立體幾何知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)

立體幾何知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)1/52一、知識(shí)結(jié)構(gòu)2/52二、空間直線(xiàn)與平面

1：空間角2：空間距離3：平行與垂直3/52直線(xiàn)與平面所成角直線(xiàn)與平面所成角平面與平面所成角平面與平面所成角異面直線(xiàn)所成角異面直線(xiàn)所成角空間的角解析：14/52（1）異面直線(xiàn)所成角5/52ABDCA1B1D1C1如：在正方體AC1中，求異面直線(xiàn)A1B和B1C所成角？A1B和B1C所成角為和A1B成角為60°面對(duì)角線(xiàn)共有

條。860°6/52再如：兩異面直線(xiàn)a,b所成角是50°，P為空間中一定點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a,b都成30°角直線(xiàn)有

條。abPO27/52（2）線(xiàn)面角斜線(xiàn)與平面所成角平面一條斜線(xiàn)和它在這個(gè)平面內(nèi)射影所成銳角BAO8/52當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角是90°當(dāng)直線(xiàn)在平面內(nèi)或與平面平行時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角是0°

9/52斜線(xiàn)與平面所成角（0°,90°）直線(xiàn)與平面所成角[0°,90°]異面直線(xiàn)所成角（0°,90°]

10/52求直線(xiàn)與平面所成角時(shí),應(yīng)注意問(wèn)題:(1)先判斷直線(xiàn)與平面位置關(guān)系(2)當(dāng)直線(xiàn)與平面斜交時(shí)，常采取以下步驟：①作出或找出斜線(xiàn)上點(diǎn)到平面垂線(xiàn)②作出或找出斜線(xiàn)在平面上射影③求出斜線(xiàn)段，射影，垂線(xiàn)段長(zhǎng)度④解此直角三角形，求出所成角對(duì)應(yīng)函數(shù)值11/52（3）二面角從一條直線(xiàn)出發(fā)兩個(gè)半平面所形成圖形叫做二面角這條直線(xiàn)叫做二面角棱12/52二面角平面角二面角平面角以二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，以二面角棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱兩條射線(xiàn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成角叫做二面角平面角這兩條射線(xiàn)所成角叫做二面角平面角O13/52二面角求法二面角求法(1)垂線(xiàn)法——利用三垂線(xiàn)定理作出平面角，經(jīng)過(guò)解直角三角形求角大小(2)垂面法——經(jīng)過(guò)做二面角棱垂面，兩條交線(xiàn)所成角即為平面角(3)射影法——若多邊形面積是S，它在一個(gè)平面上射影圖形面積是S`，則二面角

大小為COS

=S`÷S14/52垂線(xiàn)法15/52垂面法16/52ABCDO射影法17/52ABCA`M如：如圖⊿ABC頂點(diǎn)A在平面M上射影為點(diǎn)A`，⊿ABC面積是S，⊿A`BC面積是S`，設(shè)二面角A-BC-A`為

則：COS=

S`÷SD18/52解析2：空間距離

兩點(diǎn)之間距離點(diǎn)到直線(xiàn)距離、點(diǎn)到平面距離兩條平行線(xiàn)間距離、兩條異面直線(xiàn)間距離、平面平行直線(xiàn)與平面之間距離兩個(gè)平行平面之間距離19/52點(diǎn)—點(diǎn)點(diǎn)—線(xiàn)點(diǎn)—面線(xiàn)—線(xiàn)線(xiàn)—面20/52點(diǎn)—面AH從平面外一點(diǎn)引這個(gè)平面垂線(xiàn)垂足叫做點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)射影這個(gè)點(diǎn)和垂足間距離叫做點(diǎn)到平面距離線(xiàn)面垂直點(diǎn)射影點(diǎn)面距離21/52線(xiàn)—面

lA`A一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行時(shí)，直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面距離叫做直線(xiàn)到平面距離22/52

lA`A

lA`AB點(diǎn)—面線(xiàn)—面23/52點(diǎn)到平面距離求法：（1）直接法即直接由點(diǎn)作垂線(xiàn)，求垂線(xiàn)段長(zhǎng).（2）轉(zhuǎn)移法轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面距離.（3）體積法.24/52解析3：平行與垂直25/52直線(xiàn)在平面內(nèi)直線(xiàn)和平面相交直線(xiàn)和平面平行線(xiàn)面位置關(guān)系有沒(méi)有數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn)26/52位置關(guān)系圖示表示方法公共點(diǎn)個(gè)數(shù)直線(xiàn)在平面內(nèi)a

無(wú)數(shù)個(gè)直線(xiàn)在平面外直線(xiàn)與平面相交斜交a

一個(gè)垂直相交a

一個(gè)直線(xiàn)與平面平行a

無(wú)αaαaαAAaαa27/52線(xiàn)面平行的判定(1)定義——直線(xiàn)與平面沒(méi)有公共點(diǎn)(2)定理——假如平面外一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行。28/52線(xiàn)面平行性質(zhì)線(xiàn)面平行性質(zhì)(1)假如一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)(2)假如一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則這條直線(xiàn)與這個(gè)平面內(nèi)直線(xiàn)成異面直線(xiàn)或平行直線(xiàn)(3)假如一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)平面和這個(gè)平面相交，則這條直線(xiàn)與交線(xiàn)平行。29/52一、兩個(gè)平面平行判定方法1、兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)2、一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面3、都垂直于同一條直線(xiàn)兩個(gè)平面兩個(gè)平面平行30/52二、兩個(gè)平面平行性質(zhì)4、一直線(xiàn)垂直于兩個(gè)平行平面中一個(gè)，則它也垂直于另一個(gè)平面2、其中一個(gè)平面內(nèi)直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面3、兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，它們交線(xiàn)平行兩個(gè)平面平行5、夾在兩個(gè)平行平面間平行線(xiàn)段相等1、兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)31/5232/52線(xiàn)面垂直判定方法（1）定義——假如一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)都垂直，則直線(xiàn)與平面垂直。（2）判定定理1——假如兩條平行線(xiàn)中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面。（3）判定定理2——假如一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)都垂直，則直線(xiàn)與平面垂直。33/52線(xiàn)面垂直性質(zhì)（1）定義——假如一條直線(xiàn)和一個(gè)平面垂直則這條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)（2）性質(zhì)定理——假如兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線(xiàn)平行。34/52面面垂直35/52定義假如兩個(gè)平面所成二面角是直二面角，則這兩個(gè)平面垂直假如兩個(gè)平面所成二面角是直二面角，則這兩個(gè)平面垂直36/52假如一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面一條垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面相互垂直假如一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面一條垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面相互垂直判定定理ABEDC線(xiàn)面垂直線(xiàn)面垂直面面垂直面面垂直37/52性質(zhì)定理假如兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面假如兩個(gè)平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面ABDCE線(xiàn)面垂直線(xiàn)面垂直面面垂直面面垂直38/52三、簡(jiǎn)單幾何體1：慣用體積公式2：棱錐相關(guān)概念與性質(zhì)3：球相關(guān)概念與性質(zhì)39/52慣用體積公式慣用體積公式abcV長(zhǎng)方體=abc40/52s慣用體積公式慣用體積公式hV棱柱=·hs底V棱柱=·ls直41/52慣用體積公式慣用體積公式V棱錐=·hs底42/52求多面體體積時(shí)慣用方法1、直接法2、割補(bǔ)法3、變換法依據(jù)條件直接用柱體或錐體體積公式假如一個(gè)多面體體積直接用體積公式計(jì)算用困難，可將其分割成易求體積幾何體，逐塊求積，然后求和。假如一個(gè)三棱錐體積直接用體積公式計(jì)算用困難，可轉(zhuǎn)換為等積另一三棱錐，而這一三棱錐底面面積和高都是輕易求得43/52PCBDA棱錐基本概念棱錐底面棱錐側(cè)面棱錐側(cè)棱棱錐頂點(diǎn)棱錐高H棱錐斜高44/52HPCBDAO棱錐基本性質(zhì)假如棱錐被平行于底面平面所截，那么截面和底面相同，而且它們面積比等于截得棱錐高與已知棱錐高平方比C`B`D`A`45/52正棱錐假如一個(gè)棱錐

底面是正多邊形，而且頂點(diǎn)在底面射影是底面中心這么棱錐叫做正棱錐46/52在以下條件下，判斷正三棱錐P-ABC頂點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)射影位置在以下條件下，判斷正三棱錐P-ABC頂點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)射影位置1、三條側(cè)棱相等2、側(cè)棱與底面所成角相等3、側(cè)面與底面所成角相等4、頂點(diǎn)P到⊿ABC三邊距離相等5、三條側(cè)棱兩兩垂直6、相對(duì)棱相互垂直7、三個(gè)側(cè)面兩兩垂直外心外心內(nèi)心內(nèi)心垂心垂心垂心47/52正三棱錐假如一個(gè)三棱錐底面是正三角形，而且頂點(diǎn)在底面射影是正三角形中心，這么三棱錐叫做正三棱錐