專題08 圓錐曲線第二定義與焦點(diǎn)弦（講義）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題教師版

第第⑩設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，經(jīng)過焦點(diǎn)垂直于軸的直線和拋物線交于兩點(diǎn)，經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)垂直于軸的直線和軸交于點(diǎn)，線段是和的比例中項(xiàng)?！疽弧?、橢圓中的焦點(diǎn)弦問題例1．已知橢圓過焦點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于軸上方），若，則直線的斜率的值為__________．【答案】【解析】由題可得，聯(lián)立直線與橢圓，利用韋達(dá)定理建立關(guān)系即可求出.【詳解】由題，點(diǎn)A位于軸上方且，則直線l的斜率存在且不為0，，設(shè)，則可得，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立直線與橢圓可得，，，，解得，則直線的斜率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.例2．過橢圓的右焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于，，，四點(diǎn)，則的值為A． B． C．1 D．【解答】解：由橢圓，得橢圓的右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，則．此時(shí)，，則；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，則．又設(shè)點(diǎn)，，，．聯(lián)立方程組，消去并化簡(jiǎn)得，，，由題知，直線的斜率為，同理可得．為定值．故選：．1．已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，分別是其左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是，．【解答】解：設(shè)的坐標(biāo)為橢圓中，，，，得橢圓的準(zhǔn)線方程為，即作出橢圓的右準(zhǔn)線，設(shè)在右準(zhǔn)線上的射影為，連結(jié)，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得，，同理可得，，點(diǎn)在橢圓上，得，，由此可得，得，，即，，得，，，．故答案為：，2．（2024上·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）月光石是由兩種長石混合組成的具有月光效應(yīng)的長石族礦物.它的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的上焦點(diǎn)，半橢圓的短軸與半圓的直徑重合.若直線與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)B，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)題意求得橢圓和圓的方程后，解出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，再求面積即可.【詳解】由題意得，半圓的方程為，在半橢圓中，則，故半橢圓方程為，將代入半橢圓，解得，將代入半圓，解得，故，然，故選：D【二】、雙曲線中的焦點(diǎn)弦問題例3．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以，為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，，，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【分析】先把用a表示出來，解出a、b、c，寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由雙曲線定義得又，解得：，，∵為以，為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，∴∴，解得：，∴，故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：．故答案為：例4．已知點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，為該雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為A． B．2 C． D．【解答】解：由題意，分子最大且分母最小時(shí)，即在頂點(diǎn)處取得最大值，不妨取頂點(diǎn)，，則的最大值為，故選：．1．已知雙曲線的離心率為，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交的兩支于兩點(diǎn)．若，則________________．【答案】【分析】由題意設(shè)雙曲線的方程為，直線為，即，聯(lián)立方程，設(shè)，由，得，由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可【詳解】因?yàn)椋?，雙曲線的方程為，設(shè)過左焦點(diǎn)且斜率為的直線為，即，與雙曲線聯(lián)立得，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，消去得，化?jiǎn)得，即，因?yàn)?，所以，故答案為?．（2023上·江蘇宿遷·高二校考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程是，且經(jīng)過點(diǎn)，過的右焦點(diǎn)的直線與兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，，以為直徑的圓過點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 B．直線的傾斜角為或C．圓的面積等于 D．與的面積之比為【答案】D【分析】設(shè)雙曲線方程為，代入求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷A；，根據(jù)漸近線方程和傾斜角可得直線的傾斜角可判斷B；根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)的傾斜角為，求出直線的方程分別與兩條漸近線方程聯(lián)立，解得，點(diǎn)坐標(biāo)，求出得圓的半徑，求出圓的面積可判斷C；為與的公共邊，與的面積之比等于可判斷D.【詳解】對(duì)于A，∵雙曲線的漸近線為，∴設(shè)雙曲線方程為，∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，∴，得.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；對(duì)于B，∵以為直徑的圓過點(diǎn)，∴，又漸近線方程為，可得漸近線的傾斜角分別為，，則，，則直線的傾斜角為或，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)的傾斜角為，由，可得直線的方程為，分別與兩條漸近線方程聯(lián)立，解得，，此時(shí)，故圓的半徑，其面積為，故C正確；對(duì)于D，∵為與的公共邊，∴與的面積之比等于，故與的面積之比為，故D錯(cuò)誤.故選：D.【三】、拋物線中的焦點(diǎn)弦問題例5．拋物線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸.該性質(zhì)在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛.如圖所示，從拋物線的焦點(diǎn)F發(fā)出的兩條光線a，b分別經(jīng)拋物線上的A，B兩點(diǎn)反射，已知兩條入射光線與x軸的夾角均為60°，且兩條反射光線和之間的距離為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】寫出直線AF、BF的方程，求出，，由，解出p.【詳解】拋物線的焦點(diǎn).由,所以直線AF的方程為，即，聯(lián)立，得，解得：或，可得：.同理直線BF的方程為，即，聯(lián)立，解得：.所以，解得：.故選：B例6．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為60°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B．8 C．12 D．【答案】B【分析】由題意得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由拋物線過焦點(diǎn)的弦長公式可得出答案.【詳解】依題意可知拋物線焦點(diǎn)為，直線AB的方程為，代入拋物線方程得，可得，根據(jù)拋物線的定義可知直線AB的長為．故選：B．例7．點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，過F的直線交拋物線C于兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），過A、B分別作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線段，垂足分別為M、N，若，則直線的斜率為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】令，根據(jù)拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得，可得，由勾股定理可得，再根據(jù)等面積法求出，即可求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用斜率公式計(jì)算可得；【詳解】解：如圖令，易知：．．因?yàn)樗話佄锞€方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)，（舍去），所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，焦點(diǎn)弦的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.例8．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，四邊形的面積為A．32 B．16 C．24 D．8【解答】解：因?yàn)椋棺钚。?，由拋物線的對(duì)稱性可得與，與關(guān)于軸對(duì)稱，所以可得直線的斜率為1，又過拋物線的焦點(diǎn)，所以直線的方程為：，，整理可得，，，所以可得，所以．故選：．1．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若F是AC的中點(diǎn)，且，則線段AB的長為（

）A．5 B．6 C． D．【答案】C【分析】設(shè)在準(zhǔn)線上的射影分別為，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，，取得，設(shè)，根據(jù)相似求得，再結(jié)合焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)在準(zhǔn)線上的射影分別為，準(zhǔn)線與軸交于，則，由于點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，根據(jù)拋物線的定義，可得，所以，設(shè)，則，即，解得，所以，即的長為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義及其應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離是解答的關(guān)鍵，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力.2．如圖，已知拋物線，圓，過C點(diǎn)的直線l與拋物線和圓依次交于P，M，N，Q，則等于（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】設(shè)，，由拋物線的焦半徑公式求得，，按直線斜率存在和不存在分類討論，斜率不存在時(shí)直接求出，斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得結(jié)論．【詳解】圓，點(diǎn)C與拋物線的焦點(diǎn)重合，設(shè)，，所以，，∴．①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，∴；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為(),與拋物線方程聯(lián)立消y，得，∴．綜上，.故選：A．3．（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且與交于兩點(diǎn)，且，與的面積之比為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則.【答案】1【分析】過焦點(diǎn)的直線方程與拋物線聯(lián)立，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，利用三角形的面積比和弦長求解.【詳解】由對(duì)稱性，不妨設(shè),分別在第一、四象限，則,,設(shè)直線方程,聯(lián)立,整理得，,,,由與的面積之比為，可得，則,,則，得，,解得，.

故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是設(shè)出直線PQ，聯(lián)立拋物線方程，將與面積比轉(zhuǎn)化為P，Q的縱坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合PQ的長度可得解.4．（2023下·黑龍江綏化·高二?？奸_學(xué)考試）已知拋物線上有，A，B三點(diǎn)，且直線過拋物線的焦點(diǎn)F，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)C，若，則，．【答案】8/【分析】先根據(jù)條件求出拋物線的方程，作圖，再根據(jù)圖中的幾何關(guān)系求解.【詳解】由題意，將點(diǎn)代入，得，解得，所以拋物線的方程為，準(zhǔn)線l的方程為；如圖，過A作于M，過B作于N，過B作于，交x軸于G，連接，BC，設(shè)，則由，得，，，所以，顯然，，所以，解得，所以，，，，，，，在中，由余弦定理得，所以，

故答案為：8，.【四】、綜合問題例7．已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．【解答】解：（1）設(shè)，，，，線段的中點(diǎn)為，，將，代入橢圓中，可得，兩式相減可得，，即，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，即，解得．①（2）由題意得，設(shè)，，則，，由（1）及題設(shè)得，．又點(diǎn)在上，所以，從而，．于是．同理．所以，故，即，，成等差數(shù)列．設(shè)改數(shù)列的公差為，則②將代入①得．所以的方程為，代入的方程，并整理得．故，，代入②解得．所以該數(shù)列的公差為或．例8．已知斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，且，證明：，，成等差數(shù)列．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）設(shè)，，，，則有（2分）（1）（2）得．，．．（3分）．（4分）由題設(shè)可知點(diǎn)在橢圓內(nèi)，，解得，．（5分）（Ⅱ），為的中點(diǎn)，，（6分），．點(diǎn)在橢圓上，．（7分）又．（8分）由（Ⅰ）知，所以．直線的方程為，即．（9分）由直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得消化簡(jiǎn)得，解得，．（10分）從而得，，又，，，．（11分），，成等差數(shù)列．（12分）1．已知橢圓的長軸長為4，離心率為，一動(dòng)圓過橢圓右焦點(diǎn)，且與直線相切．（1）求橢圓的方程及動(dòng)圓圓心軌跡的方程；（2）過作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【解答】解：（1）由已知可得，則所求橢圓方程．由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則動(dòng)圓圓心軌跡方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)的長即為橢圓長軸長，，從而．設(shè)直線的斜率為，則，直線的方程為：，直線的方程為，設(shè)，，，，，，，，由，消去可得，由拋物線定義可知：，由，消去得，從而