函數(shù)的凹凸性-極值市公開課一等獎(jiǎng)省賽課獲獎(jiǎng)

函數(shù)曲線凹凸性問題:怎樣研究曲線彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦上方圖形上任意弧段位于所張弦下方凸凹1第1頁定義2第2頁有什么想法？3第3頁能不能依據(jù)函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線凸凹性呢？4第4頁四、曲線凹凸判定定理25第5頁判別可微函數(shù)凸凹性主要是對(duì)進(jìn)行比較.有什么公式能把以上函數(shù)值與函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)聯(lián)絡(luò)在一起呢?泰勒公式分析6第6頁(1)在

I內(nèi)則在I內(nèi)圖形是凹;(2)在

I內(nèi)則在

I內(nèi)圖形是凸.證:兩式相加說明(1)成立;(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)利用函數(shù)在一階泰勒公式可得定理2.(凹凸判定法)7第7頁例2解8第8頁例3證9第9頁拐點(diǎn)10第10頁五、曲線拐點(diǎn)及其求法1.定義2.拐點(diǎn)求法證11第11頁方法1:拐點(diǎn)求法12第12頁例4解凹凸凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)13第13頁方法2:想一想為何？14第14頁例5解15第15頁例6解注意:16第16頁17第17頁例7解18第18頁練習(xí)凹區(qū)間：凸區(qū)間：拐點(diǎn)：19第19頁第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第五節(jié)函數(shù)極值與最大,最小值20第20頁定義函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值點(diǎn)稱為極值點(diǎn).一、函數(shù)極值定義21第21頁22第22頁是函數(shù)可能取得極值點(diǎn)。一階導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)經(jīng)過觀察以上圖形:一階導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)23第23頁二、函數(shù)極值求法定理1(必要條件)定義注意:比如,24第24頁極值可疑點(diǎn)25第25頁首先考查以下函數(shù)圖形:26第26頁經(jīng)過觀察以上圖形能夠看出:判別函數(shù)極值點(diǎn),主要是判別極值可疑點(diǎn)左、右對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)將歸結(jié)于判別函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào).兩側(cè)函數(shù)單調(diào)性.27第27頁定理2(第一充分條件)(是極值點(diǎn)情形)28第28頁求極值步驟:(不是極值點(diǎn)情形)29第29頁例1解列表討論極大值極小值30第30頁泰勒公式31第31頁看這一部分32第32頁當(dāng)充分靠近時(shí),上式左端正負(fù)號(hào)由右端第一項(xiàng)確定,33第33頁定理3(第二充分條件)證取得極大值取得極小值34第34頁例2解35第35頁定理3失效例3解36第36頁說明：為何？37第37頁就是說：38第38頁定理3(第二充分條件)推廣39第39頁例3解注意:函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)極值點(diǎn).40第40頁小結(jié)極值是函數(shù)局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).函數(shù)極值必在臨界點(diǎn)取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)41第41頁試問為何值