自動控制原理 第2版 課件 第三章(寬屏)2022-3

自動控制理論

第三章(第3次課)

12（2）輸出量的速度反饋控制局部反饋校正四、二階系統(tǒng)的性能改善P933局部反饋校正（2）輸出量的速度反饋控制典型二階系統(tǒng)的標準型四、二階系統(tǒng)的性能改善4第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析例

設三階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為試確定其單位階躍響應通常把三階或三階以上的系統(tǒng)就稱為高階系統(tǒng)。5更為一般地，設高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

假設系統(tǒng)所有零點、極點互不相同，且極點中q個實數(shù)極點和r對復數(shù)極點，零點中只有實數(shù)零點，則系統(tǒng)單位階躍響應的拉氏變換為：式中n=q+2r第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析6由此可見，高階系統(tǒng)的時域響應是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應分量所組成。如果系統(tǒng)所有極點都分布在S平面的左半部分，即所有極點均具有負實部，那么，當t趨于無窮大時，式中的指數(shù)項都趨于零，系統(tǒng)的響應達到穩(wěn)態(tài)值。第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析7閉環(huán)極點負實部的絕對值越大，其對應的響應分量衰減得越迅速，反之衰減得越慢。對系統(tǒng)過渡過程影響最大的，是那些離虛軸最近的極點。響應曲線的類型（振蕩情況）由閉環(huán)極點的性質所決定。動態(tài)響應曲線的形狀由閉環(huán)系統(tǒng)的零、極點共同決定。第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析8

工程上，高階系統(tǒng)是普遍存在的，有些系統(tǒng)很難采用一階、二階系統(tǒng)去近似，可采用閉環(huán)主導極點進行高階近似分析，獲?。ń疲﹦討B(tài)性能指標，也可利用MATLAB軟件去分析和計算性能指標（做實驗）。閉環(huán)主導極點：

離虛軸最近，而且附近無其他零點、極點，對穩(wěn)定系統(tǒng)動態(tài)性能的影響最大，起著主要作用。

其他所有極點與虛軸的距離都在此極點與虛軸的距離的五倍以上第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析9閉環(huán)偶極子：

一對閉環(huán)極、零點靠得很近時稱其為偶極子。所謂很近通常是指該極、零點之間的間距小于他們到虛軸的距離1/10以上時。

距離虛軸較遠的偶極子可以相互抵消，因為此時偶極子中的極點對應的響應分量系數(shù)小而且衰減快，他們對系統(tǒng)動態(tài)特性影響很小。但靠近虛軸的偶極子通常不能抵消第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析10例3.4設某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

試利用MATLAB仿真，分析α不同取值，附加閉環(huán)負實數(shù)極點的變化對系統(tǒng)單位階躍響應的影響。

解：α=0時，系統(tǒng)為欠阻尼二階振蕩系統(tǒng)，其ωn=1,ζ=0.45，可以計算出超調(diào)量為20.5%。α≠0時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點為一對共軛的復數(shù)根s1,2=-0.45±j0.89，和一個實數(shù)根s3=-1/α。第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析11由圖可以看出，引入的負實數(shù)極點越靠近原點，系統(tǒng)的超調(diào)量越小，上升速度越慢，反之亦然。S3靠近虛軸第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析12例1：三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)閉環(huán)極點：p1

、p2的實部和實極點p3

的實部之比：所以p1

、p2為一對主導極點。系統(tǒng)單位階躍響應：高階系統(tǒng)的降階處理第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析13高階系統(tǒng)的降階處理系統(tǒng)閉環(huán)極點：所以p1

、p2為一對主導極點系統(tǒng)單位階躍響應：第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析14高階系統(tǒng)的降階處理問題：如何消去極點p3使系統(tǒng)降階？直接刪掉該慣性環(huán)節(jié)？使系統(tǒng)近似為：第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析15高階系統(tǒng)的降階處理輸入為階躍信號原系統(tǒng)的閉環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù)：R0為階躍信號的幅值Ф(0)為閉環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù)。錯誤降階后的閉環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù)：第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析

16

正確的降價方法：

只需劃掉s項(將s置為0)，保留常數(shù)項。

[總原則：降階前后Ф(0)不變]

高階系統(tǒng)的降階處理第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析17例2

正確與否高階系統(tǒng)的降階處理第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析18藍色表示的階躍響應曲線高階系統(tǒng)的降階處理第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析紅色為原三階系統(tǒng)響應曲線19正確的降價方法：只需劃掉S項，保留常數(shù)項高階系統(tǒng)的降階處理第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析20黑線表示降階后的曲線高階系統(tǒng)的降階處理第四節(jié)高階系統(tǒng)的時域分析紅色為原三階系統(tǒng)響應曲線自動控制原理21課堂后測（慕課堂）根據(jù)閉環(huán)主導極點的概念，三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可以降階為（

）。

22自動控制系統(tǒng)的首要要求：穩(wěn)定性分析系統(tǒng)動態(tài)和穩(wěn)態(tài)指標必須在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進行。研究內(nèi)容：穩(wěn)定性的概念(局限于線性系統(tǒng)）線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)及其應用第五節(jié)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析23

李亞普諾夫穩(wěn)定性理論

如果一個線性控制系統(tǒng)在初始擾動作用下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并恢復到原始的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的，在工程上簡稱穩(wěn)定。

反之，若在初始擾動作用下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散，稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

一、穩(wěn)定性的基本概念24

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征（結構、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號（外部擾動量）和初始值無關。一、穩(wěn)定性的基本概念25

設初始條件為零時，輸入為一個理想的單位脈沖函數(shù)，當作用時間t>0時，=0，這相當于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點的問題。若系統(tǒng)的輸出脈沖響應

即輸出增量收斂于原平衡工作點，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性與系統(tǒng)的輸入信號無關，是系統(tǒng)本身固有的特性，因而可用系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)來描述。二、穩(wěn)定的充分必要條件26二階系統(tǒng)的單位脈沖響應曲線圖二、穩(wěn)定的充分必要條件27設閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：設系統(tǒng)的極點互不相等。系統(tǒng)在脈沖輸入信號作用下的輸出：

對上式進行拉氏反變換，

得到理想脈沖函數(shù)作用下的輸出：二、穩(wěn)定的充分必要條件28不穩(wěn)定系統(tǒng)：有一個或一個以上的正實部根。臨界穩(wěn)定：有一個或一個以上的零實部根，而其余的特征根都具有負實部。

工程上，臨界穩(wěn)定為不穩(wěn)定系統(tǒng)。臨界穩(wěn)定現(xiàn)象實際上是觀察不到的。上式表明，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均分布在復平面的左半部。二、穩(wěn)定的充分必要條件29三、代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（勞斯判據(jù)）1877年，勞斯（Routh）提出了判斷n次代數(shù)方程所有根都具有負實部的一般方法。1895年，數(shù)學家赫爾維茨（Hurwitz）也獨立提出了同樣的結果，只是形式不同。一種間接判斷系統(tǒng)特征根是否具有全部負實部的方法系統(tǒng)特征方程：系統(tǒng)穩(wěn)定需要滿足的必要條件如下（否則不穩(wěn)定）：系統(tǒng)特征方程次數(shù)不缺項系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號一致（全為正）30系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為三、代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（勞斯判據(jù)）列勞斯表31勞斯表特點4

每兩行個數(shù)相等1

右移一位降兩階2

行列式第一列不動3

次對角線減主對角線5

分母總是上一行第一個元素6

一行可同乘以或同除以某正數(shù)三、代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（勞斯判據(jù)）教材P87例3-632

如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù)，系統(tǒng)為不穩(wěn)定。系統(tǒng)特征方程：首先檢驗：系統(tǒng)特征方程次數(shù)是否缺項系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號是否全為正列勞斯表：三、代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（勞斯判據(jù)）33

已知一系統(tǒng)的特征方程式為例3.1試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表該表第一列系數(shù)符號不全為正，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；且符號變化了兩次(+到－，－到＋)，所以該方程中有二個根在S的右半平面。

三、代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（勞斯判據(jù)）34已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為

例3.2求使該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：列勞斯表由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值。因此可得：0<K<11.9三、代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（勞斯判據(jù)）開環(huán)增益為負時，理論上存在穩(wěn)定的情況，但這種情況時，輸出與期望值反向。此時誤差很大，系統(tǒng)是靠很大的控制量維持這種穩(wěn)定，在實際工程中沒有實用價值。關于開環(huán)增益為負的討論36（1）勞斯表某一行中的第一項等于零，而該行的其余各項不全為零或者沒有其余項。

若勞斯表第一列中系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定

如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號相同，

以一個很小的正數(shù)來代替為零的這項解決辦法：據(jù)此算出其余的各項，完成勞斯表的排列表示該方程中有一對純虛根存在，相應的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定四、勞斯判據(jù)的特殊情況37已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3.3

上面一行的首列與下面一行的首列符號相同，表示該方程中有一對純虛根存在，相應的系統(tǒng)為（臨界）不穩(wěn)定。解：列勞斯表由于表中第一列四、勞斯判據(jù)的特殊情況38（2）勞斯表中出現(xiàn)全零行

用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導數(shù)的系數(shù)來代替表中系數(shù)為全零的行，完成勞斯表的排列。解決的辦法：

這些根可以通過響應的輔助方程來求得，相應的系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定或不穩(wěn)定系統(tǒng)。這時表示方程中有一些大小相等但關于原點對稱的根四、勞斯判據(jù)的特殊情況39某控制系統(tǒng)的特征方程為顯然這個系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。例3.10試判別相應系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表-4-4-1.5-4-310S1S2S0003S4S0-4-315S-4-7-216S-64-16.7四、勞斯判據(jù)的特殊情況40（2）實際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。（1）勞斯判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。五、勞斯判據(jù)的應用41判斷系統(tǒng)穩(wěn)定程度的解決辦法：此法可以估計一個穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側的根距離虛軸有多遠，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線代入原方程式中，得到以

將右側。五、勞斯判據(jù)的應用42用勞斯判據(jù)檢驗下列特征方程是否有根在S的右半平面上？有幾個根在垂線的右方？

例3.6解：列勞斯表第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。五、勞斯判據(jù)的應用43式中有負號，顯然有根在的右方。第一列的系數(shù)符號變化了一次，表示原方程有一個根在垂直直線s=-1的右方。令代入特征方程列勞斯表：12114120123----ZZZZ04)1(13)1(10)1(223=+-+-+-ZZZ五、勞斯判據(jù)的應用44例3-14某系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

若要使系統(tǒng)特征根全部位于s=-1的左邊，試確定K的取值。解：令代入特征方程得到

勞斯表為五、勞斯判據(jù)的應用45已知一單位反饋控制系統(tǒng)下圖所示，試回答例時，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？

時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？

列勞斯表：勞斯表第一列均為正值，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。特征方程為時，閉環(huán)系統(tǒng)的解：

20152075020155010123SSSS-五、勞斯判據(jù)的應用46系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

閉環(huán)特征方程為