計(jì)算方法1、解線性方程組的直接方法(5.15.4)省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)

計(jì)算方法解線性方程組直接方法5/5/20241第1頁(yè)第五章解線性方程組直接方法

§5.1引言解線性方程組兩類(lèi)方法：直接法:經(jīng)過(guò)有限次運(yùn)算后可求得方程組準(zhǔn)確解方法(不計(jì)舍入誤差)迭代法：從解某個(gè)近似值出發(fā)，經(jīng)過(guò)結(jié)構(gòu)一個(gè)無(wú)窮序列去迫近準(zhǔn)確解方法。（普通有限步內(nèi)得不到準(zhǔn)確解）5/5/20242第2頁(yè)n階線性方程組5/5/20243第3頁(yè)5/5/20244第4頁(yè)§5.2高斯消去法轉(zhuǎn)化為同解方程組5/5/20245第5頁(yè)§5.2.1高斯消去法計(jì)算過(guò)程5/5/20246第6頁(yè)5/5/20247第7頁(yè)5/5/20248第8頁(yè)5/5/20249第9頁(yè)5/5/202410第10頁(yè)系數(shù)矩陣與常數(shù)項(xiàng)：5/5/202411第11頁(yè)回代過(guò)程:5/5/202412第12頁(yè)5/5/202413第13頁(yè)消去第一列n-1個(gè)系數(shù)要計(jì)算n*(n-1）

個(gè)乘法?！?.2.2高斯消去法計(jì)算量5/5/202414第14頁(yè)每一步消去過(guò)程相當(dāng)于左乘初等變換矩陣Lk§5.2.3矩陣三角分解5/5/202415第15頁(yè)5/5/202416第16頁(yè)i+1行

i+1行依次遞推5/5/202417第17頁(yè)定理7（矩陣LU分解）設(shè)A為n階矩陣，假如A次序主子式Di≠0（i=1，2，…，n-1），則A可分解為一個(gè)單位下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U乘積，且這種分解是

唯一。5/5/202418第18頁(yè)5/5/202419第19頁(yè)§5.3高斯主元素消去法為防止此種情況發(fā)生，可經(jīng)過(guò)交換方程次序，選取絕對(duì)值大元素作主元?！?.3.1列主元素消去法5/5/202420第20頁(yè)選取或稱(chēng)此方法為全主元素高斯消去法稱(chēng)此方法為列主元素高斯消去法5/5/202421第21頁(yè)35/5/202422第22頁(yè)5/5/202423第23頁(yè)定理8（列主元素三角分解定理）假如A為非奇異矩陣，則存在排列矩陣P使

PA=LU其中L為單位下三角陣，U為上三角陣。5/5/202424第24頁(yè)§5.3.2高斯—若當(dāng)消去法5/5/202425第25頁(yè)5/5/202426第26頁(yè)本章作業(yè)P17675/5/202427第27頁(yè)§5.4矩陣三角分解法

§5.4.1直接三角分解法將高斯消去法改寫(xiě)為緊湊形式，能夠直接從矩陣A元素得到計(jì)算L,U元素遞推公式，而不需要任何中間步驟，這就是直接三角分解法。因?yàn)锳=LU，求解Ax=b問(wèn)題就等價(jià)于求解兩個(gè)三角形方程組①Ly=b，求y；②Ux=y，求x.5/5/202428第28頁(yè)1、不選主元三角分解法A=LU其中L為單位下三角陣，U為上三角陣（4.1）5/5/202429第29頁(yè)一、直接計(jì)算ALU分解(例)5/5/202430第30頁(yè)5/5/202431第31頁(yè)二、普通計(jì)算公式5/5/202432第32頁(yè)三、LU分解求解線性方程組5/5/202433第33頁(yè)矩陣A直接分解法稱(chēng)為杜利特爾（Doolittle）分解5/5/202434第34頁(yè)例1：將方程組系數(shù)矩陣A作LU分解，并求方程組解5/5/202435第35頁(yè)解LU分解緊湊格式為5/5/202436第36頁(yè)推出：5/5/202437第37頁(yè)由Ux=y，即用回代法解得即為線性方程組解5/5/202438第38頁(yè)2、選主元三角分解法采取與