湖南省益陽市東山鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省益陽市東山鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.我國南北朝時代的數(shù)學(xué)家祖暅提出體積的計(jì)算原理（組暅原理）：“冪勢既同，則積不容異”．“勢”即是高，“冪”是面積．意思是：如果兩等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等，類比祖暅原理，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，圖1是一個形狀不規(guī)則的封閉圖形，圖2是一個上底長為1、下底長為2的梯形，且當(dāng)實(shí)數(shù)t取[0，3]上的任意值時，直線y=t被圖1和圖2所截得的兩線段長總相等，則圖1的面積為（）A．4 B． C．5 D．參考答案：B【考點(diǎn)】進(jìn)行簡單的演繹推理．【分析】根據(jù)題意，由祖暅原理，分析可得圖1的面積等于圖2梯形的面積，計(jì)算梯形的面積即可得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意，由祖暅原理，分析可得圖1的面積等于圖2梯形的面積，又由圖2是一個上底長為1、下底長為2的梯形，其面積S==；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查演繹推理的運(yùn)用，關(guān)鍵是理解題目中祖暅原理的敘述．2.已知雙曲線的右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為A、F，點(diǎn)B（0，－b），若，則雙曲線的離心率值為（）（A）（B）（C）（D）參考答案：由得，又，，則，，所以有，即，從而解得，又，所以，

故選.3.函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為

（

）

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C4.若一個球的半徑為1，則它的表面積是（）A．4π B．2π C．π D．參考答案：A【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】直接利用球的表面積公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，半徑為1的球的表面積是4π?12=4π．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查球的表面積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．5.設(shè)奇函數(shù)在上是增函數(shù)，且，若對所有的都成立，當(dāng)時，則的取值范圍是（

）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．參考答案：C6.已知、均為單位向量，它們的夾角為，那么等于A.

B.

C.

D.4參考答案：C因?yàn)?，所以，所以，選C.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則判斷框內(nèi)填入的條件可以是A、7B、7C、8D、8參考答案：Dk=0,s=0,設(shè)滿足的條件為P.圈數(shù)條件Pks1滿足21/22滿足43/43滿足611/124滿足825/24可以得出：k=2，4，6時滿足條件，8時不滿足條件,∴k<88.已知，則的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x）﹣2，當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）=，若x∈（0，4]時，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(

)A．[2，+∞） B． C． D．[1，2]參考答案：D【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函數(shù)的解析式，分別求出（0，4]內(nèi)的四段的最小值和最大值，注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值和函數(shù)的單調(diào)性，再由t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立即為由t2﹣≤f（x）min，f（x）max≤3﹣t，解不等式即可得到所求范圍【解答】解：當(dāng)x∈（2，3），則x﹣2∈（0，1），則f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即為f（x）=2x2﹣10x+10，當(dāng)x∈[3，4]，則x﹣2∈[1，2]，則f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．當(dāng)x∈（0，1）時，當(dāng)x=時，f（x）取得最小值，且為﹣；當(dāng)x∈[1，2]時，當(dāng)x=2時，f（x）取得最小值，且為；當(dāng)x∈（2，3）時，當(dāng)x=時，f（x）取得最小值，且為﹣；當(dāng)x∈[3，4]時，當(dāng)x=4時，f（x）取得最小值，且為﹣1．綜上可得，f（x）在（0，4]的最小值為﹣．若x∈（0，4]時，t2﹣≤f（x）恒成立，則有t2﹣≤﹣．解得1≤t≤．當(dāng)x∈（0，2）時，f（x）的最大值為1，當(dāng)x∈（2，3）時，f（x）∈[﹣，﹣2），當(dāng)x∈[3，4]時，f（x）∈[﹣1，0]，即有在（0，4]上f（x）的最大值為1．由f（x）max≤3﹣t，即為3﹣t≥1，解得t≤2，即有實(shí)數(shù)t的取值范圍是[1，2]．故選D．【點(diǎn)評】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查分段函數(shù)的最小值，運(yùn)用不等式的恒成立思想轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．10.已知集合，則（

）A．(0,3]

B．[3,π)

C．[－1,π)

D．[－1,0)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量，且，則在上的投影為．參考答案：﹣【考點(diǎn)】9J：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、投影的計(jì)算公式即可得出．【解答】解：∵，∴=+（﹣5，1）=（﹣4，2）．∴=（﹣2，1）．則在上的投影為．故答案為：．12.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列若存在兩項(xiàng)、使得，則的最小值為

參考答案：13.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤．?dāng)啬┮怀?，重二斤．問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細(xì)．在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段，記第i段的重量為ai（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48ai=5M，則i=．參考答案：6【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為{an}且設(shè)公差為d，由條件和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出a1和d值，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出該金杖的總重量M，代入已知的式子化簡求出i的值．【解答】解：由題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為{an}，設(shè)公差為d，則，解得a1=，d=，所以該金杖的總重量M==15，因?yàn)?8ai=5M，所以48[+（i﹣1）×]=25，即39+6i=75，解得i=6，故答案為：6．14.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x＋2)＝－，當(dāng)2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(1.5)＝________.參考答案：2.515.若一個棱長為2的正方體的各個頂點(diǎn)均在同一球的球面上，則此球的表面積為．參考答案：12π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】設(shè)出正方體的棱長，求出正方體的體對角線的長，就是球的直徑，求出球的表面積即可．【解答】解：設(shè)正方體的棱長為：2，正方體的體對角線的長為：2，就是球的直徑，∴球的表面積為：S2=4π（）2=12π．故答案為：12π．【點(diǎn)評】本題考查球的體積表面積，正方體的外接球的知識，仔細(xì)分析，找出二者之間的關(guān)系：正方體的對角線就是球的直徑，是解題關(guān)鍵，本題考查轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．16.為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下隨時間變化的繁殖情況，得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：天數(shù)t（天）34567繁殖個數(shù)y（千個）2.5m44.56及y關(guān)于t的線性回歸方程，則實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中m的值為

．參考答案：3【考點(diǎn)】線性回歸方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；演繹法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】求出這組數(shù)據(jù)的橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均數(shù)，寫出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，把樣本中心點(diǎn)代入線性回歸方程求出m的值．【解答】解：∵=5，=，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（5，），∵關(guān)于y與x的線性回歸方程，∴，=0.85×5﹣0.25，解得m=3，∴m的值為3．故答案為3．【點(diǎn)評】本題考查回歸分析，考查樣本中心點(diǎn)滿足回歸直線的方程，考查求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，是一個運(yùn)算量比較小的題目，并且題目所用的原理不復(fù)雜，是一個好題．17.(07年全國卷Ⅱ文)已知數(shù)列的通項(xiàng)，則其前項(xiàng)和

．參考答案：答案：解析：已知數(shù)列的通項(xiàng)，，則其前項(xiàng)和=．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.2017年3月智能共享單車項(xiàng)目正式登陸某市，兩種車型(“小綠車”、“小黃車”)采用分時段計(jì)費(fèi)的方式，“小綠車”每30分鐘收費(fèi)0.5元(不足30分鐘的部分按30分鐘計(jì)算)；“小黃車”每30分鐘收費(fèi)1元(不足30分鐘的部分按30分鐘計(jì)算)．有甲、乙、丙三人相互獨(dú)立的到租車點(diǎn)租車騎行(各租一車一次)．設(shè)甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為，三人租車時間都不會超過60分鐘.甲、乙均租用“小綠車”，丙租用“小黃車”．(I)求甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用的概率；(Ⅱ)設(shè)甲、乙、丙三人所付的費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：(I)由題意得，甲乙丙在30分鐘以上且不超過60分鐘還車的概率分別為記甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用為事件A.則答：甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用的概率為.................................4分(Ⅱ)可能取值有2,

2.5，3,

3.5，4；

；；

................................................................................................................9分甲、乙、丙三人所付的租車費(fèi)用之和的分布列為

....................................................................................11分所以.....................................12分19.

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且兩個坐標(biāo)系取相等的單位長度．已知直線經(jīng)過點(diǎn)P(1,1),傾斜角．（1）寫出直線的參數(shù)方程；（2）設(shè)與圓相交于兩點(diǎn)A、B，求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．參考答案：解：（I）直線的參數(shù)方程是．----------------（5分）（II）因?yàn)辄c(diǎn)A,B都在直線l上，所以可設(shè)它們對應(yīng)的參數(shù)為t1和t2,則點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為．圓化為直角坐標(biāo)系的方程．以直線l的參數(shù)方程代入圓的方程整理得到

①因?yàn)閠1和t2是方程①的解，從而t1t2＝－2．所以|PA|·|PB|=|t1t2|＝|－2|＝2．

-----------------（12分）20.在貫徹中共中央國務(wù)院關(guān)于精準(zhǔn)扶貧政策的過程中，某單位定點(diǎn)幫扶甲、乙兩個村各50戶貧困戶.為了做到精準(zhǔn)幫扶，工作組對這100戶村民的年收入情況、勞動能力情況、子女受教育情況、危舊房情況、患病情況等進(jìn)行調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標(biāo)和，制成下圖，其中“”表示甲村貧困戶，“”表示乙村貧困戶.若，則認(rèn)定該戶為“絕對貧困戶”，若，則認(rèn)定該戶為“相對貧困戶”，若，則認(rèn)定該戶為“低收入戶”；若，則認(rèn)定該戶為“今年能脫貧戶”，否則為“今年不能脫貧戶”.（1）從甲村50戶中隨機(jī)選出一戶，求該戶為“今年不能脫貧的絕對貧困戶”的概率；（2）若從所有“今年不能脫貧的非絕對貧困戶”中選3戶，用表示所選3戶中乙村的戶數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）試比較這100戶中，甲、乙兩村指標(biāo)的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）.參考答案：（1）由圖知，在甲村50戶中，“今年不能脫貧的絕對貧困戶”有5戶，所以從甲村50戶中隨機(jī)選出一戶，該戶為“今年不能脫貧的絕對貧困戶”的概率為（2）由圖知，“今年不能脫貧的非絕對貧困戶”有10戶，其中甲村6戶，乙村4戶，依題意，的可能值為0，1，2，3.從而，，，.所以的分布列為：故的數(shù)學(xué)期望.（3）這100戶中甲村指標(biāo)的方差大于乙村指標(biāo)的方差.21.若數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意正整數(shù)都有記．（Ⅰ）求,的值；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明:對于任意的,都有．參考答案：解：（Ⅰ）由，得，解得．

，得，解得．

（Ⅱ）由

……①，

當(dāng)時，有……②，

①－②得：，數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，．（Ⅲ）證明:由（2）有.. 略22.（14分）已知f（x）=x（x﹣a）．（1）當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）有最小值﹣3，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣lnx有零點(diǎn)，求a的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】計(jì)算題；分類討論；構(gòu)造法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）分情況討論f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，令fmin（x）=﹣3，求出a的值；（2）令g（x）=0解出a=x﹣，求出右邊函數(shù)的最小值即可．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣ax=（x﹣）2﹣．∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）有最小值﹣3，∴①當(dāng)≤0即a≤0時，fmin（x）=f（0）=0，不符合