計數(shù)原理復(fù)習(xí)課復(fù)習(xí)課市公開課一等獎省賽課微課金獎

排列組合、二項式定理復(fù)習(xí)課第1頁名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點不一樣點一、兩個原理區(qū)分與聯(lián)絡(luò)：做一件事或完成一項工作方法數(shù)直接（分類）完成間接（分步驟）完成做一件事，完成它能夠有n類方法，第一類方法中有m1種不一樣方法，第二類方法中有m2種不一樣方法…，第n類方法中有mn種不一樣方法，那么完成這件事共有

N=m1+m2+m3+…mn種不一樣方法做一件事，完成它能夠有n個步驟，做第一步中有m1種不一樣方法，做第二步中有m2種不一樣方法……，做第n步中有mn種不一樣方法，那么完成這件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn種不一樣方法.第2頁例1.書架上放有3本不一樣數(shù)學(xué)書,5本不一樣語文書,6本不一樣英語書,(1)若從這些書中任取一本,有多少種不一樣選法?(2)若從這些書中取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本,有多少種不一樣選法?(3)若從這些書中取不一樣科目標(biāo)書兩本,有多少種不一樣選法?第3頁例2如圖，某電子器件是由三個電阻組成回路,其中有6個焊接點A，B，C，D，E，F(xiàn)，假如某個焊接點脫落，整個電路就會不通?，F(xiàn)發(fā)覺電路不通了,那么焊接點脫落可能性共有（）63種（B）64種（C）6種（D）36種分析:由加法原理可知由乘法原理可知2×2×2×2×2×2-1=63第4頁（1）5名同學(xué)報名參加4項活動（每人限報1項），共有種不一樣報名方法（2）5名同學(xué)爭奪4項競賽冠軍，冠軍取得者共有種可能基礎(chǔ)練習(xí)第5頁二、排列和組合區(qū)分和聯(lián)絡(luò)：名稱排列組合定義種數(shù)符號計算公式關(guān)系性質(zhì)區(qū)分

從n個不一樣元素中取出m個元素，按一定次序排成一列從n個不一樣元素中取出m個元素，把它并成一組全部排列個數(shù)全部組合個數(shù)先選后排只選不排第6頁解排列組合問題遵照普通標(biāo)準(zhǔn):有序----;無序---2.分類---;分步---3.現(xiàn)有分類又有分步:4.現(xiàn)有排列又有組合:5.先后6.正難7.分類排列組合加法乘法先分類再分步先選后排要不重不漏則反特殊普通第7頁排列組合應(yīng)用題慣用方法1、基本原理法2、特殊優(yōu)先法3、捆綁法4、插空法

5、間接法6、窮舉法

第8頁1．對有約束條件排列問題，應(yīng)注意以下類型：⑴一些元素不能在或必須排列在某一位置；⑵一些元素要求連排（即必須相鄰）；⑶一些元素要求分離（即不能相鄰）；2．基本解題方法：（１）有特殊元素或特殊位置排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)先法）；特殊元素,特殊位置優(yōu)先安排策略（２）一些元素要求必須相鄰時，能夠先將這些元素看作一個元素，與其它元素排列后，再考慮相鄰元素內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；相鄰問題捆綁處理策略（３）一些元素不相鄰排列時，能夠先排其它元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱為“插空法”；不相鄰問題插空處理策略第9頁例題：（排隊問題）

有3名男生和4名女生，若分別滿足下

列條件，則共有多少種不一樣排法？第10頁1．排成前后兩排，前3人后4人：__________________________解：（多排問題單排法處理）.

與無任何限制排列相同，

有種．依據(jù)分步計數(shù)原理：

7×6×5×4×3×2×1＝7?。?040．第11頁2．甲站在正中間：___________

(變式)7位同學(xué)站成一排，其中甲不站在首位:解一：共有A61A66=4320。解二：共有A61A66=4320。解三：

A77-A66=7A66-A66=4320。位置分析法第12頁方法三：先不考慮特殊計算全部可能，再去掉不符合條件

用三種方法完成：有3名男生和4名女生，若甲不站在中間也不站在兩端，則共有多少種不一樣排法？1234567方法一：先安排特殊位置（中間，兩端）方法二：先安排特殊元素（甲）3.甲不站在中間也不站在兩端，第13頁4．甲不在排頭、乙不在排尾：_________________________________第14頁5．甲、乙必須相鄰：_____________要求某幾個元素必須排在一起問題,能夠用捆綁法來處理問題.即將需要相鄰元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.相鄰問題捆綁法變．甲、乙、丙三人都相鄰：

第15頁6．甲、乙不能相鄰：_______________________________cbade乙甲相離問題插空法元素相離問題可先把沒有位置要求元素進(jìn)行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端第16頁變．甲、乙、丙三人都不相鄰：____________________________

解：先將其余四個同學(xué)排好有A44種方法，此時他們留下五個“空”，再將甲、乙和丙三個同學(xué)分別插入這五個“空”有A53種方法，所以一共有A44

A53

＝1440種．小結(jié)：對于不相鄰問題，慣用“插空法”（特殊元素后考慮）．第17頁7．男女生各站在一起：

______________________

解：將甲、乙、丙三個男同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，另外四個女同學(xué)“捆綁”在一起看成一個元素，一共有2個元素，先捆后松

∴一共有排法種數(shù)：（種）.第18頁8．甲、乙兩人之間須相隔１人：______________________9．甲、乙兩人中間恰有3人：________________________第19頁10．男女各不相鄰(即男女相間、4女互不相鄰)：__________________插空法．先排好男生，然后將女生插入其中四個空位，共有種排法.第20頁11．甲在乙右邊：________________定序問題百分比法第21頁12．從左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁次序不變(即只排男生)：_____________________方法1：(百分比法)

方法2：構(gòu)想有7個位置，先將男生排在其中任意3個位置上，有種排法；余下4個位置排女生，因為女生位置已經(jīng)指定，所以她們只有一個排法.故本題結(jié)論為（種）.第22頁多排問題直排策略

8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,能夠把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上特殊元素有_____種,其余5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排普通地,元素分成多排排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.第23頁二、注意區(qū)分“恰好”與“最少”例：從6雙不一樣顏色手套中任取4只，其中恰好有一雙同色手套不一樣取法共有（）(A)480種（B）240種（C）180種（D）120種解：第24頁練習(xí)：從6雙不一樣顏色手套中任取4只，其中最少有一雙同色手套不一樣取法共有____種解：第25頁例1．6本不一樣書，按以下要求各有多少種不一樣選法：（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；例題解讀：解：（1）依據(jù)分步計數(shù)原理得到：種分配問題第26頁例1．6本不一樣書，按以下要求各有多少種不一樣選法：(2)分為三份，每份2本；解析：(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個過程能夠分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有種方法．依據(jù)分步計數(shù)原理所以．

可得：例題解讀：所以，分為三份，每份兩本一共有15種方法所以．平均分成m組要除以第27頁例1．6本不一樣書，按以下要求各有多少種不一樣選法：（3）分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；解：（3）這是“不均勻分組”問題，一共有種方法．（4）在（3）基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有種方法．例題解讀：第28頁例1．6本不一樣書，按以下要求各有多少種不一樣選法：（5）分給甲、乙、丙三人，每人最少1本解：（5）能夠分為三類情況：①“2、2、2型”分配情況，有種方法；②“1、2、3型”分配情況，有種方法；③“1、1、4型”，有種方法，所以，一共有90+360+90＝540種方法．例題解讀：多個分給少個時，采取先分組再分配策略第29頁1將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊,有多少分法？2.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級兩個班級且每班安排2名，則不一樣安排方案種數(shù)為______

第30頁環(huán)排問題線排策略例6.5人圍桌而坐,共有多少種坐法?

解：圍桌而坐與坐成一排不一樣點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A并從此位置把圓形展成直線其余4人共有____

種排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！普通地,n個不一樣元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.假如從n個不一樣元素中取出m個元素作圓形排列共有第31頁練習(xí)題6顆顏色不一樣鉆石，可穿成幾個鉆石圈60設(shè)六顆顏色不一樣鉆石為a,b,cd,e,f.與圍桌而坐情形不一樣點是a,b,c,d,e,f與f,e,d,c,b,a在圍桌而坐中是兩種排法，即在鉆石圈中只是一個排法,即把鉆石圈翻到一邊,所求數(shù)為：[(6－1)!]/2＝60要考慮“鉆石圈”能夠翻轉(zhuǎn)特點第32頁混合問題，先“組”后“排”例對某種產(chǎn)品6件不一樣正品和4件不一樣次品,一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出全部次品為止，若全部次品恰好在第5次測試時全部發(fā)覺,則這么測試方法有種可能？解：由題意知前5次測試恰有4次測到次品，且第5次測試是次品。故有：種可能。第33頁練習(xí)：1、某學(xué)習(xí)小組有5個男生3個女生，從中選3名男生和1名女生參加三項競賽活動，每項活動最少有1人參加，則有不一樣參賽方法______種.解：采取先組后排方法:2、3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士,不一樣分配方法共有多少種?解法一：先組隊后分校（先分堆后分配）解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去醫(yī)生和護(hù)士.第34頁小集團(tuán)問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５這兩個奇數(shù)之間,這么五位數(shù)有多少個？解：把１,５,２,４看成一個小集團(tuán)與３排隊共有____種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有_______種排法，由分步計數(shù)原理共有_______種排法.31524小集團(tuán)小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。第35頁１.計劃展出10幅不一樣畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種必須連在一起，而且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式種數(shù)為_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰排法有_______種第36頁正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為大于10偶數(shù),不一樣取法有多少種？解：這問題中假如直接求大于10偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),所取三個數(shù)含有3個偶數(shù)取法有____,只含有1個偶數(shù)取法有_____,和為偶數(shù)取法共有_________再淘汰和小于10偶數(shù)共___________符合條件取法共有___________9013015017123125127024143026+-9+有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它反面往往比較簡捷,能夠先求出它反面,再從整體中淘汰.第37頁我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團(tuán)支部書記最少有一人在內(nèi)抽法有多少種?練習(xí)題第38頁實際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5五個球和編號1,23,4,5五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，而且恰好有兩個球編號與盒子編號相同,.有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法，假如剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法3號盒4號盒5號盒345第39頁十五.實際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5五個球和編號1,23,4,5五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi),要求每個盒子放一個球，而且恰好有兩個球編號與盒子編號相同,.有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有_____種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法，假如剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法,同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法,由分步計數(shù)原理有2種第40頁對于條件比較復(fù)雜排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到結(jié)果練習(xí)題同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張他人賀年卡，則四張賀年卡不一樣分配方式有多少種？(9)第41頁

例：如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不一樣顏色中某一個,允許同一個顏色使用屢次,但相鄰區(qū)域必須涂不一樣顏色,不一樣涂色方案有多少種？涂色問題第42頁解法一:

按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次分四步完成,第一步,m1=3種,第二步,m2=2種,第三步,m3=1種,第四步,m4=1種,所以依據(jù)乘法原理,得到不一樣涂色方案種數(shù)共有N=3×2×1×1=6種。解法二:

3種顏色4塊區(qū)域，則必定有兩塊同色，只能A、D同色，把它們看成一個整體元素，所以涂色方法有：第43頁

例3：如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不一樣顏色中某一個,允許同一個顏色使用屢次,但相鄰區(qū)域必須涂不一樣顏色,不一樣涂色方案有多少種？

若用2色、4色、5色等,結(jié)果又怎樣呢？涂色問題第44頁4、某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如右圖）現(xiàn)要栽種4種不一樣顏色花，每部分栽種一個且相鄰部分不能栽種一樣顏色花，不一樣栽種方法有______種.（以數(shù)字作答）

所以，共有48+48+24=120種.解法：從題意來看6部分種4種顏色花，又從圖形看知必有2組同顏色花，從同顏色花入手分類求（2）③與⑤同色，則②④或⑥④同色，所以共有

=48種；（3）②與④且③與⑥同色，則共

=24種

（1）②與⑤同色，則③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有=48種；第45頁六、分清排列、組合、等分算法區(qū)分例1:(1)今有10件不一樣獎品,從中選6件分給甲一件,乙二件和丙三件,有多