2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：四邊形綜合復(fù)習(xí)-知識(shí)講解（提高）

2024中考總復(fù)習(xí)：四邊形綜合復(fù)習(xí)—知識(shí)講解（提高）【考綱要求】1.探索并了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，了解正多邊形的概念.

2.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性質(zhì)，了解它們之間的關(guān)系；了解四邊形的不穩(wěn)定性.

3.探索并掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是平行四邊形的條件.

4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是矩形、菱形、正方形的條件.

5.探索并了解等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是等腰梯形的條件.

6.通過(guò)探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個(gè)三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運(yùn)用這幾種圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的鑲嵌設(shè)計(jì).【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、四邊形的相關(guān)概念1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由不在同一直線上的一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

2.多邊形的性質(zhì)：(1)多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°；

(2)推論：多邊形的外角和是360°；

(3)對(duì)角線條數(shù)公式：n邊形的對(duì)角線有條；

(4)正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.3.四邊形的定義：同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形.

4.四邊形的性質(zhì)：(1)定理：四邊形的內(nèi)角和是360°；(2)推論：四邊形的外角和是360°.考點(diǎn)二、特殊的四邊形1.平行四邊形及特殊的平行四邊形的性質(zhì)2.平行四邊形及特殊的平行四邊形的判定【要點(diǎn)詮釋】面積公式：S菱形=ab=ch.（a、b為菱形的對(duì)角線,c為菱形的邊長(zhǎng)，h為c邊上的高）S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高）考點(diǎn)三、梯形1.梯形的定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形.

(1)互相平行的兩邊叫做梯形的底；較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底.

(2)不平行的兩邊叫做梯形的腰.

(3)梯形的四個(gè)角都叫做底角.

2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.

3.等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.

4.等腰梯形的性質(zhì)：(1)等腰梯形的兩腰相等；(2)等腰梯形同一底上的兩個(gè)底角相等.(3)等腰梯形的對(duì)角線相等.

5.等腰梯形的判定方法：

(1)兩腰相等的梯形是等腰梯形(定義)；

(2)同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；

(3)對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.

6.梯形中位線：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線.

7.面積公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).【要點(diǎn)詮釋】解決四邊形問(wèn)題常用的方法（1）有些四邊形問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決．（2）有些梯形的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形問(wèn)題來(lái)解決．（3）有時(shí)也可以運(yùn)用平移、軸對(duì)稱來(lái)構(gòu)造圖形，解決四邊形問(wèn)題.考點(diǎn)四、平面圖形1.平面圖形的鑲嵌的定義：用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌，又稱做平面圖形的密鋪.2.平面圖形鑲嵌的條件：

(1)同種正多邊形鑲嵌成一個(gè)平面的條件：周角是否是這種正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的整倍數(shù).在正多邊形里只有正三角形、正四邊形、正六邊形可以鑲嵌.

(2)n種正多邊形組合起來(lái)鑲嵌成一個(gè)平面的條件：

①n個(gè)正多邊形中的一個(gè)內(nèi)角的和的倍數(shù)是360°；②n個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)相等，或其中一個(gè)或n個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)是另一個(gè)或n個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)的整數(shù)倍.【典型例題】類型一、特殊的四邊形1.如圖所示，已知P、R分別是矩形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，E、F分別是PA、PR的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上從B向C移動(dòng)，點(diǎn)R不動(dòng)，那么下列結(jié)論成立的是（） A．線段EF的長(zhǎng)逐漸增大B．線段EF的長(zhǎng)逐漸變小C．線段EF的長(zhǎng)不變D．無(wú)法確定【思路點(diǎn)撥】此題的考點(diǎn)是矩形的性質(zhì)；三角形中位線定理．【答案】C.【解析】點(diǎn)R固定不變，點(diǎn)P在BC上從B向C移動(dòng)，在這個(gè)過(guò)程中△APR的AR邊不變，EF是△APR的中位線，EF＝AR，所以EF的長(zhǎng)不變．【總結(jié)升華】本題考查矩形的性質(zhì)及三角形中位線定理，難度適中，根據(jù)中位線定理得出EF=AR是解題的突破口．2.（2015?綿陽(yáng)模擬）正方形ABCD中，P為AB邊上任一點(diǎn)，AE⊥DP于E，點(diǎn)F在DP的延長(zhǎng)線上，且DE=EF，連接AF、BF，∠BAF的平分線交DF于G，連接GC．（1）求證：△AEG是等腰直角三角形；（2）求證：AG+CG=；（3）若AB=2，P為AB的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】（1）由條件可以得出∠AFD=∠PAE，再由直角三角形的性質(zhì)兩銳角互余及角平分線的性質(zhì)就可以得出2∠GAP+2∠PAE=90°，從而求出結(jié)論；（2）如圖2，作CH⊥DP，交DP于H點(diǎn)，可以得出△ADE≌△DCH根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以得出△GHC是等腰直角三角形，由其性質(zhì)就可以得出CG=GH，AG=EG，再根據(jù)線段轉(zhuǎn)化就看以得出結(jié)論；（3）如圖3，延長(zhǎng)DF，CB交于點(diǎn)K，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得出△ADP≌△BKP，再由勾股定理就可以得出F是KG的中點(diǎn)，由三角形的中位線的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．【答案與解析】（1）證明：如圖1，∵DE=EF，AE⊥DP，∴AF=AD，∴∠AFD=∠ADF，∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，∴∠AFD=∠PAE，∵AG平分∠BAF，∴∠FAG=∠GAP．∵∠AFD+∠FAE=90°，∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°∴2∠GAP+2∠PAE=90°，即∠GAE=45°，∴△AGE為等腰直角三角形；（2）證明：如圖2，作CH⊥DP，交DP于H點(diǎn)，∴∠DHC=90°．∵AE⊥DP，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠DHC．∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，∴∠ADE=∠DCH．∵在△ADE和△DCH中，，∴△ADE≌△DCH（AAS），∴CH=DE，DH=AE=EG．∴EH+EG=EH+HD，即GH=ED，∴GH=CH．∴CG=GH．∵AG=EG，∴AG=DH，∴CG+AG=GH+HD，∴CG+AG=（GH+HD），即CG+AG=DG；（3）如圖3，延長(zhǎng)DF，CB交于點(diǎn)K，∵P是AB的中點(diǎn)，∴AP=BP=1．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠DAB=∠ABC=∠ABK=90°．∵在△ADP和△BKP中，∴△ADP≌△BKP（ASA），∴AD=KB=BC=2．在Rt△ADP中由勾股定理，得PD=，∴AE=PA?AD，∴AE=，DE=，∴EG=，DF=，∴FG=．在Rt△KCD中，由勾股定理，得KD=2，∴KF=，∴KF=FG，∵KB=BC，∴FB∥CG，BF=CG，∴BF=?CH=DE=．【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的中位線的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)合理運(yùn)用全等是重點(diǎn)，運(yùn)用三角形的中位線的性質(zhì)求解是難點(diǎn)．舉一反三：【變式】如圖，E是正方形ABCD外的一點(diǎn)，連接AE、BE、DE，且∠EBA=∠ADE，點(diǎn)F在DE上，連接AF，BE=DF．

（1）求證：△ADF≌△ABE；

（2）小明還發(fā)現(xiàn)線段DE、BE、AE之間滿足等量關(guān)系：DE-BE=AE．請(qǐng)你說(shuō)明理由．【答案】證明：（1）∵四邊形正ABCD是正方形，∴AB=AD，

∵在△ADF和△ABE中，

，∴△ADF≌△ABE；

（2）理由如下：

由（1）有△ADF≌△ABE，

∴AF=AE，∠1=∠2，

在正方形ABCD中，∠BAD=90°，

∴∠BAF+∠3=90°，

∴∠BAF+∠4=90°，

∴∠EAF=90°，

∴△EAF是等腰直角三角形，

∴EF2=AE2+AF2，∴EF2=2AE2，

∴EF=AE，即DE-DF=AE，

∴DE-BE=AE．【高清課堂：四邊形綜合復(fù)習(xí)例2】3．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，，CA=CD，E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，設(shè)DE=x，CF=y.（1）求AC和AD的長(zhǎng)；（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求x的值.【思路點(diǎn)撥】本題涉及到的考點(diǎn)有相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定；直角梯形；銳角三角函數(shù)的定義．【答案與解析】（1）∵AD∥BC，∠B=90°，

∴∠ACB=∠CAD．

∴tan∠ACB=tan∠CAD=．

∴=．

∵AB=8，∴BC=6．則AC=10．

過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，

∴CH=AB=8，則AH=6．

∵CA=CD，∴AD=2AH=12．

（2）∵CA=CD，

∴∠CAD=∠D．

∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD，

∴∠FEC=∠D．

∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D，

∴∠1=∠2．

∴△AEF∽△DCE．

∴，即．

∴y=．（3）若△EFC為等腰三角形．

①當(dāng)EC=EF時(shí)，此時(shí)△AEF≌△DCE，

∴AE=CD．

∵12-x=10，∴x=2．

②當(dāng)FC=FE時(shí)，有∠FCE=∠FEC=∠CAE，

∴CE=AE=12-x．

在Rt△CHE中，由（12-x）2=（6-x）2+82，解得x=．

③當(dāng)CE=CF時(shí)，有∠CFE=∠CEF=∠CAE，

此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，故點(diǎn)E與點(diǎn)D也重合，不合題意，舍去．

綜上，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，x=2或x=．【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、直角梯形及銳角三角形函數(shù)的定義等知識(shí)；應(yīng)用相似的性質(zhì)，得到比例式，借助比例式解題是很重要的方法，做題時(shí)注意應(yīng)用，對(duì)于等腰三角形問(wèn)題要注意分類討論也是比較重要的，注意掌握．舉一反三：【變式】在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝2CD，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF、EC、BF、CF.⑴判斷四邊形AECD的形狀（不證明）；⑵在不添加其它條件下，寫出圖中一對(duì)全等的三角形，用符號(hào)“≌”表示，并證明.⑶若CD＝2，求四邊形BCFE的面積.【答案】（1）平行四邊形；

（2）△BEF≌△CDF或（△AFB≌△EBC≌△EFC）

證明：連接DE，

∵AB=2CD，E為AB中點(diǎn)，

∴DC=EB，

又∵DC∥EB，

∴四邊形BCDE是平行四邊形，

∵AB⊥BC，

∴四邊形BCDE為矩形，

∴∠AED=90°，∠CDE=∠BED=90°，BE=CD，

在Rt△AED中，∠A=60°，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，

∴AF=AD=EF，

∴△AEF為等邊三角形，

∴∠DFE=180°-60°=120°，

∵EF=DF，

∴∠FDE=∠FED=30°．

∴∠CDF=∠BEF=120°，

在△BEF和△FDC中，，

∴△BEF≌△CDF（SAS）．

（3）若CD=2，則AD=4，

∵∠A=60°，

∴sin60°==，

∴DE=AD?=

∴DE=BC=，

∵四邊形AECD為平行四邊形，

∴S△ECF與S四邊形AECD等底同高，

∴S△ECF=S四邊形AECD=CD?DE=×2×=，

S△CBE=BE?BC=×2×=，

∴S四邊形BCFE=S△ECF+S△EBC=+=．類型二、四邊形與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用4.有矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合.（1）如果折痕FG分別與AD、AB交于點(diǎn)F、G，AF=，求DE的長(zhǎng)；（2）如果折痕FG分別與CD、DA交于點(diǎn)F、G，△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)AF，AD的長(zhǎng)可以求得DF的長(zhǎng)，根據(jù)折疊知EF=AF，再根據(jù)勾股定理即可計(jì)算得到DE的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，則折痕與AE的交點(diǎn)O即是其外接圓的圓心．設(shè)DE=x，根據(jù)三角形ADE的中位線定理求得OM=x，進(jìn)一步表示出ON的長(zhǎng)．根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑得到AE=2ON，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程求解．再根據(jù)直角三角形FOE相似于直角三角形ADE，求得OF的長(zhǎng)，從而根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到FG=2OF．【答案與解析】（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°．

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得EF=AF=．

∴DF=AD-AF=．

在Rt△DEF中，DE=．

（2）設(shè)AE與FG的交點(diǎn)為O．

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得AO=EO．

取AD的中點(diǎn)M，連接MO．

則MO=DE，MO∥DC．

設(shè)DE=x，則MO=x，

在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，

∴AE為△AED的外接圓的直徑，O為圓心．延長(zhǎng)MO交BC于點(diǎn)N，則ON∥CD．

∴∠CNM=180°-∠C=90°．

∴ON⊥BC，四邊形MNCD是矩形．

∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-x．

∵△AED的外接圓與BC相切，

∴ON是△AED的外接圓的半徑．

∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．

在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，

∴12+x2=（4-x）2．

解這個(gè)方程，得x=．

∴DE=，OE=2-x=．

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得AE⊥FG．

∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=．

又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．

∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO．

∴FG=2FO=．

∴折痕FG的長(zhǎng)是．【總結(jié)升華】本題通過(guò)矩形紙片折疊，利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，在豐富的圖形關(guān)系中，考查學(xué)生獲取信息和利用所得信息認(rèn)識(shí)新事物的能力，本題對(duì)圖形折疊前后的不變量的把握、直線與圓位置關(guān)系的準(zhǔn)確理解、方程思想的運(yùn)用意識(shí)和策略等具有可再抽象性．【高清課堂：四邊形綜合復(fù)習(xí)例3】5．（2015?黃島區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，DE∥AB？（2）求四邊形BQPC的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形BQPC的面積與Rt△ABC的面積比為13：15？若存在，求t的值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）若DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，試求t的值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)DE∥AB，得到△AQP∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求出t；（2）根據(jù)四邊形BQPC的面積=△ABC的面積﹣△AQP的面積，列出關(guān)于x、y的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)關(guān)系式和面積比，求出t；（4）DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，作QH⊥BC于H，得到DH∥AC，用t表示出QH、EH，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理列出關(guān)系式求出t．【答案與解析】解：（1）當(dāng)DE∥AB時(shí)，∠AQP=90°，則△AQP∽△ACB，=，=，t=；（2）∠C=90°，AC=3，AB=5，根據(jù)勾股定理得，BC=4，S△ABC=×3×4=6，作QF⊥BC于F，則QF∥BC，=，即=，QF=t，S△AQP=×（3﹣t）×t=﹣t2+t，S=6﹣（﹣t2+t）=t2﹣t+6；（3）（t2﹣t+6）：6=13：15，整理得，t2﹣3t+2=0解得：t1=1，t2=3（舍去）；當(dāng)t=1時(shí)，四邊形BQPC的面積與Rt△ABC的面積比為13：15；（4）如圖，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，作QH⊥BC于H，∵DH∥AC，∴==，=，QH=，=，BH=，HC=t，∵DE垂直平分PQ，∴PC=CQ，（）2+（t）2=t2，90t=225，t=．【總結(jié)升華】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，解答時(shí)，注意方程思想的正確運(yùn)用．6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－8，0），直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（－8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)а度得到四邊形OAB'C'，此時(shí)直線OA’、直線B’C’分別與直線BC相交于點(diǎn)P、Q.（1）四邊形OABC的現(xiàn)狀是，當(dāng)а=90°時(shí)，BP：PQ的值是；（2）①如圖，當(dāng)四邊形OA’B’C’的頂點(diǎn)B’落在y軸正半軸時(shí)，求BP：BQ的值；②如圖，當(dāng)四邊形OA’B’C’的頂點(diǎn)B’落在直線BC上時(shí)，求△OPB'的面積；（3）在四邊形OA’B’C’旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)0＜а°≤180°時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使BP=0.5BQ？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形進(jìn)行判斷當(dāng)α=90°時(shí)，就是長(zhǎng)與寬的比；

（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；

②根據(jù)勾股定理求得PB′的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．【答案與解析】（1）四邊形OA′B′C′的形狀是矩形；根據(jù)題意即是矩形的長(zhǎng)與寬的比，即

．

（2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，

∴△COP∽△A′OB′．

∴=，即

=，

∴CP=，BP=BC-CP=．

同理△B′CQ∽△B′C′O，

∴=，即

=，

∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．

∴==；

②在△OCP和△B′A′P中，，

∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．

∴OP=B′P．設(shè)B′P=x，

在Rt△OCP中，（8-x）2+62=x2，解得x=．

∴S△OPB′=××6=；

（3）過(guò)點(diǎn)Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，

∵S△POQ=PQ?OC，S△POQ=OP?QH，

∴PQ=OP．

設(shè)BP=x，∵BP=BQ，

∴BQ=2x，

如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

OP=PQ=BQ+BP=3x，

在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2，

解得

x1=1+，x2=1-（不符實(shí)際，舍去）．

∴PC=BC+BP=9+，

∴P1（-9-，6）．

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，

∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．

在Rt△PCO中，（8-x）2+62=x2，

解得x=．

∴PC=BC-BP=8-=，

∴P2（-，6），

綜上可知，點(diǎn)P1（-9-，6），P2（-，6），使BP=BQ．【總結(jié)升華】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理；矩形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．舉一反三：【變式】如圖，直角梯形ABCD中，，，且，過(guò)點(diǎn)D作，交的平分線于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：；（2）將繞點(diǎn)C，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接EG.．求證：CD垂直平分EG.（3）延長(zhǎng)BE交CD于點(diǎn)P．求證：P是CD的中點(diǎn)．AADGECB【答案】（1）延長(zhǎng)DE交BC于F，

∵AD∥BC，AB∥DF，

∴AD=BF，∠ABC=∠DFC．

在Rt△DCF中，

∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，

∴，

即CD=2CF，

∵CD=2AD=2BF，

∴BF=CF，

∴BC=BF+CF=CD+CD=CD．即BC=CD．

（2）∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠DCE，

由（1）知BC=CD，

∵CE=CE，

∴△BCE≌△DCE，

∴BE=DE，

由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知CE=CG，BE=DG，

∴DE=DG，

∴C，D都在EG的垂直平分線上，

∴CD垂直平分EG．

（3）連接BD，

由（2）知BE=DE，

∴∠1=∠2．

∵AB∥DE，

∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．

∵AD∥BC，∴∠4=∠DBC．

由（1）知BC=CD，

∴∠DBC=∠BDC，∴∠4=∠BDP．

又∵BD=BD，∴△BAD≌△BPD，

∴DP=AD．

∵AD=CD，∴DP=CD．

∴P是CD的中點(diǎn)．中考總復(fù)習(xí)：特殊的四邊形--鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.（2014?天水）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C′處，折痕為EF，若AB=1，BC=2，則△ABE和BC′F的周長(zhǎng)之和為（）A．3 B．4 C．6 D．82.如圖，有一矩形紙片ABCD，AB=10，AD=6，將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點(diǎn)F，則△CEF面積為()．

A．4B．6C．8D．103．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一點(diǎn)，PE⊥AC，垂足為E，PF⊥BD，垂足為F，則PE+PF的值為()．A．

B．

C．2D．

第3題第4題4.如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，要使EFGH為矩形，四邊形應(yīng)該具備的條件是（）.

A．一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行B．對(duì)角線相等

C．對(duì)角線相互垂直D．對(duì)角線互相平分5.如圖，正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作OE⊥OF分別交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，則EF等于（）.A.7B.5C.4D.3

第5題第6題6.如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，則∠BDE的度數(shù)為（）.

A．15°B．18°C．36°D．54°二、填空題7.（2014春?西城區(qū)期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，已知DF=3，則AE=．8.如圖，菱形ABCD中，于E，于F，，則等于___________．9.正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，BE=，CE=，P在BD上，則PE+PC的最小值可能為__________．10.如圖，M為正方形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，將正方形折起，使點(diǎn)A與M重合，設(shè)折痕為EF，若正方形的面積為64，則△AEM的面積為____________．

11.如圖，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC=4，BC=3，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF長(zhǎng)度的最小值是_______________.第10題第11題第12題12.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，△DEF是等邊三角形，DF交AB于點(diǎn)G，則△BFG的周長(zhǎng)為________．三、解答題13．如圖1，圖2，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時(shí)：

①猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是__________；

②連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是__________；

③請(qǐng)證明你的上述兩個(gè)猜想．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系．

14.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，

(1)求BC、AD的長(zhǎng)度；

(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)時(shí)，寫出五邊形ABPQD的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式，并寫出t的取值范圍(不包含點(diǎn)P在B、C兩點(diǎn)的情況)；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

15.（2015?青島模擬）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，P是射線AB上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F．（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時(shí)，PE+PF的值是否為定值？如果是，請(qǐng)求出它的值；如果不是，請(qǐng)加以說(shuō)明．（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，求PE﹣PF的值．16.如圖，十三個(gè)邊長(zhǎng)為正整數(shù)的正方形紙片恰好拼成一個(gè)大矩形（其中有三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)已標(biāo)出字母x，y，z）．試求滿足上述條件的矩形的面積最小值．【答案與解析】一．選擇題1．【答案】C．【解析】將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C′處，折痕為EF，由折疊特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周長(zhǎng)=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周長(zhǎng)=2△ABE的周長(zhǎng)=2×3=6．故選：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可證△OEB≌△OFC，則EB=FC=3，AE=BF=4，EF==5.6．【答案】B.【解析】由題意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空題7．【答案】3．【解析】如圖，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴DF是△ABC的中位線，∴DF=BC．又∵點(diǎn)E是直角△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：設(shè)AE=x=EM,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,從而算出面積.11.【答案】.【解析】連接PC．

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；

又∵∠ACB=90°，∴四邊形ECFP是矩形，

∴EF=PC，∴當(dāng)PC最小時(shí)，EF也最小，

即當(dāng)CP⊥AB時(shí)，PC最小，

∵AC=4，BC=3，∴AB=5，

∴AC?BC=AB?PC，∴PC=．

∴線段EF長(zhǎng)的最小值為；故答案是：．12．【答案】3+.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，推出四邊形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等邊三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，進(jìn)而求得FG，再證△AGD≌△BGF，得到BF=AD，從而求出△BFG的周長(zhǎng)．三.綜合題13．【解析】（1）①DE=EF；

②NE=BF；

③∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，

∵N，E分別為AD，AB中點(diǎn)，

∴AN=DN=AD，AE=EB=AB，

∴DN=BE，AN=AE，

∵∠DEF=90°，

∴∠AED+∠FEB=90°，

又∵∠ADE+∠AED=90°，

∴∠FEB=∠ADE，

又∵AN=AE，

∴∠ANE=∠AEN，

又∵∠A=90°，

∴∠ANE=45°，

∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，

又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，

∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，

∴△DNE≌△EBF（ASA），

∴DE=EF，NE=BF．

（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），

連接NE，則點(diǎn)N可使得NE=BF．

此時(shí)DE=EF．

證明方法同（1），證△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°,

∴∠DBC=30°,

∴BC=2CD=6cm.

由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,

∴∠ABC=∠C=60°,

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=30°,

∴∠ABD=∠ADB,

∴AD=AB=3cm.

（2）當(dāng)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BP=2t，CQ=t,

∴PC=6-2t,

過(guò)Q作QE⊥BC于E，則QE=CQsin60°=t,

∴S梯形ABCD-S△PCQ=-（6-2t）t=（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.

（3）存在時(shí)刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5.

∵S梯形ABCD=，S△ABD=×3××3,

∴S△ABD=×S梯形ABCD,

∴五邊形ABPQD的面積不可能是梯形ABCD面積的.

∴S△PCQ：S五邊形ABPQD=1：5，

即S五邊形ABPQD=S梯形ABCD

∴（2t2-6t+27）=×,

整理得：4t2-12t+9=0,

∴t=，即當(dāng)t=秒時(shí)，PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，y，z，我們通過(guò)x，y，z表示其余正方形的邊長(zhǎng)依次填在每個(gè)正方形中，

它們是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．

因矩形對(duì)邊相等，

所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．

化簡(jiǎn)上述的兩個(gè)方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，

消去z得18x=49y．

因?yàn)?8與49互質(zhì)，

所以x、y的最小自然數(shù)解是x=49，y=18，

此時(shí)z=38．

以x=49，y=18，z=38代入矩形長(zhǎng)、寬的表達(dá)式11x+3y及8x+8y-3z，

得長(zhǎng)、寬分別為593和422．

此時(shí)得最小面積值是593×422=250246．中考總復(fù)習(xí)：特殊的四邊形--鞏固練習(xí)（提高）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.如圖,E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BE于點(diǎn)R，則PQ＋PR的值是()．

A．

B．

C．

D．

2．如圖,在梯形ABCD中，

AB∥CD，中位線MN

=7,對(duì)角線AC⊥BD,∠BDC

=30°，則梯形的高為（）．A．

B．C．

D．

3.四邊形ABCD的對(duì)角線AC=BD，且AC⊥BD，分別過(guò)A、B、C、D作對(duì)角線的平行線，得到四邊形EFGH，則它是（）.A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四邊形4如圖，矩形ABCD中，其長(zhǎng)為a，寬為b，如果，則的值為（）.

A．B．C．

D．

5.如圖，在菱形ABCD中，，的垂直平分線FE交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，E為垂足，連接DF．則等于（）．A．

B．

C．D．

6.（2014?海南模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點(diǎn)E、F，交AD、BC于點(diǎn)M、N．下列結(jié)論：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；其中正確的結(jié)論有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)二、填空題7.如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別為正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH=AB，則圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為___________．

8.如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O．下面結(jié)論正確的是_________．

①AC=BD；②∠DAO=∠DBC；③S△BOC=S梯形ABCD；④△AOB≌△DOC．

9.（2015春?伊春校級(jí)期末）如圖，圓柱形玻璃杯，高為8cm，底面周長(zhǎng)為12cm，在杯內(nèi)離杯底2cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，求螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離是．10.（2012?湖州）如圖，將正△ABC分割成m個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形和一個(gè)黑色菱形，這個(gè)黑色菱形可分割成n個(gè)邊長(zhǎng)為1的小三角形，若=，則△ABC的邊長(zhǎng)是_________.11.（2012?咸寧）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E為CD的中點(diǎn)，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，當(dāng)AD=2，BC=12時(shí)，四邊形BGEF的周長(zhǎng)為_________．12.如圖，以菱形ABCD各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形A1B1C1D1，再以A1B1C1D1各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四邊形A2011B2011C2011D2011，若ABCD對(duì)角線長(zhǎng)分別為a和b，請(qǐng)用含a、b的代數(shù)式表示四邊形A2011B2011C2011D2011的周長(zhǎng)_________________.

三、解答題13.（2015·邯鄲校級(jí)月考）已知，如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在正方形ABCD邊AB，CD，DA上，AH=2，連接CF．

(1)當(dāng)DG=2時(shí)，求△FCG的面積；

(2)設(shè)DG=，用含的代數(shù)式表示△FCG的面積；

(3)判斷△FCG的面積能否等于1，并說(shuō)明理由．14.在圖1到圖3中，點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，△MPN為直角三角形，∠MPN=90°．正方形ABCD保持不動(dòng)，△MPN沿射線AC向右平移，平移過(guò)程中P點(diǎn)始終在射線AC上，且保持PM垂直于直線AB于點(diǎn)E，PN垂直于直線BC于點(diǎn)F．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為______；

（2）如圖2，當(dāng)P在線段OC上時(shí)，猜想OE與OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系？并對(duì)你的猜想結(jié)果給予證明；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，OE與OF的數(shù)量關(guān)系為_______；位置關(guān)系為_________．

15．如圖1，P是線段AB上的一點(diǎn)，在AB的同側(cè)作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，連接CD，點(diǎn)E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H．

（1）猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的上方時(shí)，如圖2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；

（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他條件不變，先補(bǔ)全圖3，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由．

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度沿OB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，E、F兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求梯形OABC的高BG的長(zhǎng)；

（2）連接E、F并延長(zhǎng)交OA于點(diǎn)D，當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到幾秒時(shí)，四邊形ABED是等腰梯形；

（3）動(dòng)點(diǎn)E、F是否會(huì)同時(shí)在某個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？如果會(huì)，請(qǐng)直接寫出這時(shí)動(dòng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的值；如果不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案與解析】一.選擇題1．【答案】A．2．【答案】B.3．【答案】A.4．【答案】A.【解析】由題意，，.5．【答案】D.6．【答案】B.【解析】在正方形ABCD中，∠PAE=∠MAE=45°，在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME（ASA），故①正確；∴AP=AM，∴△APM是等腰直角三角形，∴PM=AP，同理可得PN=PB，∴PM+PN=AB，又∵AC=AB，∴PM+PN=AC，故②正確；∵PM⊥AC，PN⊥BD，AC⊥BD，∴四邊形PEOF是矩形，∴PF=OE，在Rt△POE中，PE2+OE2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正確；∵矩形PEOF不一定是正方形，∴△POF是不一定等腰直角三角形，∵∠OBC=45°，BF⊥FN，∴△BNF是等腰直角三角形，∴△POF與△BNF相似不一定成立，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的結(jié)論有①②③共3個(gè)．故選B．二．填空題7．【答案】.【解析】把△APD旋轉(zhuǎn)到△DCM，把△ABF旋轉(zhuǎn)到△BCN，則多邊形PFBNMD的面積被分成10份，陰影部分占4份.8．【答案】①②④.9．【答案】10cm.

【解析】如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，則A′C即為最短距離，由題意可得出：A′D=6cm，CD=8cm，A′C==10（cm）．10.【答案】12.【解析】設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為x，則高為x，S△ABC=x?x=x2，

∵所分成的都是正三角形，∴結(jié)合圖形可得黑色菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線為x-，較短的對(duì)角線為（x-）=x-1，

∴黑色菱形的面積=（x-）（x-1）=（x-2）2，

∴=，整理得，11x2-144x+144=0，

解得x1=（不符合題意，舍去），x2=12，所以，△ABC的邊長(zhǎng)是12．11.【答案】28.【解析】先根據(jù)EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G得出四邊形BGEF是平行四邊形，再由BE平分∠ABC且交CD于E可得出∠FBE=∠EBC，由EF∥BC可知，∠EBC=∠FEB，故∠FBE=FEB，由此可判斷出四邊形BGEF是菱形，再根據(jù)E為CD的中點(diǎn)，AD=2，BC=12求出EF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．12．【答案】.【解析】結(jié)合圖形，腳碼為奇數(shù)時(shí)，四邊形A2n-1B2n-1C2n-1D2n-1是矩形，長(zhǎng)為

，寬為

；

腳碼為偶數(shù)時(shí)，四邊形A2nB2nC2nD2n是菱形，邊長(zhǎng)為

，

∴四邊形A2010B2010C2010D2010是菱形，邊長(zhǎng)為

，

周長(zhǎng)為

，即

．

∴四邊形A2011B2011C2011D2011是矩形，長(zhǎng)為，寬為，

∴四邊形A2011B2011C2011D2011的周長(zhǎng)為：2（+）=．故答案為：．三.綜合題13．【解析】(1).

(2)作FM⊥DC，M為垂足，連結(jié)GE，

∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，

∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE．

∴∠AEH=∠MGF.

在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，

∴△AHE≌△MFG.

∴FM=HA=2，即無(wú)論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F的直線CD的距離始終為定值2.

因此

(3)若，由，得，此時(shí)在△DGH中，.

相應(yīng)地，在△AHE中，，即點(diǎn)E已經(jīng)不在邊AB上.

故不可能有.14．【解析】（1）OE=OF（相等）；

（2）OE=OF，OE⊥OF；

證明：連接BO，

∵在正方形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，

∴BO=CO，BO⊥AC，∠BCA=∠ABO=45°，

∵PF⊥BC，∠BCO=45°，

∴∠FPC=45°，PF=FC．

∵正方形ABCD，∠ABC=90°，

∵PF⊥BC，PE⊥AB，

∴∠PEB=∠PFB=90°．

∴四邊形PEBF是矩形，

∴BE=PF．

∴BE=FC．

∴△OBE≌△OCF，

∴OE=OF，∠BOE=∠COF，

∵∠COF+∠BOF=90°，

∴∠BOE+∠BOF=90°，

∴∠EOF=90°，

∴OE⊥OF．

（3）OE=OF（相等），OE⊥OF（垂直）．15．【解析】（1）四邊形EFGH是菱形．

（2）成立．理由：連接AD，BC．

∵∠APC=∠BPD，

∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．

即∠APD=∠CPB．

又∵PA=PC，PD=PB，

∴△APD≌△CPB（SAS）∴AD=CB．

∵E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點(diǎn)，

∴EF、FG、GH、EH分別是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位線．

∴EF=BC，F(xiàn)G=AD，GH=BC，EH=AD．

∴EF=FG=GH=EH．∴四邊形EFGH是菱形．

（3）補(bǔ)全圖形．

判斷四邊形EFGH是正方形．

理由：連接AD，BC．

∵（2）中已證△APD≌△CPB．

∴∠PAD=∠PCB．

∵∠APC=90°，

∴∠PAD+∠1=90°．

又∵∠1=∠2．

∴∠PCB+∠2=90°．

∴∠3=90°．

∵（2）中已證GH，EH分別是△BCD，△ACD的中位線，

∴GH∥BC，EH∥AD．

∴∠EHG=90°．

又∵（2）中已證四邊形EFGH是菱形，

∴菱形EFGH是正方形.16.【解析】（1）根據(jù)題意，AB==6,

∵2S△AOB=AB?OB=AO?BG，∴BG===4.8；

（2）設(shè)當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到x秒時(shí)，四邊形ABED是等腰梯形，則BE=x，OF=2x，

∵BC∥OA，

∴=，即=，解得OD=，

過(guò)E作EH⊥OA于H，

∵四邊形ABED是等腰梯形，

∴DH=AG=，HG=BE=x，

∴DH=10--x-3.6=3.6，解得x=；

（3）會(huì)同時(shí)在某個(gè)反比例函數(shù)的圖象上．

根據(jù)題意，OG=AO-AG=10-3.6=6.4，

∴點(diǎn)E（6.4-t，4.8），

∵OF=2t，

∴2tcos∠AOB=2t×=t，2tsin∠AOB=2t×=t，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，t）

假設(shè)能在同一反比例函數(shù)圖象上，則t×t=（6.4-t）×4.8，

整理得：2t2+5t-32=0，

△=25-4×2×（-32）=281＞0，

∴方程有解，即E、F會(huì)同時(shí)在某一反比例函數(shù)圖象上，此時(shí)，t=，

因此E、F會(huì)同時(shí)在某個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，t=．中考總復(fù)習(xí)：特殊的四邊形-知識(shí)講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1.會(huì)識(shí)別矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性質(zhì)和判定，會(huì)用性質(zhì)和判定解決實(shí)際問(wèn)題．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對(duì)角線矩形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角是直角相等且互相平分1、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；2、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；3、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形中心、軸對(duì)稱圖形菱形四條邊相等對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)垂直且互相平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2、四條邊都相等的四邊形是菱形；3、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對(duì)稱圖形正方形四條邊相等四個(gè)角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對(duì)角線垂直的矩形是正方形3、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形4、對(duì)角線相等的菱形是正方形中心、軸對(duì)稱圖形等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個(gè)角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；3、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形.軸對(duì)稱圖形【要點(diǎn)詮釋】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們具有平行四邊形的一切性質(zhì).考點(diǎn)二、梯形1．解決梯形問(wèn)題常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形（圖1）；

（2）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中（圖2）；

（3）“平移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中（圖3）；

（4）“延腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)三角形（圖4）；

（5）“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與下底延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形（圖5）．

圖1圖2圖3圖4圖5

【要點(diǎn)詮釋】解決梯形問(wèn)題的基本思想和方法就是通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的平行四邊形和三角形問(wèn)題來(lái)解決．在學(xué)習(xí)時(shí)注意它們的作用，掌握這些輔助線的使用對(duì)于學(xué)好梯形內(nèi)容很有幫助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．

性質(zhì)：（1）等腰梯形的同一底邊上的兩個(gè)角相等；等腰梯形的兩條對(duì)角線相等．

（2）同一底邊上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形．

（3）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)兩底中點(diǎn)的一條直線．2）直角梯形：有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形．考點(diǎn)三、中點(diǎn)四邊形相關(guān)問(wèn)題中點(diǎn)四邊形的概念：把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．若中點(diǎn)四邊形為矩形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線互相垂直；

若中點(diǎn)四邊形為菱形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線相等；

若中點(diǎn)四邊形為正方形，則原四邊形滿足條件對(duì)角線互相垂直且相等．【要點(diǎn)詮釋】中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的對(duì)角線的位置和數(shù)量關(guān)系決定．【典型例題】類型一、特殊的平行四邊形的應(yīng)用【高清課堂:多邊形與特殊平行四邊形例2】1.在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線EF、GH，分別交平行四邊形的四條邊于E、G、F、H四點(diǎn)，連結(jié)EG、GF、FH、HE.（1）如圖①，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，當(dāng)EF⊥GH時(shí)，四邊形EGFH的形狀是；（3）如圖③，在（2）的條件下，若AC=BD，四邊形EGFH的形狀是；（4）如圖④，在（3）的條件下，若AC⊥BD，試判斷四邊形EGFH的形狀，并說(shuō)明理由.【思路點(diǎn)撥】中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的對(duì)角線的位置和數(shù)量關(guān)系決定．【答案與解析】（1）四邊形EGFH是平行四邊形；

證明：∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，

∴點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)稱中心；

∴EO=FO，GO=HO；

∴四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）菱形；（提示：菱形的對(duì)角線垂直平分）

（3）菱形；（提示：當(dāng)AC=BD時(shí)，對(duì)四邊形EGFH的形狀不會(huì)產(chǎn)生影響，故結(jié)論同（2））

（4）四邊形EGFH是正方形；

證明：∵AC=BD，

∴平行四邊形ABCD是矩形；

又∵AC⊥BD，

∴平行四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；

∵EF⊥GH，

∴∠GOF=90°；

∴∠BOG=∠COF；

∴△BOG≌△COF（ASA）；

∴OG=OF，∴GH=EF；

由（3）知四邊形EGFH是菱形，

又EF=GH，

∴四邊形EGFH是正方形．【總結(jié)升華】主要考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握各特殊四邊形的聯(lián)系和區(qū)別是解答此類題目的關(guān)鍵．2．動(dòng)手操作：在一張長(zhǎng)12cm、寬5cm的矩形紙片內(nèi)，要折出一個(gè)菱形．小穎同學(xué)按照取兩組對(duì)邊中點(diǎn)的方法折出菱形EFGH（見(jiàn)方案一），小明同學(xué)沿矩形的對(duì)角線AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（見(jiàn)方案二）．

（1）你能說(shuō)出小穎、小明所折出的菱形的理由嗎？

（2）請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，比較小穎和小明同學(xué)的折法中，哪種菱形面積較大？

【思路點(diǎn)撥】（1）、要證所折圖形是菱形，只需證四邊相等即可．

（2）、按照?qǐng)D形用面積公式計(jì)算S=30和S=35.21，可知方案二小明同學(xué)所折的菱形面積較大．【答案與解析】（1）小穎的理由：依次連接矩形各邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是菱形，

小明的理由：∵ABCD是矩形，

∴AD∥BC，則∠DAC=∠ACB，

又∵∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB，

∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB，

∴AE=EC=CF=FA，

∴四邊形AECF是菱形．

（2）方案一：

S菱形=S矩形-4S△AEH=12×5-4××6×=30（cm）2，

方案二：

設(shè)BE=x，則CE=12-x，

∴AE==

由AECF是菱形，則AE2=CE2∴x2+25=（12-x）2，

∴x=，

S菱形=S矩形-2S△ABE=12×5-2××5×≈35.21（cm）2，

比較可知，方案二小明同學(xué)所折的菱形面積較大．【總結(jié)升華】本題考查了矩形的性質(zhì)和菱形的判定，以及圖形面積的計(jì)算與比較．舉一反三：【高清課堂:多邊形與特殊平行四邊形例6】【變式】如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若BC=3，則折痕CE的長(zhǎng)為（）.A.B．C．4

D．5【答案】A.類型二、梯形的應(yīng)用3.（2014?黃州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，延長(zhǎng)BA至D，使AD=AB，點(diǎn)E、F分別是邊BC、AC的中點(diǎn)．（1）判斷四邊形DBEF的形狀并證明；（2）過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC交DF于G，求證：AG=DG．【思路點(diǎn)撥】（1）利用梯形的判定首先得出四邊形DBEF為梯形，進(jìn)而得出四邊形HFEB是平行四邊形，得出BE=FD進(jìn)而得出答案；（2）利用四邊形DBEF為等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案與解析】（1）解：四邊形DBEF為等腰梯形，理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH∥BC，交AB于點(diǎn)H，∵FH∥BC，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴AH=BH=AB，EF∥AB，顯然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四邊形DBEF為梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∵CA⊥AB，∴CA是DH的中垂線，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四邊形HFEB是平行四邊形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四邊形DBEF為等腰梯形；（2）證明：∵四邊形DBEF為等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=DG．【總結(jié)升華】此題主要考查了等腰梯形的判定以及其性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出BE=FD是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，則CE的長(zhǎng)為（）.A.B.C.2.5D.2.3【答案】D.類型三、特殊四邊形與其他知識(shí)結(jié)合的綜合運(yùn)用4.（2015?北京）在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF=BE，連接AF，BF．（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求證：AF平分∠DAB．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB與CD的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定，可得答案；（2）根據(jù)