江蘇省無錫市育才中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

江蘇省無錫市育才中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲被選中包含的基本事件的個數(shù)，同此能求出甲被選中的概率．【解答】解：從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，基本事件總數(shù)n==10，甲被選中包含的基本事件的個數(shù)m==4，∴甲被選中的概率p===．故選：B．2.某人從2011年起，每年1月1日到銀行新存入a元(一年定期)，若年利率為r保持不變，每年到期存款(本息和)自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2015年1月1日將所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數(shù)為(單位為元)(

)A.a(1+r)5

B.［(1+r)5-(1+r)］

C.a(1+r)6

D.［(1+r)6-(1+r)］

參考答案：B略3.滿足的集合的個數(shù)為（

）A．15

B．16

C．31

D．32參考答案：C試題分析：實際上求真子集個數(shù)：，選C.考點：集合子集4.在中，若，則（

）A.

B.

C.或

D.或參考答案：C略5.如圖，向量等于（）A.3﹣ B.C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)向量減法法則，表示出，然后根據(jù)加法法則與數(shù)乘運算得出結(jié)論．【詳解】＝，故選：B．【點睛】本題考查向量的線性運算，掌握線性運算法則是解題基礎(chǔ)．本題屬于基礎(chǔ)題．6.函數(shù)f（x）=log2（x﹣1）的零點是（）A．（1，0） B．（2，0） C．1 D．2參考答案：D【考點】函數(shù)的零點；函數(shù)零點的判定定理．【分析】直接利用求方程的根確定函數(shù)的零點，然后解對數(shù)方程求得結(jié)果．【解答】解：令log2（x﹣1）=0解得：x=2所以函數(shù)的零點為：2故選：D7.設(shè)全集U=R，集合，，則（

）A．(2,+∞)

B．(3,+∞)

C．[0,3]

D．(－∞,－3]∪{3}參考答案：C，，，.

8.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別記為a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x－4)的根，則△ABC

（

）

A．是等腰三角形，但不是直角三角形

B．是直角三角形，但不是等腰三角形

C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形參考答案：解析：由logx=logb(4x－4)得：x2－4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA－4sin3A=2sinA，∵sinA(1－4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=，而sinA>0，∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故選B。9.（5分）如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（） A． AC⊥SB B． AB∥平面SCD C． SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 D． AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角參考答案：D考點： 直線與平面垂直的性質(zhì)．專題： 綜合題；探究型．分析： 根據(jù)SD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，以及三垂線定理，易證AC⊥SB，根據(jù)線面平行的判定定理易證AB∥平面SCD，根據(jù)直線與平面所成角的定義，可以找出∠ASO是SA與平面SBD所成的角，∠CSO是SC與平面SBD所成的角，根據(jù)三角形全等，證得這兩個角相等；異面直線所成的角，利用線線平行即可求得結(jié)果．解答： 解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，∴連接BD，則BD⊥AC，根據(jù)三垂線定理，可得AC⊥SB，故A正確；∵AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正確；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA與平面SBD所成的角，∠DSO是SC與平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角，故C正確；∵AB∥CD，∴AB與SC所成的角是∠SCD，DC與SA所成的角是∠SAB，而這兩個角顯然不相等，故D不正確；故選D．點評： 此題是個中檔題．考查線面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的判定定理，以及直線與平面所成的角，異面直線所成的角等問題，綜合性強．10.已知等差數(shù)列{an}的前n項為Sn，且，，則使得Sn取最小值時的n為（

）．A.1 B.6 C.7 D.6或7參考答案：B試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，又，所以，所以數(shù)列的通項公式為，令，解得，所以數(shù)列的前六項為負數(shù)，從第七項開始為正數(shù)，所以使得取最小值時的為，故選B．考點：等差數(shù)列的性質(zhì).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)同時滿足：（?。τ诙x域內(nèi)的任意，恒有；（ⅱ）對于定義域內(nèi)的任意，當時，恒有，則稱函數(shù)為“二維函數(shù)”．現(xiàn)給出下列四個函數(shù)：①；②；③；④

其中能被稱為“二維函數(shù)”的有_____________（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）．參考答案：③【知識點】函數(shù)的奇偶性函數(shù)的單調(diào)性與最值【試題解析】由得：函數(shù)為奇函數(shù)；故排除②。

由得：函數(shù)是減函數(shù)；故排除④。

對①：令不符合，故錯。

故答案為：③12.一個兩位數(shù)的個位數(shù)字比十位數(shù)字大，若這個兩位數(shù)小于，則這個兩位數(shù)為________________。參考答案：或

解析：設(shè)十位數(shù)為，則個位數(shù)為，，即或13.在正三角形中，是線段上的點，若，則

參考答案：

14.在△ABC中，已知BC=4，AC=3，cos（A﹣B）=，則△ABC的面積為．參考答案：【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】由題意得到∠BAC大于∠B，如圖所示，作AD，使∠BAD=∠B，得到∠DAC=∠BAC﹣∠B，設(shè)AD=BD=x，則DC=4﹣x，在△ADC中，由余弦定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解，得到x的值，確定出AD與DC的長，在三角形ADC中，利用余弦定理即可求出cosC的值，可得sinC的值，從而求得△ABC面積是AC?BC?sinC的值．【解答】解：△ABC中，BC=4，AC=3，cos（A﹣B）=，∴A＞B，（A﹣B）為銳角，如圖，作AD，使∠BAD=∠B，則∠DAC=∠BAC﹣∠B，即cos∠DAC=cos（∠BAC﹣∠B）=．設(shè)AD=BD=x，則DC=4﹣x，在△ADC中，由余弦定理得：CD2=AD2+AC2﹣2AD?AC?cos∠DAC，即（4﹣x）2=x2+9﹣2x×3×，解得：x=2，∴AD=2，DC=2，在△ADC中，由余弦定理得cosC===，∴sinC==，故△ABC面積是：AC?BC?sinC=×3×4×=，故答案是：．15.若函數(shù)滿足，則

參考答案：-1略16.已知集合Ａ＝，若集合Ａ＝，則的取值范圍是

。參考答案：17.已知=（3，），=（1，0），則?=．參考答案：3【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】由向量的數(shù)量積的坐標表示，計算即可得到所求值．【解答】解：=（3，），=（1，0），則?=3×1+×0=3．故答案為：3．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知向量（m為常數(shù)），且,不共線，若向量,的夾角落<

,>為銳角，求實數(shù)x的取值范圍.參考答案：解析：要滿足<>為銳角

只須>0且（）

=

=

= 即

x(mx-1)>0

1°當m>0時

x<0或 2°m<0時

x(-mx+1)<0

3°m=0時

只要x<0 綜上所述：x>0時，

x=0時，

x<0時，19.將函數(shù)y=msinx（其中m≠0）的圖象上的所有點向左平移個單位，再將所得圖象上所有點的橫坐標壓縮到原來的倍，縱坐標保持不變，得到了函數(shù)y=f（x）的圖象．（1）寫出函數(shù)f（x）的表達式；（2）當m=時，求函數(shù)f（x）的最小正周期及對稱中心；（3）若x∈[﹣，]時，函數(shù)f（x）的最大值為2，試求函數(shù)f（x）的最小值．參考答案：【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；正弦函數(shù)的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（1）由調(diào)件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)f（x）的表達式．（2）由條件利用正弦函數(shù)的周期性，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．（3）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最小值．【解答】解：（1）把函數(shù)y=msinx（其中m≠0）的圖象上的所有點向左平移個單位，可得y=msin（x+）的圖象；再將所得圖象上所有點的橫坐標壓縮到原來的倍，縱坐標保持不變，得到了函數(shù)y=f（x）=msin（2x+）的圖象，故f（x）=msin（2x+）．（2）當m=時，函數(shù)f（x）=sin（2x+），它的最小正周期為=π，令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得它的圖象的對稱中心為（﹣，0），k∈Z．（3）若x∈[﹣，]時，2x+∈[﹣，]，函數(shù)f（x）=msin（2x+）的最大值為m=2，求函數(shù)f（x）的最小值m?（﹣）=﹣1．【點評】本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性以及定義域和值域，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．20.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且，.（Ⅰ）若，求△ABC的面積；（Ⅱ）若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（I）運用正弦的和公式，計算A角大小，結(jié)合余弦定理，計算出b，結(jié)合三角形面積計算公式，即可。（II）運用正弦定理處理，即可?！驹斀狻拷猓海á瘢?，由正弦定理得，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴.由余弦定理得：，，，∴（負值舍去），∴.法二：由余弦定理得，，∴，∴，∵，由余弦定理得：，，，∴（負值舍去），∴.（Ⅱ）由正弦定理得：，.∵是銳角三角形，∴，，，∴.【點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，考查應(yīng)用意識.21.（14分）已知函數(shù)y=1﹣3cos2x，x∈R，求出函數(shù)的最大值、最小值，并且求使函數(shù)取得最大值、最小值的x的集合．參考答案：考點： 正弦函數(shù)的圖象．專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： 根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．解答： 當cos2x=﹣1，…（2分）即，k∈z時，…．（5分）函數(shù)y=1﹣3cos2x有最大值，最大值為1﹣3×（﹣1）=4…（7分）當cos2x=1…..（9分）即x=kπ，k∈z時，…．（12分）函數(shù)y=1﹣3cos2x有最小值，最小值為1﹣3×1=﹣2…..（14分）點評： 本題主要考查三角函數(shù)