為，對實數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解.【詳解】解：由可得.（1）當(dāng)時，原不等式即為，解得；（2）當(dāng)時，解方程可得或.①當(dāng)時，，解原不等式可得或②當(dāng)時，則，解原不等式可得；③當(dāng)時，原不等式即為，解得；④當(dāng)時，，解原不等式可得.綜上所述，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.9．（2023秋·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中?？计谥校┮阎?，，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】答案見解析【分析】討論，、、且三種大情況，解不等式得到答案.【詳解】①當(dāng)時，不等式的解為.②當(dāng)時，令解得；當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，不等式的解集為R；當(dāng)且時，由基本不等式得，解得或.綜上：當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式的解集為R；當(dāng)且時，不等式的解集為或.（二）對判別式的討論10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)一元二次不等式對應(yīng)二次函數(shù)的開口方向，并討論符號求解集即可.【詳解】由對應(yīng)函數(shù)開口向上，且，當(dāng)，即時，恒成立，原不等式解集為；當(dāng)，即或時，由，可得，所以原不等式解集為；綜上，解集為；或解集為.11．（2023·全國·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見解析【分析】分類討論判別式，確定一元二次不等式對應(yīng)方程解的情況，即可求得答案.【詳解】不等式對應(yīng)方程的判別式，（1）當(dāng)，即或時，由于方程的根是，所以不等式的解集是或}；（2）當(dāng)，即時，不等式的解集為且；（3）當(dāng)，即時，不等式的解集為R，故或時，不等式的解集是或}；時，不等式的解集為且；時，不等式的解集為R.（三）對兩根大小的討論12．（2023·全國·高一假期作業(yè)）若，解不等式．【答案】【分析】根據(jù)題意，，轉(zhuǎn)化不等式，求解即可．【詳解】解：∵，∴，原不等式可化為，解得．故原不等式的解集為．13．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式【答案】答案見解析【分析】原不等式可化為，分、、三種情況求解即可.【詳解】原不等式可化為.當(dāng)，即時，或；當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，或.綜上，當(dāng)時，解集為或；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為或.14．（2023秋·高一?？紗卧獪y試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，解關(guān)于的不等式；(2)若，解關(guān)于的不等式..【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）時，將不等式因式分解，結(jié)合二次圖像得到解集；（2）可化為,.分三種情況：，，時，分別得到解集.【詳解】（1）當(dāng)時,可得,,的解集為.（2）不等式可化為,

,①當(dāng)時，有.解得：,②當(dāng)時，有,

解得：.③當(dāng)時，有.解得：.綜上：①當(dāng)時：不等式的解集為.

②當(dāng)時：不等式的解集為.③當(dāng)時：不等式的解集為.15．（2023·全國·高三對口高考）解關(guān)于x的不等式：(1)(2)【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.【分析】（1）分解因式并含參討論解不等式即可；（2）將分式不等式化為整式不等式，含參討論即可.【詳解】（1），若，，解不等式得；若，則不等式可化為：①若，則，解不等式得或；②若，則，解不等式得；③若，則無解，即；④若，則，解不等式得.綜上所述：時，不等式的解集為；時，不等式的解集為；時，不等式的解集為；時，不等式的解集為；時，不等式的解集為.（2）由，若，則，即；若，原不等式可化為：若，則，解不等式得：或；若，則，解不等式得：；若，則，顯然無解，即；若，則，解不等式得：；綜上所述：當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.考點三根據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)16．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考階段練習(xí)）已知不等式的解集是，則（

）A．10 B．6 C．0 D．2【答案】A【解析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得即可得出結(jié)果.【詳解】因為不等式的解集是,所以的兩根為，則，即，所以.故選：A【點睛】本題考查由一元二次不等式的解集求解參數(shù)，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.17．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知不等式的解集是，則的值為（

）A． B．7 C． D．【答案】A【分析】先將題目轉(zhuǎn)化為和為方程的根，且，再結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.【詳解】由題意，不等式的解集是，則和為方程的根，且，即，解得，，所以.故選：A.18．（2023秋·廣西柳州·高一柳鐵一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】D【分析】由不等式的解集是可得，，從而不等式可化為.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為，，，可化為，即，關(guān)于的不等式的解集是.故選：D.19．（2023秋·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集是，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，是方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理便可求解．【詳解】關(guān)于的不等式的解集是，，是方程的兩根，，解得，，故選：B．20．【多選】（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級中學(xué)校考期末）已知關(guān)于的不等式解集為或，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為或【答案】AD【分析】根據(jù)不等式解集為或，可判斷a的正負(fù)，確定是的兩根，從而求出，由此一一判斷每個選項，可得答案.【詳解】關(guān)于的不等式解集為或,結(jié)合二次函數(shù)和一元二次方程以及不等式的關(guān)系，可得，且是的兩根，A正確；則，故，所以即，即的解集為，B錯誤；由于的不等式解集為或,故時，，即，C錯誤；由以上分析可知不等式即，因為，故或，故不等式的解集為或，D正確，故選：AD21．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高一?？计谥校┮阎坏仁降慕饧癁?，則不等式的解集為（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【分析】由的兩根為，得出，再由一元二次不等式的解法得出答案.【詳解】因為不等式的解集為，所以的兩根為，即，解得.所以不等式可化為，其解集為或.故選：A22．【多選】（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于的不等式，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，不等式的解集為B．當(dāng)時，不等式的解集可以為的形式C．不等式的解集恰好為，那么或D．不等式的解集恰好為，那么【答案】AD【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法判斷A，作函數(shù)以及和的圖象，結(jié)合條件及圖象判斷B；由條件先確定的范圍，再根據(jù)不等式的解法求出的值，即可判斷C，D.【詳解】對于選項A：由，可得，方程的判別式，又，所以，所以不等式的解集為，所以不等式的解集為，故A正確；對于選項B：在同一平面直角坐標(biāo)系中，作函數(shù)以及和的圖象，如圖所示，設(shè)交點，由圖可知，當(dāng)時，不等式的解集為的形式，故B錯誤；對于選項C：由不等式的解集恰好為，可知，即，所以和是方程的兩根，從而有，解得或，又由，解得或，不滿足，不符合題意，故C錯誤；對于選項D：當(dāng)時，由，解得或，當(dāng)時滿足，此時，故D正確．故選：AD．23．（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若關(guān)于x的不等式的解集為，求a，b的值；(2)當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)，(2)當(dāng)時，解集為或，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為或．【分析】（1）由一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理解方程組即可；（2）當(dāng)時，，即，分類討論、和三種情況下，即可求出一元二次不等式的解集．【詳解】（1）因為不等式的解集為，所以，3是的兩根，所以，解得；（2）當(dāng)時，，即，當(dāng)時，解得或，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得或綜上可得，當(dāng)時，不等式的解集為或，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為或．24．（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）若關(guān)于x的不等式只有一個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分討論解不等式，根據(jù)只有一個整數(shù)解建立不等關(guān)系求解即可.【詳解】不等式化為，即，當(dāng)時，不等式化為，得，有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；當(dāng)時，由關(guān)于x的不等式只有一個整數(shù)解，可知，不等式的解為，由題意，，解得；當(dāng)時，不等式的解為或，有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故選：C25．【多選】（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個正整數(shù)解，則a的值可以為（

）A． B． C． D．2【答案】CD【分析】由題意先判斷出，寫出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3個正整數(shù)，分析的這3個正整數(shù)為,計算求解即可.【詳解】不等式化簡為的解集中恰有3個正整數(shù)，當(dāng)時，不等式化為，則解集中有無數(shù)個整數(shù).當(dāng)時，不等式的解集中有無數(shù)個正整數(shù)，故A錯誤；所以，，，所以所以不等式的解集為：，根據(jù)0一定屬于此集合，則由不等式的解集中恰有3個正整數(shù)，則這3個整數(shù)中一定為：，則，解得故可取和2，故C,D正確，AB錯誤；故選：CD.考點四簡單的分式不等式的解法26．（2023·上海楊浦·同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┎坏仁降慕饧恰敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)分式不等式運算求解.【詳解】因為，等價于，等價于，解得，所以不等式的解集是.故答案為：.27．（2023秋·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是．【答案】或【分析】分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，求出答案.【詳解】等價于，解得或，故解集為或.故答案為：或28．（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）不等式的解集為．【答案】【分析】根據(jù)分式不等式的解法，結(jié)合一元二次不等式的解法求解.【詳解】不等式等價于，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.29．（2023·全國·高三對口高考）已知集合，則．【答案】【分析】根據(jù)分式不等式的解法求解即可.【詳解】解：原不等式等價于，化簡得，所以，又等價于，解得：所以，故答案為：．30．（2023秋·陜西西安·高一校考期中）（1）解關(guān)于x的不等式；（2）解關(guān)于x的不等式.【答案】（1）或；（2）【分析】（1）變形后利用公式進(jìn)行求解；（2）將分式不等式化為一元二次不等式，求出解集.【詳解】（1）變形得到，解得或，故解集為或；（2）變形為，故，解得，故不等式的解集為.考點五一元二次不等式的恒成立問題31．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）函數(shù)類型不定，需對的系數(shù)分類討論，結(jié)合圖象即得答案.（2）對應(yīng)函數(shù)類型不定，需對的系數(shù)分類討論，對應(yīng)方程有根大小不定，需分類討論，結(jié)合圖象即得答案.【詳解】（1）由已知得，在R上恒成立.①當(dāng)時，顯然不滿足題意.②當(dāng)時，只需滿足，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.（2）不等式，即為，即，可化為.①當(dāng)，即時，，解集為；②當(dāng)，即時，，解集為或;③當(dāng)，即時，i當(dāng)，即時，解集為；ii當(dāng)，即時，解集為；iii當(dāng)，即時，解集為.綜上所述：當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為或；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為.32．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】(1)根據(jù)給定條件利用一元二次不等式恒成立求解作答.(2)分類討論解一元二次不等式即可作答.【詳解】（1），恒成立等價于，，當(dāng)時，，對一切實數(shù)不恒成立，則，此時必有，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）依題意，，可化為，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，又，解得，當(dāng)時，不等式可化為，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，，解得或，所以，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為或；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為或.33．（2023秋·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）對進(jìn)行分類討論來分析恒成立問題.（2）解不等式時要對進(jìn)行分類討論.【詳解】（1）不等式.當(dāng)時，，即不等式僅對成立，不滿足題意，舍.當(dāng)時，要使對一切實數(shù)恒成立.則解得.綜上，實數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時，解得.當(dāng)時，.①若，的解為；②若，當(dāng)即時，解得.當(dāng)時，，的解為或.當(dāng)時，，的解為或.綜上，當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為或；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為或.34．（2023秋·高一單元測試）設(shè).(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍;(2)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）由題意等價于對于一切實數(shù)x恒成立，由可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為不等式，分、、討論解不等式可得答案.【詳解】（1）由題意，不等式對于一切實數(shù)x恒成立，等價于對于一切實數(shù)x恒成立，所以，解得，故實數(shù)a的取值范圍為；（2）不等式，即，當(dāng)，即時，不等式的解集為；當(dāng)，即時，不等式的解集為；當(dāng)，即時，不等式的解集為.綜上所述，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.考點六一元二次不等式的實際應(yīng)用35．（2023秋·廣西桂林·高一校考期中）將進(jìn)貨單價40元的商品按50元一個售出，能賣出500個；若此商品每漲價1元，其銷售量減少10個.為了賺到最大利潤，售價應(yīng)定為元.【答案】【分析】根據(jù)總利潤銷售量每個利潤．設(shè)售價為元，總利潤為