大學物理第五冊清華大學dxwl602

薛定諤方程（Schrodingerequation）第二章1本章目錄§2.1薛定諤方程的建立§2.2無限深方勢阱中的粒子§2.3勢壘穿透§2.4一維諧振子*§2.5力學量算符的本征值問題2德拜指出：幾周后薛定諤找到（提出）了波函數(shù)滿足的微薛定諤方程是描述微觀粒子的基本方程，它最初只是一個假定，§2.1薜定諤方程的建立“對于波，應該有一個波動方程?！睆亩⒘嗣枋鑫⒂^粒子運動規(guī)律的學科—量子力學。它是不能夠由其它基本原理推導出來的，后來通過實驗檢驗了它的正確性。1925年薛定諤在介紹德布羅意波的報告后，分方程—薛定諤方程，同牛頓定律一樣，3ErwinSchrodinger奧地利人1887-1961創(chuàng)立量子力學1933年諾貝爾物理學獎獲得者——薛定諤4一.薛定諤方程（1926）尋找粒子滿足的微分方程的思路：在非相對論情況下，有：由一維自由粒子的波函數(shù)又比較上兩式得：這就是一維自由粒子波函數(shù)

滿足的微分方程。5若粒子在勢場中，勢能函數(shù)為U(x,t)，則粒子總能量于是有：又比較上兩式得：這就是一維勢場中粒子

滿足的微分方程。6三維情形：令引入算符—非定態(tài)薛定諤方程以上是非相對論、不發(fā)生實物粒子產生和淹滅（可發(fā)射、吸收）時粒子波函數(shù)滿足的方程，它是非相對論量子力學的基本方程。(Hamiltonianoperator)—哈密頓算符若則稱為能量算符（反映粒子總能量）引入后，有7的一個“基本假定”。二.關于薛定諤方程的討論1.薛定諤方程是線性偏微分方程，若和是薛定諤方程的解，則也是薛定諤方程的解。2.薛定諤方程關于時間是一階的，經(jīng)典波動方程：（時間二階）薛定諤方程是量子力學解滿足態(tài)疊加原理。所以它的這不同于8則薛定諤方程可分離變量。三.定態(tài)薛定諤方程則有：若與t無關，設雙方同除—必須為常量則分別有：和9——振動因子稱為定態(tài)薛定諤方程，方程解為式中E具有能量量綱，A0

可以是復數(shù)。方程其解依賴于的形式。對自由粒子，

U=0，其一維定態(tài)薛定諤方程：10該方程的解為若令則E正是粒子的能量，p正是粒子的動量?！杂闪Ｗ拥牟ê瘮?shù)令一般情況下：這種E取定值的狀態(tài)稱定態(tài)（stationarystate），以后我們將只研究定態(tài)。11海森伯（Heisenberg，德，1932Nob)，海森伯狄拉克泡利（19011976）（19021984）（19001958）狄拉克（Dirac，英，1933Nob），泡利（Pauli，美，1945Nob），都對量子力學做出了重要的貢獻。12§2.2無限深方勢阱中的粒子從數(shù)學上來講：E不論為何值該方程都有解。連續(xù)和歸一，從物理上來講：特定的E值稱為能量本征值。本節(jié)我們將在一種具體情況下，求解定態(tài)薛定諤方程

E只有取某些特定值，該方程的解才能滿足波函數(shù)的條件單值、有限、特定的E值所對應的方程稱為能量本征方程，相應波函數(shù)稱為能量本征函數(shù)。13一.一維無限深方形勢阱中的波函數(shù)與能量極限a金屬U(x)U=U0U=U0EU=0x0U=0EU→∞U→∞U(x)x0

無限深方勢阱（potentialwell）14∵E>0，∴可令通解：待定常數(shù)A、

由

應滿足的物理條件決定。以上的解已自然滿足單值，有限的條件。15連續(xù)條件：由于邊界外

=0，所以有：由此得：其中l(wèi)1和

l2是整數(shù)。將上兩式相加得：令即l也是整數(shù)

l取0或1時

(x)有以下兩種表示：16

是奇函數(shù)(oddfunction)

是偶函數(shù)(evenfunction)1.能量E▲

l=0時，

=0，▲

l=1時，

=

/2，

l為其他整數(shù)值時，所得解與

o(x)、

e(x)形式相同（可能差正、負號，但不影響|

|2）。

從能量的意義看，應有E

0，但能否E=0呢？在限定粒子的位置范圍的情況下（在勢阱中），由不確定關系知，動量的不確定量應不為零，所以動量P>0，

E>017由由能量E能連續(xù)嗎？兩者合并在一起，可得得由18這表明，束縛在勢阱內的粒子的能量只能取離散值En

——能量量子化，每一能量值對應一個能級，En稱為能量本征值，n稱為量子數(shù)。最低能量——零點能能級間隔宏觀情況或量子數(shù)很大時，可認為能量連續(xù)。192.波長

由能量、動量關系和德布羅意關系，有德布羅意波長上式表明，德布羅意波具有駐波的形式每一個能量的本征態(tài)，由于勢阱中德布羅意波只有形成駐波才能穩(wěn)定，所以也可以反過來說，勢阱中的能量量子化是德布羅意波形成駐波的必然結果。（勢阱邊界為波節(jié)）。對應于德布羅意波的一個特定波長的駐波。203.波函數(shù)

（1）波函數(shù)的空間部分歸一化條件：由此得21所以有能量本征函數(shù)：（2）全部波函數(shù)考慮振動因子有函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱粒子的“能量本征態(tài)”。該函數(shù)稱“能量本征波函數(shù)”，每個本征波（3）概率密度：（駐波解）22

n很大時，勢阱內粒子概率分布趨于均勻。量子經(jīng)典|2

n|En|2

n|束縛態(tài)(boundstate)E1E2E3E4En

n0x勢阱內粒子概率分布與經(jīng)典情況不同玻爾對應原理23§2.3勢壘穿透（barrierpenetration）一.粒子進入勢壘粒子從x=-

處以能量E入射，金屬或半導體接觸處勢能隆起，形成勢壘。勢壘的物理模型：入射能量E<U0xⅡ區(qū)0Ⅰ區(qū)EU0U(x)給定勢函數(shù)（一維勢壘）：1.勢函數(shù)反射入射透射？242.定態(tài)薛定諤方程I區(qū)（x

0）：有令II區(qū)（x>0）：xⅡ區(qū)0Ⅰ區(qū)EU0U(x)

1

2令有25入射波反射波透射3.通解當x

時，

2(x)應有限，得D=0，EU0

2透射

1入射+反射xⅡ區(qū)Ⅰ區(qū)0于是有（波動型解）（指數(shù)型解）26可見在（E<U0）的區(qū)域粒子出現(xiàn)的概率

04.概率密度（II區(qū)）

U0

、x

透入的概率

經(jīng)典：粒子不能進入E<U的區(qū)域（動能

0）。量子：粒子可透入勢壘。例如，電子可逸出金屬表面，在金屬表面形成一層電子氣。27二.有限寬勢壘和隧道效應x=a隧道效應E

1

2

0aU0xⅠ區(qū)Ⅱ區(qū)Ⅲ區(qū)

3振幅為

2(a)。波穿過后，將以平面波的形式繼續(xù)前進(

3)，這稱為勢壘穿透或隧道效應。281.穿透系數(shù)穿透系數(shù)會小6個數(shù)量級以上。當勢壘寬度a約50nm以上時，穿透系數(shù)此時隧道效應在實際上已沒有意義了，量子概念過渡到了經(jīng)典。29經(jīng)典物理：量子物理：

x=a很小時，

P很大，使E也很大，2.怎樣理解粒子通過勢壘區(qū)?粒子能量就有不確定量

E。

E+

E>U0可以有：粒子穿過勢壘區(qū)和能量守恒并不矛盾。只要勢壘區(qū)寬度

x=a不是無限大，粒子有波動性，遵從不確定關系，從能量守恒的角度看是不可能的。以至30經(jīng)典量子隧道效應31三.隧道效應的應用隧道二極管，金屬場致發(fā)射，核的

衰變，…1.核的

衰變U

Th+He2382344

是通過隧道效應出來的。對不同的核，算出的衰變概率和實驗一致。rRU35MeV4.25MeV

0核力勢能庫侖勢能322.掃描隧道顯微鏡（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）

STM是一項技術上的重大發(fā)明，原理：利用量子力學的隧道效應1986.Nob：魯斯卡（E.Ruska）1932發(fā)明電子顯微鏡畢寧（G.Binning）羅爾（Rohrer）發(fā)明STM表面的微觀結構（不接觸、不破壞樣品）。用于觀察33U0U0U0A—常量

—樣品表面平均勢壘高度（~eV）d~1nm（10A）。d變

i變，反映表面情況。ABdE隧道電流iABUd探針樣品電子云重疊34豎直分辨本領可達約102

nm；橫向分辨本領與探針、樣品材料及絕緣物有關，技術關鍵：1.消震：多級彈簧，底部銅盤渦流阻尼。2.探針尖加工：電化學腐蝕，強電場去污，

針尖只有1~2個原子！3.驅動和到位：利用壓電效應的逆效應—電致伸縮，一步步掃描，掃描一步0.04nm，掃描1(

m)2約0.7s。4.反饋：保持i不變

d不變（不撞壞針尖）。d變~0.1nm

i變幾十倍，非常靈敏。在真空中可達0.2nm。35隧道電流反饋傳感器參考信號顯示器壓電控制加電壓掃描隧道顯微鏡示意圖36中國科學院化學研究所研制的CSTM-9000型STM37用STM得到的神經(jīng)細胞象硅表面STM掃描圖象38用原子操縱寫出的“100”和“中國”391991年恩格勒等用STM在鎳單晶表面逐個移動氙原子，拼成了字母IBM，每個字母長5納米401991年2月IBM的“原子書法”小組又創(chuàng)造出“分子繪畫”藝術

—

“CO

小人”圖中每個白團是單個CO分子豎在鉑片表面上的圖象，上端為氧原子

CO分子的間距：0.5nm“分子人”身高：5nm堪稱世界上最小的“小人圖”移動分子實驗的成功，表明人們朝著用單一原子和小分子構成新分子的目標又前進了一步，其內在意義目前尚無法估量。41鑲嵌了48個Fe原子的Cu表面的STM照片F(xiàn)e原子間距：0.95nm，圓圈平均半徑：7.13

nm48個Fe原子形成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波。42諧振子不僅是經(jīng)典物理的重要模型，而且也是量子物理的重要模型。如：黑體輻射、分子振動，若選線性諧振子平衡位置為坐標原點和勢能m

—

粒子的質量k

—

諧振子勁度系數(shù)諧振子的角頻率§2.4一維諧振子零點，則一維線性諧振子的勢能可以表示為：晶格點陣振動。1.勢能432.諧振子的定態(tài)薛定諤方程3.諧振子的能量n=0,1,2,…解定態(tài)薛定諤方程得由和有44

能量特點：(1)量子化，等間距：

符合不確定關系(3)有選擇定則：

(2)有零點能：所以室溫下分子可視為剛性。能級躍遷要滿足(4)當n

時，符合玻爾對應原理。能量量子化

能量連續(xù)（宏觀振子能量相應n

1025，

E

10-33J

）分子振動

E（102101eV）>kT

(室溫)，454.諧振子的波函數(shù)Hn是厄密（Hermite）多項式，最高階是

465.概率密度波函數(shù)概率密度n=0xn=0xn=1xn=1xn=2xn=2x47線性諧振子n=11時的概率密度分布：經(jīng)典諧振子在原點速度最大，停留時間短，振子在兩端速度為零，粒子出現(xiàn)的概率??；出現(xiàn)的概率最大。虛線是經(jīng)典結果48xn很大EnE1E2E00U(x)概率密度的特點：(1)

概率在E<U區(qū)仍有分布

——隧道效應49例如基態(tài)位置概率分布在x=0處最大，(3)當n

時，經(jīng)典振子在x=0處概率最小。符合玻爾對應原理。量子概率分布xn很大0n=1n=2n=3U(x)(2)n小時，概率分布與經(jīng)典諧振子完全不同

經(jīng)典概率分布，50以位矢為自變量的空間，稱“位置表象”。*§2.5力學量算符及其本征值問題“算符化”。由不確定關系知，在位置表象中動量并不存在，否則“軌道”概念就成立了。在量子力學中，角動量和能量等力學量問題時，處理諸如動量、需要將這些力學量51一維自由粒子波函數(shù)對

求導，得到方程：一.力學量算符的引入52由以上對波函數(shù)的求導操作得到物理啟示：定義能量算符、動量算符和坐標算符分別為將它們作用到一維自由粒子波函數(shù)上，有53

坐標函數(shù)的力學量，其量子力學所對應的如勢能

和作用力。

與動量有關的經(jīng)典力學量，其量子力學所例如，動能算符的表達式：所以在位置表象中，算符化的規(guī)則是：（在直角坐標中）算符形式不變。對應的算符可用動量的對應關系得出。由給出54角動量算符的表達式：在直角坐標中：55在球極坐標中：角動量算符的模方為：（直角坐標）（球極）56任一力學量

（經(jīng)典）

（量子）二.力學量算符的本征值和本征函數(shù)當算符作用在函數(shù)上，若其結果是描述力學量A

取確定值時的本征態(tài)稱上式為算符的本征方程（eigenequation）

稱為力學量