專題14 期末培優(yōu)檢測（一）（考試范圍：九上+九下第5-7章）（解析版）

專題14期末培優(yōu)檢測一學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）下列解方程的結(jié)果正確的是（）A．x2＝﹣11，解得x=±B．（x﹣1）2＝4，解得x﹣1＝2，所以x＝3 C．x2＝7，解得x=±D．25x2＝1，解得25x＝±1，所以x=試題分析：根據(jù)一元二次方程的解法即可求出答案．答案詳解：解：A．x2＝﹣11，原方程無實數(shù)根，故不符合題意，B．（x﹣1）2＝4，解得x﹣1＝±2，得出x＝3或x＝﹣1，故不符合題意；C．x2＝7，解得x=±D.25x2＝1，解得5x＝±1，所以x=±所以選：C．2．（3分）AB是⊙O的弦，∠AOB＝160°，則AB所對的圓周角是（）A．40° B．40°或140° C．20° D．80°或100°試題分析：此題要分兩種情況：當圓周角的頂點在優(yōu)弧上時；當圓周角的頂點在劣弧上時；通過分析，從而得到答案．答案詳解：解：如圖：當圓周角的頂點在優(yōu)弧上時，根據(jù)圓周角定理，得圓周角：∠ACB=12∠AOB=12當圓周角的頂點在劣弧上時，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得此圓周角：∠ADB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°；所以弦AB所對的圓周角是80°或100°．所以選：D．3．（3分）從甲、乙、丙、丁四人中選一人參加射擊比賽，經(jīng)過三輪初賽，他們的平均成績都是9環(huán)，方差分別是s甲2＝0.25，s乙2＝0.3，s丙2＝0.4，s丁2＝0.35，你認為派誰去參賽更合適（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁試題分析：根據(jù)方差越小，成績越穩(wěn)定即可判斷．答案詳解：解：因為方差越小成績越穩(wěn)定，所以選甲．所以選：A．4．（3分）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2021次，正面朝上最有可能接近的次數(shù)為（）A．800 B．1000 C．1200 D．1400試題分析：先求出拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率即可解答．答案詳解：解：∵拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的概率是12∴2021×12∴拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2021次，正面朝上最有可能接近的次數(shù)為1000次，所以選：B．5．（3分）一個圓的半徑為4，則該圓的內(nèi)接正方形的邊長為（）A．22 B．32 C．42 D．52試題分析：根據(jù)正方形與圓的性質(zhì)得出AB＝BC，以及AB2+BC2＝AC2，進而得出正方形的邊長即可．答案詳解：解：如圖所示：⊙O的半徑為4，∵四邊形ABCD是正方形，∠B＝90°，∴AC是⊙O的直徑，∴AC＝2×4＝8，∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴AB2+BC2＝64，解得：AB＝42，即⊙O的內(nèi)接正方形的邊長等于42．所以選：C．6．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，下列式子一定能成立的是（）A．a(chǎn)＝csinB B．a(chǎn)＝bcosB C．c＝atanB D．a(chǎn)＝btanA試題分析：根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以解決．答案詳解：解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念可得：a＝c?sinA；a＝b?tanA；b＝atanB．故A，B，C均錯誤，D正確．所以選：D．7．（3分）如圖，點D，E分別在△ABC的邊AB，AC上，且滿足△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，則CE的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5試題分析：根據(jù)相似及角相等，推對應(yīng)線段成比例，再把已知線段的長代入求出AE，進而求出CE．答案詳解：解：∵△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，∴ADAC∴48∴AE＝5，∴CE＝AC﹣AE＝3，所以選：B．8．（3分）下列圖形中陰影部分的面積相等的是（）A．甲乙 B．乙丙 C．丙丁 D．甲丁試題分析：首先根據(jù)各圖形的函數(shù)解析式求出函數(shù)與坐標軸交點的坐標，進而可求得各個陰影部分的面積，進而可比較出個陰影部分面積的大小關(guān)系．答案詳解：解：甲：直線y＝﹣x+2與坐標軸的交點坐標為：（2，0），（0，2），故S陰影=12×2×2乙：圖中的函數(shù)為正比例函數(shù)，與坐標軸只有一個交點（0，0），由于缺少條件，無法求出陰影部分的面積；丙：該拋物線與坐標軸交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故陰影部分的三角形是等腰直角三角形，其面積S=12×2×1?。捍撕瘮?shù)是反比例函數(shù)，那么陰影部分的面積為：S=12xy=12因此丙、丁的面積相等，所以選：C．二．填空題（共8小題，滿分32分，每小題4分）9．（4分）拋物線y＝4﹣x2的頂點坐標（0，4）．試題分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．答案詳解：解：拋物線y＝4﹣x2＝﹣x2+4的頂點坐標（0，4），所以答案是：（0，4）．10．（4分）方程（x﹣3）2＝x﹣3的根是x1＝3，x2＝4．試題分析：把（x﹣3）看作整體，移項，分解因式求解．答案詳解：解：（x﹣3）2＝x﹣3，（x﹣3）2﹣（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3﹣1）＝0，∴x1＝3，x2＝4．11．（4分）一只小狗在如圖所示的方磚上走來走去，最終停在字母C的方磚上的概率是13試題分析：因為方磚共有3×5＝15塊，其中字母C的方磚有5塊，而停在任何一塊磚的機會相同，根據(jù)概率的含義即可求得停在字母C的方磚上的概率．答案詳解：解：∵方磚共有3×5＝15塊，其中字母C的方磚有5塊，而停在任何一塊磚的機會相同，∴停在字母C的方磚上的概率是515所以答案是1312．（4分）某校九（1）班10名同學進行“引體向上”訓練，將他們做的次數(shù)進行統(tǒng)計，制成下表，則這10名同學做的次數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為5.5．次數(shù)45678人數(shù)23221試題分析：根據(jù)將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可得出答案．答案詳解：解：10名同學做的次數(shù)的中位數(shù)是5+62=所以答案是：5.5．13．（4分）把一個半徑為12，圓心角為150°的扇形圍成一個圓錐（按縫處不重疊），那么這個圓錐的高是119．試題分析：設(shè)這個圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長和弧長公式得到2πr=150?π?12180，然后求出答案詳解：解：設(shè)這個圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2πr=150?π?12180，解得r＝所以圓錐的高=1所以答案是119．14．（4分）如圖，⊙O與等邊三角形ABC的兩邊AB，BC都相切，連結(jié)OC．已知⊙O的半徑為3，△ABC的邊長為8，則tan∠OCB＝35試題分析：過點O作OP⊥BC于點P，OQ⊥AB與點Q，連接BO，可知△OBP為含30°角的直角三角形，進而可求出BP，得出結(jié)果．答案詳解：解：如圖，過點O作OP⊥BC于點P，OQ⊥AB與點Q，連接BO，∵OP＝OQ，BO＝BO，∴Rt△BOP≌Rt△BOQ（HL），∴∠OBP＝∠OBQ＝30°，∵OP=3∴BP=3OP=∴CP＝BC﹣BP＝5，∴tan∠OCB=OP所以答案是：3515．（4分）如圖，在平面直角坐標系中直線y=-34x+6與x軸、y軸分別交于點B、A，C為OA上一點，且OC＝2，點E是線段BC上一點，連接AE并延長交OB于點D，若∠AEC＝45°時，則OD的長是試題分析：過點A作AF⊥AD，交BC的延長線于點F，過點A作x軸的平行線MN，交過點E與y軸的平行線于點M，交過點F與y軸的平行線于點N，得到△AEF為等腰直角三角形，再證明△EMA≌△ANF（AAS），求出點E的坐標，進而求出直線AE的表達式，進一步即可求解OD的長．答案詳解：解：過點A作AF⊥AD，交BC的延長線于點F，過點A作x軸的平行線MN，交過點E與y軸的平行線于點M，交過點F與y軸的平行線于點N，∵直線y＝﹣34x+6與x軸、y軸分別交于點B、A，∴B（8，0），A（0，6），∴OA＝6，OB＝8，∵C為OA上一點，且OC＝2，∴C（0，2），∴直線BC的表達式為y=-14設(shè)E（m，-14m∵∠EAF＝90°，∠AEC＝45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝AE，∵∠FAN+∠AFN＝90°＝∠FAN+∠EAM，∴∠AFN＝∠EAM，在△EMA和△ANF中，∠AFN∴△EMA≌△ANF（AAS），則AN＝ME＝6+14m﹣2=14m+4，NF＝則點F的坐標為（-14m﹣4，6﹣將點F的坐標代入y=-14x+2得6﹣m=-14（-解得m=48故點E的坐標為（-8017，由點A、E的坐標得，直線AE的表達式為y=-35令y=-35x+6＝0，解得x故OD＝10，所以答案是：10．16．（4分）如圖，一組等距的平行線，點A、B、C分別在直線l1、l6、l4上，AB交l3于點D，AC交l3于點E，BC交于l5點F，若△DEF的面積為1，則△ABC的面積為154試題分析：在三角形中由同底等高，同底倍高求出S△ADC=32，根據(jù)三角形相似的判定與性質(zhì)的運用，等距平行線間的對應(yīng)線段相等求出答案詳解：解：連接DC，設(shè)平行線間的距離為h，AD＝2a，如圖所示：∵S△DEFS△∴S△DEF＝S△DEA，又∵S△DEF＝1，∴S△DEA＝1，同理可得：S△DEC又∵S△ADC＝S△ADE+S△DEC，∴S△ADC又∵平行線是一組等距的，AD＝2a，∴BD＝3a，又∵S△ADC=S△∴S△BDC又∵S△ABC＝S△ADC+S△BDC，∴S△ABC所以答案是154三．解答題（共10小題，滿分84分）17．（8分）（1）計算：（3﹣π）0+4sin45°-8+|1-（2）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．試題分析：（1）原式利用算術(shù)平方根定義，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值以及零指數(shù)冪法則計算即可求出值；（2）方程利用因式分解法求出解即可．答案詳解：解：（1）原式＝1+4×22-＝1+22-22=3（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，則x﹣3＝0或x+1＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1．18．（8分）某商場招聘員工一名，現(xiàn)有甲、乙、丙三人競騁．通過計算機、語言和商品知識三項測試，他們各自成繢（百分制）如下表所示．若商場需要招聘電腦收銀員，計算機、語言、商品知識成績分別占50%，30%，20%，計算三名應(yīng)試者的平均成績，從成績看，應(yīng)該錄取誰？應(yīng)試者計算機語言商品知識甲705080乙907545丙506085試題分析：根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式分別列出算式，再進行計算即可．答案詳解：解：甲成績：70×50%+50×30%+80×20%＝66（分），乙成績：90×50%+75×30%+45×20%＝76.5（分），丙成績：50×50%+60×30%+85×20%＝60（分），因此乙成績最高，應(yīng)被錄?。?9．（6分）四邊形ABCD各頂點的坐標分別為A（1，3）、B（5，2）、C（8，4）、D（6，9），以原點為位似中心，相似比為12的位似圖形A1B1C1D1，且四邊形A1B1C1D1試題分析：根據(jù)位似變換后的圖形的對應(yīng)點的坐標等于原圖形對應(yīng)的坐標常用位似比，將A、B、C、D的橫縱坐標乘以12答案詳解：解：∵以圓點為位似中心，位似比為12∴對應(yīng)的點的比為12∵A（1，3）、B（5，2）、C（8，4）、D（6，9），∴A1（0.5，1.5）B1（2.5，1）C1（4，2）D1（3，4.5）．20．（8分）體育課上，小明、小強、小華三人在足球場上練習足球傳球，足球從一個人傳到另個人記為踢一次．如果從小強開始踢，請你用列表法或畫樹狀圖法解決下列問題：（1）經(jīng)過兩次踢球后，足球踢到小華處的概率是多少？（2）經(jīng)過三次踢球后，足球踢回到小強處的概率是多少？試題分析：（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)和足球踢到小華處的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案；（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)和足球踢到小強處的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．答案詳解：解：（1）畫樹狀圖得：∵共有4種等可能的結(jié)果，經(jīng)過兩次踢后，足球踢到了小華處的有1種情況，∴P（經(jīng)過兩次踢球后，足球踢到小華處）=1（2）畫樹狀圖得：由樹狀圖可知，P（經(jīng)過三次踢球后，足球踢回到小強處）=121．（8分）如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝4，點G為邊BC上一點，過點G作GE⊥AG，且GE＝2AG，GE交DC于點F，連接AE．（1）求證：△ABG∽△GCF；（2）連接CE，求證：∠DCE＝∠AEG；（3）當點E正好在BD的延長線上時，求BG的長．試題分析：（1）根據(jù)兩組對應(yīng)角相等的三角形相似進行判定即可；（2）連接AC，交GE于M點，先證明△AGE∽△ABC得∠AEG＝∠ACB，進一步證得△AME∽△GMC和△AMG∽△EMC，得到∠ECM＝90°，最終根據(jù)余角性質(zhì)推出∠ACB＝∠DCE，即可得證；（3）作EH⊥BC的延長線于H點，設(shè)BG＝x，根據(jù)△ABG∽△GHE，分別表示出EH、BH，再通過△DCB∽△EHB建立方程求解并檢驗即可．答案詳解：解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∵GE⊥AG，∴∠AGB+∠CGF＝90°，∴∠BAG+∠AGB＝90°，∴∠BAG＝∠CGF，∴△ABG∽△GCF；（2）如圖所示，連接AC，交GE于M點，∵GE＝2AG，BC＝2AB，∴GEBC又∵∠AGE＝∠B＝90°，∴△AGE∽△ABC，∴∠AEG＝∠ACB，∵∠AME＝∠GMC，∴△AME∽△GMC，∴AMGM又∵∠AMG＝∠EMC，∴△AMG∽△EMC，∴∠AGM＝∠ECM＝90°，即：∠BCD＝∠ECM＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠AEG＝∠DCE；（3）如圖，作EH⊥BC的延長線于H點，設(shè)BG＝x，∵△ABG∽△GHE，GE＝2AG，∴EH＝2BG＝2x，GH＝2AB＝4，則BH＝BG+GH＝4+x，∵△DCB∽△EHB，∴DCBC∴2x4+x解得：x=4經(jīng)檢驗，x=4∴BG的長為4322．（8分）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點C，∠BAD＝∠B＝30°．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．試題分析：（1）連接OD，求出∠ODB＝90°，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）求出BD，分別求出三角形ODB和扇形ODC的面積，即可求出答案．答案詳解：（1）證明：連接OD，∵OA＝OD，∠BAD＝30°，∴∠ADO＝∠BAD＝30°，∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝30°+30°＝60°，∵∠B＝30°，∴∠ODB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴BD是⊙O的切線；（2）解：∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，OD＝6，∴OB＝2OD＝12，由勾股定理得：BD=OB2∴陰影部分的面積S＝S△OBD﹣S扇形ODC=12×6×63-60π?23．（8分）圖1是小輝家一款家用落地式取暖器，如圖2是其豎直放置在水平地面上時的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD是取暖器的主體，四邊形BEFC是底座．已知BC∥EF，∠BEF＝∠CFE＝30°，且BE＝CF，烘干架連桿GH可繞邊CD上一點H旋轉(zhuǎn)，以調(diào)節(jié)角度．已知CD＝52cm，BC＝8cm，EF＝20cm，DH＝12cm，GH＝16cm．（1）求BE的長．（精確到0.1cm，3≈1.73（2）當∠GHD＝53°時，求點G到地面EF的距離．（精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）試題分析：（1）根據(jù)BC∥EF，∠BEF＝∠CFE＝30°，且BE＝CF，BC＝8cm，EF＝20cm，可以求得EN的長，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可得到BE的長；（2）先作GM⊥DC于點M，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)可以求得MH的長，從而可以得到點M到地面的距離，即點G到EF的距離．答案詳解：解：（1）作BN⊥EF于點N，∵BC∥EF，∠BEF＝∠CFE＝30°，且BE＝CF，BC＝8cm，EF＝20cm，∴EN=EF-BC2=20-8∵cos∠BEN=EN∴cos30°=6解得BE≈6.9cm；（2）作GM⊥DC于點M，∵GH＝16cm，∠GHD＝53°，cos∠GHM=MH∴cos53°=MH解得MH≈9.6cm，∵BN＝EN?tan30°＝6×33≈3.5（cm），CD＝52cm，DH＝∴MC＝CD﹣DM＝CD﹣（DH﹣MH）＝52﹣（12﹣9.6）＝49.6（cm），∴點M到地面EF的距離是49.6+3.5＝53.1（cm），即點G到地面EF的距離約為53.1cm．24．（8分）如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長度不限）的矩形空地AEGH，為美化環(huán)境，用總長為121米的籬笆圍成5塊矩形花圃，其中除矩形ABCD外，其它4個矩形的周長都相等，若AD：AB＝2：3，設(shè)AD＝x米，DP＝y(tǒng)米．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式，并注明自變量x的取值范圍；（2）x為何值時，矩形DPNC的面積有最大值？最大值是多少？試題分析：（1）根據(jù)4個矩形的周長都相等，得出PD+CD＝BM+BE，AD＝x，求出BE＝x，再根據(jù)籬笆總長為121米，即4AB+3BE+4BM＝121，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式以及自變量的取值范圍；（2）由（1）中解析式，再根據(jù)矩形DPNC的面積＝DP?CD，列出二次函數(shù)解析式，化成頂點式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．答案詳解：解：（1）∵AD：AB＝2：3，AD＝x，∴AB＝CD=32由題意得：HP＝DP＝y(tǒng)，∴BM=HD+AD∵4個矩形的周長都相等，∴PD+CD＝BM+BE，∴y+32x=∴BE＝x，∵籬笆總長為121米，∴4AB+3BE+4BM＝121，∴4×32x+3x+4×∴y=121-11x4（0＜x＜（2）設(shè)矩形DPNC的面積為S平方米，S＝DP?CD=121-11x4?3x2=-338（x-112）2+399332∴當x=112時，矩形DPNC的面積有最大值，最大值為25．（10分）問題提出：若任意兩個正數(shù)的積是一個固定的數(shù)值，則它們的和會存在怎樣的規(guī)律呢？特例研究：（1）若兩個正數(shù)的積是4，則這兩個正數(shù)是：1和4，2和2，12和8，35和203，…，它們的和分別是5，4，812，7415，…，初步判斷：當這兩個正數(shù)是2（2）若兩個正數(shù)的積是8，則這兩個正數(shù)是：1和8，2和4，12和16，22和22，2和42?，它們的和分別是9，6，1612，42，52，…，初步判斷：當這兩個正數(shù)是22和2方法遷移：若a，b為正數(shù)，∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，a2+b2≥2ab．∴對于任意正數(shù)a，b，總有a2+b2≥2ab，且當a＝b時，代數(shù)式a2+b2取得最小值為2ab．問題解決：仿照上面的方法說明：對于正數(shù)a，b，若ab是一個固定的數(shù)值，當a，b滿足什么數(shù)量關(guān)系時，a+b存在一個最小值，最小值是多少？類比應(yīng)用：利用上面所得到的結(jié)論，完成填空：（1）已知函數(shù)y1＝x（x＞0）與函數(shù)y2=1x（x＞0），則當x＝1時，y1+y2取得最小值為2（2）已知函數(shù)y1＝x+2（x＞﹣2）與函數(shù)y2＝（x+2）2+9（x＞﹣2），則當x＝1時，y2y1的最小值為（3）當x＞1時，代數(shù)式x+6x-1有最小值為26（4）如圖，已知P是反比例函數(shù)y=1x（x＞0）圖象上任意一動點，O（0，0），A（﹣1，1），試求△試題分析：問題解決：仿照方法遷移中的方法，運用完全平方公式進行變形即可；類比應(yīng)用：（1）將函數(shù)y1＝x（x＞0）與函數(shù)y2=1x（x＞0）代入y1+y2，根據(jù)a+b≥2（2）將函數(shù)y1＝x+2（x＞﹣2）與函數(shù)y2＝（x+2）2+9（x＞﹣2）代入y2y1，變形后可以根據(jù)a+b≥（3）當x＞1時，代數(shù)式x+6x-1=x﹣1+6x-1+1，從而x﹣1與6x-1可以按照a+（4）過點A作AB⊥x軸，交x軸于點B，過點P作PC⊥x軸，交x軸于點C，如圖，設(shè)點P的坐標為（m，n），則由點P是反比例函數(shù)y=1x（x＞0）圖象上任意一動點，得出mn＝1，再根據(jù)S△POA＝S梯形ABCP﹣S△AOB﹣S△POC得出關(guān)于m和n的代數(shù)式，然后根據(jù)a+b≥2答案詳解：解：問題解決：∵a，b都是正數(shù)，∴(a-∴a﹣2ab+b≥0∴a+b≥2ab，∵ab是一個固定的數(shù)值，∴a+b存在一個最小值，最小值是2ab．類比應(yīng)用：（1）∵y1＝x（x＞0），y2=1x（x＞∴y1+y2＝x+1x≥2當且僅當x=1x，即當x＝1時，y1+y2取得最小值為所以答案是：1，2；（2）∵y1＝x+2（x＞﹣2），y2＝（x+2）2+9（x＞﹣2），∴y2y1=(x+2)2∴當且僅當x+2=9x+2，即當x＝1時，y2所以答案是：1，6；（3）∵x+6x-1=x﹣1+6x-1+1≥2(x∴代數(shù)式x+6x-1有最小值為26所以答案是：小，26+1（4）過點A作AB⊥x軸，交x軸于點B，過點P作PC⊥x軸，交x軸于點C，如圖，設(shè)點P的坐標為（m，n），∵點P是反比例函數(shù)y=1x（x＞0）∴mn＝1，∴S△POA＝S梯形ABCP﹣S△AOB﹣S△POC=12（AB+PC）×BC-12AB×OB=12（1+n（1+m）=12（m+≥12×＝1，∴△POA的最小面積為1．26．（12分）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，半圓O的直徑AB＝10，點P是半圓O上的一個動點，則△PAB的面積最大值是25；【問題探究】如圖2所示，AB、AC、BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所對的圓心角為60°．新區(qū)管委會想在BC路邊建物資總站點P，在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F，即分別在BC、線段AB和AC上選取點P、E、F．由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE、EF和FP．顯然，為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本，就要使線段PE、EF、FP之和最短（各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計）．可求得△PEF周長的最小值為321-9km【拓展應(yīng)用】如圖3是某街心花園的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在圍墻OA和OB上分別有兩個入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中點，出口E在AB上．現(xiàn)準備沿CE、DE從入口到出口鋪設(shè)兩條景觀小路，在四邊形CODE內(nèi)種花，在剩余區(qū)域種草．①出口E設(shè)在距直線OB多遠處可以使四邊形CODE的面積最大？最大面積是多少？（小路寬度不計）②已知鋪設(shè)小路CE所用的普通石材每米的造價是200元，鋪設(shè)小路DE所用的景觀石材每米的造價是400元．請問：在AB上是否存在點E，使鋪設(shè)小路CE和DE的總造價最低？若存在，求出最低總造價和出口E距直線OB的距離；若不存在，請說明理由．試題分析：【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，點P運動至半圓O的中點時，底邊AB上的高最大，即P'O＝r＝5，求出此時△P'AB的面積即可；【問題探究】如圖2，假設(shè)P點即為所求，分別作點P關(guān)于AB、AC的對稱點P'、P''，連接PP'，分別交AB、AC于點E、F，連接PE，PF，由對稱性可知，PE+EF+PF＝P'E+EF+FP''＝P'P''，且P'、E、F、P''在一條直線上，P'P''即為最短距離，其長度取決于PA的長度，作出BC的圓心O，連接AO，與BC交于P，P點即為使PA最短的點，求出此時線段P'P''的長度即可；【拓展應(yīng)用】①如圖3﹣1，作OG⊥CD，垂足為G，延長OG交AB于點E′，則此時△CDE的面積最大，可求出其值；作E′H⊥OB，垂足為H，證△COD∽△OHE'，即可求出E′H的長，即可寫出結(jié)論；②鋪設(shè)小路CE和DE的總造價為200CE+400DE＝200（CE+2DE），如圖3﹣2，連接OE，延長OB到點Q，使BQ＝OB＝12，連接EQ，推出QE＝2DE，所以CE+2DE＝CE+QE，問題轉(zhuǎn)化為求CE+QE的最小值，連接CQ，交AB于點E′，此時CE+QE取得最小值為CQ，可求出CQ的長度及總造價最小值；作E′H⊥OB，垂足為H，連接OE′，設(shè)E′H＝x，則QH＝3x，由勾股定理可求出x的值，即出口E距直線OB的距離．答案詳解：解：【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，點P運動至半圓O的中點時，底邊AB上的高最大，即P'O＝r