2023-2024學(xué)年浙江省杭州市浙里特色聯(lián)盟高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年浙江省杭州市浙里特色聯(lián)盟高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合A={x|?1<A.{?2,?1,0,12.等差數(shù)列{an}中，a7+a9A.10 B.14 C.15 D.303.已知空間向量a=(?2,?A.(a+b)/?/a B.a與b4.若函數(shù)f(x)=lA.0 B.12 C.32 5.若點(diǎn)P(?22,y)是角αA.?2 B.2 C.?6.已知圓x2+y2=4與圓x2+A.2x+y?3=0 B.7.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.我們從這個(gè)商標(biāo)

中抽象出一個(gè)圖象如圖，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是

(

)

A.f(x)=1|x?18.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AA.4 B.6 C.7 D.8二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=1?iA.z的實(shí)部為1 B.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

C.z的虛部為?i D.z的共軛復(fù)數(shù)為10.袋子中共有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)白球和2個(gè)黑球，從袋中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“兩次都摸到白球”，則(

)A.甲與乙互斥 B.乙與丙互斥 C.甲與乙獨(dú)立 D.甲與乙對(duì)立11.如圖所示，“嫦娥五號(hào)”月球探測器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點(diǎn)處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為R，圓形軌道Ⅲ的半徑為r，則(

)A.軌道Ⅱ的長軸長為R+r

B.軌道Ⅱ的焦距為R?r

C.若R不變，r越小，軌道Ⅱ的短軸長越大

D.若r不變，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(1,x),13.已知直線l：y=2x?1.若點(diǎn)(n,an)在直線l14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(約公元前262～公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)O(0,0)，A(3,0四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，sinA=2sinB，b=2.再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并解決下面的問題：

(Ⅰ)求角B的大?。?/p>

(Ⅱ)求△ABC的面積．

16.(本小題15分)

已知f(x)=ax3?bx+4，f(x)在x=2處取得極小值?43．

(17.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}中，a1=3，點(diǎn)(an,an+1)在直線y=3x上．

(Ⅰ)求數(shù)列18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，△DCP是等邊三角形，∠DCB=∠PCB=π4，點(diǎn)M，N分別為DP和AB19.(本小題17分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，若以F1為圓心，1為半徑的圓與以F2為圓心，3為半徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，且直線AA1，AA2的斜率之積為?34．

(1)答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閤2+x?6=(x+3)(x?2)，所以不等式x2+x?6<0的解集為{2.【答案】B

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a7+a9=16，a4=2，∴2a1+14d=163.【答案】C

【解析】解：對(duì)于A：a+b=(1,3,6)，因?yàn)?21≠?13≠16，所以a+b與a不平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：a與b夾角的余弦值為a?b|a|?|b|=?6?4+564.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閒(x)=lnx?2x+1，

所以f′(x5.【答案】D

【解析】解：cos(α+π2)=?sinα=?33，

又由三角函數(shù)的定義得s6.【答案】C

【解析】解：圓C1：x2+y2=4，圓心C1(0,0)，半徑r1=2，

C2：x2+y2?8x+4y+16=0，圓心C2(4,?2)，半徑r2=2，

由題意知，l是圓7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，可從函數(shù)的性質(zhì)或特殊點(diǎn)(范圍)的函數(shù)取值進(jìn)行思考，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

先由函數(shù)的定義域可排除選項(xiàng)A和D，再由x∈(0,1【解答】

解：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠±1}，排除選項(xiàng)A和D，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x8.【答案】B

【解析】解：由題設(shè)易知p=4，從而準(zhǔn)線方程為x=?2．

設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)，點(diǎn)B(x2,y2)，

則點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1+x229.【答案】AB【解析】解：z=1?i，

則z的實(shí)部為1，故A正確；

z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1,?1)位于第四象限，故B正確；

z的虛部為?1，故C錯(cuò)誤；

z的共軛復(fù)數(shù)為1+10.【答案】BC【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A，當(dāng)?shù)谝淮蚊桨浊?、第二次摸到黑球時(shí)，甲乙同時(shí)發(fā)生，即甲乙不是互斥事件，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，事件“第二次摸到黑球”與“第二次摸到黑球”不會(huì)同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，B正確；

對(duì)于C，由于是有放回地依次隨機(jī)抽取，則甲乙是相互獨(dú)立事件，C正確；

對(duì)于D，事件甲和乙會(huì)同時(shí)發(fā)生，即甲乙不是對(duì)立事件，錯(cuò)誤；

故選：BC．

根據(jù)題意，由互斥事件、對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的定義依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．

11.【答案】AB【解析】解：A，由橢圓的性質(zhì)知，a+c=R，a?c=r，則2a=R+r，故軌道Ⅱ的長軸長為R+r，故A正確；

B，由A知2c=R?r，故軌道Ⅱ的焦距為R?r，故B正確；

C，由A知a=R+r2，c=R?r2，所以2b=2a2?c2=212.【答案】±2【解析】解：向量a=(1,x),b=(x,4),a13.【答案】n2【解析】解：直線l：y=2x?1，點(diǎn)(n,an)在直線l上，

∴an=2n?1，

∴an+1?an=2(n+1)?1?(2n?1)=214.【答案】2

【解析】解：由題意可知設(shè)P(x,y)，

易知|PA|2=4|PO|2，即可得(x?3)2+y2=4(x2+y2)，

整理得點(diǎn)P的軌跡方程為(x+1)2+y2=4，

其圖形是以(15.【答案】解：(I)因?yàn)閟inA=2sinB，b=2，

由正弦定理得，a=2b=2，

若選條件①：c=4，此時(shí)a+b<c，三角形無解；

若選條件②：b2?a2=c2?2ac，

由余弦定理得，cosB=a2+c2?b22ac=22，

由B為三角形內(nèi)角，得B=45°；

若選條件③：【解析】本題主要考查了余弦定理，正弦定理及三角形面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．

(I)由已知結(jié)合正弦定理可求a，b，然后結(jié)合所選條件，結(jié)合余弦定理及正弦定理可求cosB，進(jìn)而可求B；16.【答案】解：(1)由題意知f′(x)=3ax2?b，

因?yàn)閒(x)在x=2處取得極小值?43，

則f(2)=8a?2b+4=?43f′(2)=12a?b=0，解得a=13，b=4，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，

所以a=13，b=4，

所以f(x)=13x3?4x+4；

(2)由題意知f(x)=13x3?4x+4，f′(x)=【解析】(1)求出f′(x)，由題意可得f′(2)=0f(2)=?43，由此即可求出答案；17.【答案】解：(Ⅰ)由題意，a1=3，an+1=3an，

∴數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，

則Sn=3(1?3n)1?3=12(3n+1?3)；

證明：(Ⅱ【解析】(Ⅰ)由題意，a1=3，an+1=3an，可得數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解；

(Ⅱ)18.【答案】證明：(1)取PC中點(diǎn)E，連接ME，BE，

∵M(jìn)為DP中點(diǎn)，N為AB中點(diǎn)，

∴ME//12CD且ME=12CD，

又∵BN//12CD且BN=12CD，

∴ME//BN且ME=BN，

∴四邊形BEMN為平行四邊形，

∴MN/?/BE，

∵M(jìn)N?平面PBC，BE?平面PBC，

∴MN/?/平面PBC；

證明：【解析】(1)取PC中點(diǎn)E，連接ME，BE，利用中位線定理得到四邊形BEMN為平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

(2)由題意得到△BCD≌△B19.【答案】解：(1)因?yàn)閳AF1：(x+c)2+y2=4與圓F2：(x?c)2+y2=4相交，且交點(diǎn)在橢圓E上，

所以2a=2+2，

解得a=2，

因?yàn)橹本€AA1，AA2的斜率之積為?34，

所以kAA1?kAA2=?b2a2=?34，

解得b2=3，

則橢圓E的方程為x24+y23=1；

(2)①證明：由(1)得橢圓右焦點(diǎn)F2(1,0)，

不妨設(shè)M(