八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考測(cè)試卷（浙教版測(cè)試范圍：第一章、第二章）解析版

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。4．測(cè)試范圍：第一章、第二章（浙教版）。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷單項(xiàng)選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．下列圖形，屬于軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念判斷即可．【解答】解：A、不屬于軸對(duì)稱圖形；B、屬于軸對(duì)稱圖形；C、不屬于軸對(duì)稱圖形；D、不屬于軸對(duì)稱圖形；故選：B．2．已知三角形兩條邊的長(zhǎng)分別為2、3，則第三條邊的長(zhǎng)可以是（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．【解答】解：2+3＝5，3﹣2＝1，所以第三邊在1到5之間．只有B中的3滿足．故選：B．3．對(duì)于命題“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能說(shuō)明它是假命題的反例是（）A．∠1＝60°，2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝40° C．∠1＝∠2＝40° D．∠1＝∠2＝45°【答案】D【分析】能說(shuō)明是假命題的反例就是能滿足已知條件，但不滿足結(jié)論的例子．【解答】解：A、不滿足條件，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、滿足條件∠1+∠2＝90°，也滿足結(jié)論∠1≠∠2，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不滿足條件，也不滿足結(jié)論，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、滿足條件，不滿足結(jié)論，故D選項(xiàng)正確．故選：D．4．如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則∠DCE的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACB的度數(shù)，觀察作圖過(guò)程可得，進(jìn)而可得∠DCE的度數(shù)．【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝80°，∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，觀察作圖過(guò)程可知：CE平分∠ACD，∴∠DCE＝ACD＝65°，∴∠DCE的度數(shù)為65°故選：B．5．如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)．若△ABC的面積等于8，則△BDE的面積等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，△ABC的面積等于8，∴S△ABD＝S△ABC＝4，∵E是AB的中點(diǎn)，∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2，故選：A．6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，P為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且∠PBC＝∠PCA，∠BPC＝100°，則∠A的大小為（）A．10° B．20° C．30° D．40°【答案】B【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠PBC+∠PCB＝80°，從而可求出∠PCA+∠PCB＝80°，進(jìn)而可得∠ACB＝80°，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝80°，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵∠BPC＝100°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝80°，∵∠PBC＝∠PCA，∴∠PCA+∠PCB＝80°，∴∠ACB＝80°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝80°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝20°，故選：B．7．如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E共線，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一個(gè)條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，可以判斷添加各個(gè)選項(xiàng)中的條件是否能夠判斷△ABC≌△DEF，本題得以解決．【解答】解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，又∵∠B＝∠E，∴當(dāng)添加條件AB＝DE時(shí)，△ABC≌△DEF（SAS），故選項(xiàng)A不符合題意；當(dāng)添加條件∠A＝∠D時(shí)，△ABC≌△DEF（AAS），故選項(xiàng)B不符合題意；當(dāng)添加條件AC＝DF時(shí)，無(wú)法判斷△ABC≌△DEF，故選項(xiàng)C符合題意；當(dāng)添加條件AC∥FD時(shí)，則∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．8．用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依據(jù)是（）A．（SSS） B．（SAS） C．（ASA） D．（AAS）【答案】A【分析】利用SSS可證得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′＝∠AOB．【解答】解：易得OC＝O′C'，OD＝O′D'，CD＝C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，可得∠A′O′B′＝∠AOB，所以利用的條件為SSS，故選：A．9．小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一些塊帶去，就能配一塊與原來(lái)一樣大小的三角形？應(yīng)該帶（）A．第1塊 B．第2塊 C．第3塊 D．第4塊【答案】B【分析】本題應(yīng)先假定選擇哪塊，再對(duì)應(yīng)三角形全等判定的條件進(jìn)行驗(yàn)證．【解答】解：1、3、4塊玻璃不同時(shí)具備包括一完整邊在內(nèi)的三個(gè)證明全等的要素，所以不能帶它們?nèi)?，只有?塊有完整的兩角及夾邊，符合ASA，滿足題目要求的條件，是符合題意的．故選：B．10．如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列結(jié)論：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四個(gè)結(jié)論中成立的是（）A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③【答案】A【分析】過(guò)E作EF⊥AD于F，易證得Rt△AEF≌Rt△AEB，得到BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，得到EC＝EF＝BE，則可證得Rt△EFD≌Rt△ECD，得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，也可得到AD＝AF+FD＝AB+DC，∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，即可判斷出正確的結(jié)論．【解答】解：過(guò)E作EF⊥AD于F，如圖，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；而點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EC＝EF＝BE，所以③錯(cuò)誤；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正確；∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正確；∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正確．故選：A．第Ⅱ卷填空題（本題共6小題，每小題4分，共24分．）11．如圖，△AOC≌△BOD，則∠A＝∠B，OA＝OB．【答案】∠B，OB．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解決此題．【解答】解：∵△AOC≌△BOD，∴∠A＝∠B，OA＝OB．故答案為：∠B，OB．12．如圖，在△ABC中，D、E、F分別為BC、AD、CE的中點(diǎn)，S△ABC＝8cm2，則△ACF的面積是為1cm2．【答案】1．【分析】利用三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，先求出S△ADC＝S△ABC＝4cm2，再求出S△AEC＝S△ADC＝2cm2，最后利用S△ACF＝S△AEC求解．【解答】解：∵D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，∴S△ADC＝S△ABC＝×8＝4（cm2），∵E點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，∴S△AEC＝S△ADC＝×4＝2（cm2），∵F點(diǎn)為EC的中點(diǎn)，∴S△ACF＝S△AEC＝×2＝1（cm2）．故答案為1．13．如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，則α，β，γ三者之間的等量關(guān)系是γ＝2α+β．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得結(jié)論．【解答】解：由折疊得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故答案為：γ＝2α+β．14．如圖，△ABC中，∠A＝90，∠ABC＝60°，以頂點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交邊AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)；再分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于EF長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠ABC內(nèi)交于點(diǎn)P，作射線BP，交邊AC于點(diǎn)G，若△ABG的面積為5cm2，則△BCG的面積為10cm2．【答案】10．【分析】利用基本作圖得到BG平分∠ABC，作GQ⊥BC于Q，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到GA＝GQ，再根據(jù)含30度的直角三角形的三邊的關(guān)系得到BC＝2AB，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△GBC＝2S△ABG．【解答】解：由作法得BG平分∠ABC，作GQ⊥BC于Q，如圖，則GA＝GQ，∵∠A＝90，∠ABC＝60°，∴∠C＝30°，∴BC＝2AB，∵S△ABG＝?AG?AB，S△GBC＝?BC?GQ，∴S△GBC＝2S△ABG＝2×5＝10（cm2）．故答案為10．15．如圖，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，則下列結(jié)論中正確的是①②③④．（填序號(hào)）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．【答案】①②③④．【分析】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明Rt△PAM≌Rt△PAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠APM＝∠APD，判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【解答】解：①過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴點(diǎn)P在∠ACF的角平分線上，故①正確；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正確；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③正確；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正確，故答案為：①②③④．16．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE＝2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t的值為1或7秒時(shí)，△ABP與△DCE全等．【答案】1或7．【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)題意得出BP＝2t＝2和AP＝16﹣2t＝2即可求得．【解答】解：因?yàn)锳B＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根據(jù)SAS證得△ABP≌△DCE，由題意得：BP＝2t＝2，所以t＝1，因?yàn)锳B＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根據(jù)SAS證得△BAP≌△DCE，由題意得：AP＝16﹣2t＝2，解得t＝7．所以，當(dāng)時(shí)t＝1或7，△ABP和△DCE全等．故答案為：1或7．三、解答題（本題共7小題，共66分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17．（8分）如圖，已知∠MAN，點(diǎn)B在射線AM上．（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；①在AN上取點(diǎn)C，使CB＝CA；②作∠BCN的平分線CD；（2）在（1）的條件下，求證：AB∥CD．【答案】（1）作圖見(jiàn)解答；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解答．【分析】（1）①作AB的垂直平分線交AN于C點(diǎn)；②利用基本作圖作∠BCN的平分線；（2）由CA＝CB得到∠A＝∠CBA，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠NCB＝2∠A，接著根據(jù)角平分線的定義得到∠NCB＝2∠NCD，則∠NCD＝∠A，然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論．【解答】（1）解：如圖，CD、CB為所作；（2）證明：∵CA＝CB，∴∠A＝∠CBA，∵∠NCB＝∠CBA+∠A，∴∠NCB＝2∠A，∵CD平分∠NCB，∴∠NCB＝2∠NCD，∴∠NCD＝∠A，∴AB∥CD．18．（6分）如圖，已知：在△AFD和△CEB中，點(diǎn)A、E、F、C在同一直線上，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC．求證：AD＝BC．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)平行線求出∠A＝∠C，求出AF＝CE，根據(jù)AAS證出△ADF≌△CBE即可．【解答】證明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∵在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AD＝BC．19．（10分）如圖，已知AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC，BE．（1）求證：△BAE≌△DAC；（2）若∠CAD＝125°，∠D＝20°，求∠E的度數(shù)．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）35°．【分析】（1）根據(jù)題意由∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，可得∠DAC＝∠BAE，即可求證；（2）由△BAE≌△DAC，可得∠E＝∠C，再由內(nèi)角和為180°即可求解．【解答】（1）證明：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，又∵AD＝AB，AC＝AE，∴△BAE≌△DAC（SAS）；（2）解：∵△BAE≌△DAC，∴∠E＝∠C，∵∠CAD＝125°，∠D＝20°，∴∠C＝180°﹣（∠CAD+∠D）＝180°﹣（125°+20°）＝35°，∴∠E＝35°．20．（10分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD，并且始終保持AE＝AD，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若AF平分∠DAE交BC于F，若BD＝3，CF＝4，求DF的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）5．【分析】（1）由SAS證明△ABD≌△ACE即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠ACE＝∠B＝45°，BD＝CE，則∠ECF＝∠ACB+∠ACE＝90°，再由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，則BD2+FC2＝EF2，然后證△DAF≌△EAF（SAS），得DF＝EF，進(jìn)而求解即可．【解答】（1）證明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝90°，又∵∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：連接FE，如圖所示：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由（1）知，△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝45°，BD＝CE，∴∠ECF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴BD2+FC2＝EF2，∵AF平分∠DAE．∴∠DAF＝∠EAF，在△DAF和△EAF中，，∴△DAF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∴BD2+FC2＝DF2．∵BD＝3，CF＝4，∴DF2＝BD2+FC2＝32+42＝25，∴DF＝5．21．（10分）已知，如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)A、B作l的垂線，即AD⊥CE，BE⊥CE，（1）如圖1，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，求證：△ADC≌△CEB；（2）如圖2，當(dāng)CE位于點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，求證：ED＝BE﹣AD；（3）如圖3，當(dāng)CE在△ABC的外部時(shí)，試猜想ED、AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用同角的余角相等得出∠CAD＝∠BCE，進(jìn)而根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB．（2）根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB后，得其對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而得到ED＝BE﹣AD．（3）根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB后，得DC＝BE，AD＝CE，又有ED＝CE+DC，進(jìn)而得到ED＝AD+BE．【解答】（1）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°．∵∠ACD+∠ECB＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC與△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．（2）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°．∵∠ACD+∠ECB＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC與△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴DC＝BE，AD＝CE．又∵ED＝CD﹣CE，∴ED＝BE﹣AD．（3）ED＝AD+BE．證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°．∵∠ACD+∠ECB＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC與△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴DC＝BE，AD＝CE．又∵ED＝CE+DC，∴ED＝AD+BE．22．（10分）（1）如圖1，∠DBC與∠BCE是△ABC的兩個(gè)外角，那么∠A，∠DBC，∠BCE之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論；（2）如圖2，若BP，CP分別平分△ABC的外角∠DBC和∠BCE，那么∠P與∠A之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若BP，CP分別平分四邊形QBCF的外角∠DBC和∠BCE，那么∠P與∠Q，∠F之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）∠DBC+∠BCE＝∠A+180°，理由見(jiàn)解答過(guò)程；（2）∠P＝90°?∠A，理由見(jiàn)解答過(guò)程；（3）∠P＝180°﹣（∠DQF+∠QFE），理由見(jiàn)解答過(guò)程．【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；（2）表示出∠DBC+∠ECB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（3）延長(zhǎng)BQ、CF相交于點(diǎn)A，利用（1）（2）的結(jié)論整理即可得解．【解答】解：（1）∠DBC+∠BCE＝∠A+180°，理由如下：∠DBC+∠ECB＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；（2）∠P＝90°?∠A，理由如下：∵BP，CP分別平分∠DBC和∠BCE，∴∠PBC＝∠DBC，∠PCB＝∠ECB，∴∠PBC+∠PCB＝∠DBC+∠ECB＝（180°+∠A）＝90°+∠A，∴∠P＝180°﹣∠PCB﹣∠PBC＝90°﹣∠A；（3）∠P＝180°﹣（∠DQF+∠QFE），理由如下