奧數(shù)題：不定方程

不定方程

知識(shí)梳理：

一、知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明

歷史概述

不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一.古希臘的丟番圖早在公元3世紀(jì)就開(kāi)始研究不定

方程，因此常稱(chēng)不定方程為丟番圖方程.中國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家，公元初的五家共

井問(wèn)題就是一個(gè)不定方程組問(wèn)題，公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問(wèn)題標(biāo)志著中國(guó)對(duì)

不定方程理論有了系統(tǒng)研究.宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起

來(lái).

考點(diǎn)說(shuō)明

在各類(lèi)競(jìng)賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作

為解題的重要方法貫穿在行程問(wèn)題、數(shù)論問(wèn)題等壓軸大題之中.在以后初高中教學(xué)的進(jìn)一步

學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用不定方程

這個(gè)工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這個(gè)工具解題。

二、不定方程基本定義

1、定義：不定方程（組）是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的方程（組）。

2、不定方程的解：使不定方程等號(hào)兩端相等的未知數(shù)的值叫不定方程的解，不定方程的解

不唯一。

3、研究不定方程要解決三個(gè)問(wèn)題：①判斷何時(shí)有解；②有解時(shí)確定解的個(gè)數(shù)；③求出所有

的解

三、不定方程的試值技巧

1、奇偶性

2、整除的特點(diǎn)（能被2、3、5等數(shù)字整除的特性）

3、余數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（和、差、積的性質(zhì)及同余的性質(zhì)）

例題：模塊一、利用整除性質(zhì)解不定方程

［例1］求方程2x-3y=8的整數(shù)解

練習(xí)：求方程2x+6y=9的整數(shù)解

【例2】求方程4x+10y=34的正整數(shù)解

練習(xí)：求方程3x+5y=12的整數(shù)解

模塊二、利用余數(shù)性質(zhì)解不定方程

【例3］求不定方程7x+11），=1288的正整數(shù)解有多少組？

【例4】求方程3x+5y=31的整數(shù)解

練習(xí)：解方程7x+4y=89,（其中x、y均為正整數(shù)）

模塊三、解不定方程組

解方程Ifl，-800a+12005/7+800c=16000

【例5】其中a、b、c均為正整數(shù)）

5x+3y++100（其中x、y、z均為正整數(shù)）

練習(xí)：解不定方程

x+y+z=100

二元一次方程組的解法

代入消元法

代入法是通過(guò)等量代換，消去方程組中的一個(gè)未知數(shù)，使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一

次方程，從而求得一個(gè)未知數(shù)的值，然后再求出被消去未知數(shù)的值，從而確定原方程組的解

的方法.

代人消元法是解二元一次方程組的基本方法之一.“消元”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中轉(zhuǎn)化的重

要思想，代入法不僅在解二元一次方程組中適用，也是今后解其他方程（組）經(jīng)常用到的方

法.

用代入法解二元一次方程組的一般步驟：

①?gòu)姆匠探M中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)，例如y,用另一個(gè)

未知數(shù)如x的代數(shù)式表示出來(lái)，即寫(xiě)成y=ox+6的形式；

②y=or+b代入另一個(gè)方程中，消去y,得到一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程；

③解這個(gè)一元一次方程，求出x的值；

④回代求解：把求得的x的值代入丫=以+。中求出y的值，從而得出方程組的解.

Y-Z7

-的形式.

{y=b

加減消元法

加減法是消元法的一種，也是解二元一次方程組的基本方法之一.加減法不僅在解二元

一次方程組中適用，也是今后解其他方程（組）經(jīng)常用到的方法.

用加減法解二元一次方程組的一般步驟：

①變換系數(shù)：把一個(gè)方程或者兩個(gè)方程的兩邊都乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，使兩個(gè)方程里的某一個(gè)未知

數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；

②加減消元：把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；

③解這個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；

④回代：將求出的未知數(shù)的值代入原方程組中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；

⑤把這個(gè)方程組的解寫(xiě)成（*的形式.

[y=b

例6：解下列方程

12x-y=5①⑵J.r-2y=4①

[x+y=l②[2%-y=2②

練習(xí)：解下列方程

3x-y=7⑵仁M

5x+2y=8

一、填空題

1.已知△和☆分別表示兩個(gè)自然數(shù),并且A、“<37,△+☆=.

-----1-----=-----

2.箱子里有乒乓球若干個(gè)，其中25%是與出五部之幾是二級(jí)品，其余91

個(gè)是三級(jí)品.那么，箱子里有乒乓球個(gè).

3.某班同學(xué)分成若干小組去值樹(shù),若每組植樹(shù)"棵，且〃為質(zhì)數(shù),則剩下樹(shù)苗

20棵;若每組植樹(shù)9棵,則還缺少2棵樹(shù)苗.這個(gè)班的同學(xué)共分成了組.

4.不定方程2x+3y+7z=23的自然數(shù)解是.

5.王老師家的電話號(hào)碼是七位數(shù),將前四位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)

相加得9063;將前三位組成的數(shù)與后四位組成的數(shù)相加得2529.王老師家的電話

號(hào)碼是.

6.有三個(gè)分子相同的最簡(jiǎn)假分?jǐn)?shù)，化成帶分?jǐn)?shù)后為。2/9,‘工.已知a,b,c

368

都小于10,a,b,c依次為,,.

7.全家每個(gè)人各喝了一滿(mǎn)碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶（若干碗）的

-和全部咖啡（若干碗）的L那么，全家有_______口人.

46

8.某單位職工到郊外植樹(shù),其中！的職工各帶一個(gè)孩子參加，男職工每人種

3

13棵樹(shù)，女職工每人種10棵,每個(gè)孩子種6棵，他們共種了216棵樹(shù),那么其中有

女職工人.

9.將一個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)（單位:分米）的長(zhǎng)方體6個(gè)面都涂上紅色，然后把它們

全部切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體.在這些小正方體中，6個(gè)面都沒(méi)涂紅色的有12

塊,僅有2面涂紅色的有28塊,僅有1面涂紅色的有塊.原來(lái)長(zhǎng)方體的體積

是立方分米.

10.李林在銀行兌換了一張面額為100元以?xún)?nèi)的人民幣支票，兌換員不小心

將支票上的元與角、分?jǐn)?shù)字看倒置了（例如,把12.34元看成34.12元），并按看錯(cuò)

的數(shù)字支付.李林將其款花去3.50元之后,發(fā)現(xiàn)其余款恰為支票面額的兩倍，于

是急忙到銀行將多領(lǐng)的款額退回.那么，李林應(yīng)退回的款額是元.

二、解答題

11.一隊(duì)旅客乘坐汽車(chē),要求每輛汽車(chē)的乘客人數(shù)相等,起初每輛汽車(chē)乘22

人,結(jié)果剩下一人未上車(chē);如果有一輛汽車(chē)空車(chē)開(kāi)走,那么所有旅客正好能平均分

乘到其它各車(chē)上.已知每輛汽車(chē)最多只能容納32人，求起初有多少輛汽車(chē)?有多

少旅客？

12.小王用50元錢(qián)買(mǎi)40個(gè)水果招待五位朋友.水果有蘋(píng)果、梨子和杏子三種,

每個(gè)的價(jià)格分別為200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到蘋(píng)果,

并且各人得到的蘋(píng)果數(shù)目互不相同，試問(wèn)他能否實(shí)現(xiàn)自己的愿望？

13.一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽準(zhǔn)備了22支鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生,原

計(jì)劃發(fā)給一等獎(jiǎng)每人6支,二等獎(jiǎng)每人3支,三等獎(jiǎng)每人2支,后來(lái)改為一等獎(jiǎng)每

人9支，二等獎(jiǎng)每人4支，三等獎(jiǎng)每人1支，問(wèn)：獲一、二、三等獎(jiǎng)的學(xué)生各幾