以問題為導(dǎo)向落實(shí)探究學(xué)習(xí)-以“用向量法研究三角形的性質(zhì)”為例

以問題為導(dǎo)向，落實(shí)探究學(xué)習(xí)——以“用向量法研究三角形的性質(zhì)”為例用向量法研究三角形的性質(zhì)摘要:三角形是基本的幾何圖形之一，在數(shù)學(xué)中有很多與三角形相關(guān)的性質(zhì)和定理。本論文以探究學(xué)習(xí)的方式，以向量法為工具，研究三角形的性質(zhì)。首先介紹了向量與三角形的基本概念和性質(zhì)，然后通過向量相加、向量夾角等操作，推導(dǎo)出三角形的一些重要性質(zhì)。通過這種以問題為導(dǎo)向的探究學(xué)習(xí)過程，可以幫助學(xué)生深入理解三角形的性質(zhì)，并培養(yǎng)其解決問題和思辨能力。關(guān)鍵詞:向量法、三角形、性質(zhì)、探究學(xué)習(xí)引言:三角形是幾何學(xué)中最簡(jiǎn)單也是最重要的圖形之一。在三角形的研究中，有很多重要的性質(zhì)和定理，如三角形的內(nèi)角和為180度、角平分線的性質(zhì)、垂心定理等。而向量是數(shù)學(xué)中非常重要的工具，它不僅可以表示大小和方向，還可以進(jìn)行向量加法、點(diǎn)乘、叉乘等運(yùn)算。通過運(yùn)用向量的概念和性質(zhì)，可以更好地研究和解決三角形的問題。本文將以問題為導(dǎo)向，以向量法為工具，通過探究學(xué)習(xí)的方式，研究三角形的性質(zhì)。首先介紹了向量的基本概念和性質(zhì)，然后通過向量相加、向量夾角等操作，推導(dǎo)出三角形的一些重要性質(zhì)。最后，通過解決一些實(shí)際問題，進(jìn)一步鞏固和應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)。通過這種探究學(xué)習(xí)的方法，可以幫助學(xué)生主動(dòng)思考，增強(qiáng)其解決問題和思辨能力。一、向量的基本概念和性質(zhì)1.向量的定義向量可以用有向線段來表示，具有大小和方向兩個(gè)特性。用字母加箭頭的形式表示，如AB?，表示從點(diǎn)A指向點(diǎn)B的向量。向量還可以用坐標(biāo)表示，如(a,b)表示一個(gè)二維向量。向量還可以進(jìn)行向量相加、數(shù)乘等運(yùn)算。2.向量的性質(zhì)(1)向量相等兩個(gè)向量的終點(diǎn)和起點(diǎn)分別相同，則這兩個(gè)向量相等。(2)零向量零向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，記作0?或者直接寫作0。(3)負(fù)向量一個(gè)向量的方向相反，但大小相等，稱為這個(gè)向量的負(fù)向量。(4)平行向量平行向量具有相同的或相反的方向。(5)單位向量長度為1的向量稱為單位向量。二、用向量法研究三角形的性質(zhì)1.向量和三角形對(duì)于任意三角形ABC，可以構(gòu)造向量BA?、BC?和CA?。根據(jù)向量的性質(zhì)，有以下定理：(1)三角形的三邊構(gòu)成的向量和為零向量即BA?+BC?+CA?=0?。證明：假設(shè)向量BA?的終點(diǎn)和向量BC?的起點(diǎn)一樣，那么向量BA?+BC?的終點(diǎn)和向量AC?的終點(diǎn)一樣，即向量BA?+BC?+CA?的終點(diǎn)和向量CA?的終點(diǎn)一樣，即BA?+BC?+CA?=0?。(2)三角形的一個(gè)內(nèi)角可以用一個(gè)向量表示對(duì)于三角形ABC的角A，可以構(gòu)造向量BA?和CA?，那么角A對(duì)應(yīng)的向量為向量BA?-CA?，記作∠A=BA?-CA?。(3)三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線三角形ABC的角A對(duì)應(yīng)的向量是∠A=BA?-CA?，那么角A的平分線對(duì)應(yīng)的向量為∠A的一半，即∠A/2=(BA?-CA?)/2=1/2(BA?-CA?)。2.向量夾角與三角形向量夾角是指兩個(gè)向量之間的夾角。對(duì)于向量a?和b?，它們的夾角可以用向量的點(diǎn)乘和模長表示：cosθ=(a?·b?)/(|a?||b?|)在三角形的研究中，通過向量夾角的概念，可以得到一些重要性質(zhì)：(1)三角形的內(nèi)角和為180度假設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B、C，對(duì)應(yīng)的向量為a?、b?和c?。根據(jù)向量夾角的定義和加法的性質(zhì)，有：cos∠A+cos∠B+cos∠C=(a?·b?)/(|a?||b?|)+(b?·c?)/(|b?||c?|)+(c?·a?)/(|c?||a?|)根據(jù)向量的長度和方向，上述式子可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：cos∠A+cos∠B+cos∠C=a?·b?+b?·c?+c?·a?然后使用向量的性質(zhì)，展開上述式子，并注意到向量和向量的點(diǎn)乘可以用向量夾角的余弦表示，即：cos∠A+cos∠B+cos∠C=1/2(|a?||b?|+|b?||c?|+|c?||a?|)由于a?=BA?，所以|a?|=|BA?|=BC，類似地有|b?|=|CB|，|c?|=|AC|。所以上述式子可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：cos∠A+cos∠B+cos∠C=1/2(BC·CB+CB·AC+AC·BC)根據(jù)向量的點(diǎn)乘運(yùn)算，可以得到：cos∠A+cos∠B+cos∠C=1/2(BC2+CB2+AC2)由于BC=a，CB=b，AC=c，所以上述式子可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：cos∠A+cos∠B+cos∠C=1/2(a2+b2+c2)由于cos∠A+cos∠B+cos∠C=1，所以a2+b2+c2=2可以看出，在任意三角形中，三邊的平方和為2。從而得到三角形的內(nèi)角和為180度。(2)三角形的面積根據(jù)向量的概念和性質(zhì)，可以得到三角形的面積公式。假設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C，對(duì)應(yīng)的向量為a?、b?和c?。根據(jù)向量叉乘的性質(zhì)，有：S=1/2|a?×b?|展開向量的叉乘，可以得到：S=1/2|(BA?)×(BC?)|然后使用向量的性質(zhì)，展開上述式子，并注意到向量的叉乘可以用向量夾角的正弦表示，即：S=1/2|BA?||BC?|sin∠A由于BA?=-AB?=-a?，所以|BA?|=|a?|，同樣地有|BC?|=|c?|。所以上述式子可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：S=1/2|a?||c?|sin∠A由于向量c?=AC?，所以sin∠A=|c?|/|a?|，所以上述式子可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：S=1/2|a?||c?||c?|/|a?|=1/2|a?×c?|由于向量的叉乘表示了向量的大小和方向，所以上述式子可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：S=1/2|(BA?)×(CA?)|即三角形的面積可以用向量的叉乘表示。三、實(shí)際問題的解決通過向量法研究三角形的性質(zhì)，可以解決一些實(shí)際問題。例如，已知三角形ABC的兩邊長分別為a和b，夾角為C，通過向量法可以得到三角形的面積和高的關(guān)系。根據(jù)向量的概念和性質(zhì)，可以得到：S=1/2|(BA?)×(CA?)|=1/2absinC根據(jù)三角形的面積公式，可以得到：S=1/2absinC=1/2ah其中h為三角形的高，即垂直于底邊的線段。從而得到：h=absinC通過這種以問題為導(dǎo)向的探究學(xué)習(xí)過程，可以幫助學(xué)生深入理解三角形的性質(zhì)，并培養(yǎng)其解決問題和思辨能力。同時(shí)，通過實(shí)際問題的解決，可以將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際生活中，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力。結(jié)論:本論文以問題為導(dǎo)