19.3 正方形 華師大版八年級(jí)下冊(cè)素養(yǎng)提升練習(xí)(含解析)

第19章矩形、菱形與正方形19.3正方形基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1正方形的定義及性質(zhì)1.(2022福建泉州七中期中)平行四邊形、矩形、菱形、正方形共有的性質(zhì)是()A.對(duì)角線互相平分 B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相垂直 D.對(duì)角形互相垂直平分2.(2023寧夏吳忠三中期中)如圖,正方形ABCD內(nèi)的△BEC為正三角形,則∠DEA的度數(shù)為()A.130° B.120° C.135° D.150°3.(2023黑龍江齊齊哈爾模擬)如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在BC,CD上,連結(jié)AE,BF,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件:,使△ABE≌△BCF.

4.(2023湖南懷化中考)如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的一點(diǎn),PE⊥AD于點(diǎn)E,PE=3,則點(diǎn)P到直線AB的距離為.

5.【教材變式·P121習(xí)題T1】(2022福建莆田八中期末)如圖,已知正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊BC上,點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上,且DF=BE.求證:AF⊥AE.6.(2023湖南長(zhǎng)沙實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)期中)如圖,在正方形ABCD中,AC為對(duì)角線,E為AC上一點(diǎn),連結(jié)EB,ED.(1)求證:△BEC≌△DEC;(2)延長(zhǎng)BE,交AD于點(diǎn)F,若∠BED=120°,求∠DFE的度數(shù).知識(shí)點(diǎn)2正方形的判定7.(2022湖南衡陽中考)下列命題為假命題的是()A.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形B.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形C.有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形D.有一組鄰邊相等的矩形是正方形8.如圖,將正方形ABCD的各邊AB,BC,CD,DA順次延長(zhǎng)至E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH,則四邊形EFGH是()A.平行四邊形 B.菱形C.矩形 D.正方形9.如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)你添加一個(gè)條件:,使矩形ABCD是正方形.

10.(2022湖南邵陽中考)如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F在對(duì)角線BD上,且BE=DF,OE=OA.求證:四邊形AECF是正方形.11.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分別為E,F,求證:四邊形CFDE是正方形.12.【新獨(dú)家原創(chuàng)】如圖,在三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于D,AE平分∠CAF,CE⊥AE于點(diǎn)E,點(diǎn)F,A,B在一條直線上.(1)求證:四邊形ADCE是矩形;(2)連結(jié)ED交AC于點(diǎn)O,若∠AOE=2∠B,求證:四邊形ADCE是正方形.能力提升全練13.(2023山東濱州陽信期中,9,★☆☆)如圖,在正方形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.E、F分別為AC、BD上的點(diǎn),且OE=OF,連結(jié)AF,BE,EF.若∠AFE=25°,則∠CBE的度數(shù)為()A.50° B.55° C.65° D.70°14.【教材變式·P125T11】(2023廣東東莞期中,10,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OM,ON分別交BC,CD于點(diǎn)E,F,且∠EOF=90°,OC,EF交于點(diǎn)G.有下列結(jié)論:①△DOF≌△COE;②CF=BE;③四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的14;④OF2+OE2=EF2.其中正確的是(A.③④ B.①②③C.①②④ D.①②③④15.【半角模型】(2023重慶中考A卷,9,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在BC,CD上,連結(jié)AE,AF,EF,∠EAF=45°.若∠BAE=α,則∠FEC一定等于()A.2α B.90°-2α C.45°-α D.90°-α16.(2022湖北恩施州中考,18,★☆☆)如圖,已知四邊形ABCD是正方形,G為線段AD上任意一點(diǎn),CE⊥BG于點(diǎn)E,DF⊥CE于點(diǎn)F.求證:DF=BE+EF.17.(2023湖南懷化通道期中,23,★☆☆)分別以△ABC的邊AB、AC為邊,在△ABC的外部作正方形ABDG和正方形ACHK,連結(jié)GC,BK,求證:(1)GC=BK;(2)GC⊥BK.18.(2022河南南陽臥龍期中,19,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作PE⊥AB于點(diǎn)E,PF⊥BC于點(diǎn)F,若正方形的面積為9,求四邊形PEBF的周長(zhǎng).19.(2023浙江紹興中考,22,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,G是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)(與點(diǎn)B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分別為垂足.連結(jié)EF,AG,并延長(zhǎng)AG交EF于點(diǎn)H.(1)求證:∠DAG=∠EGH;(2)判斷AH與EF是否垂直,并說明理由.20.(2023山東青島一模,23,★★☆)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F,G,H分別在邊AB,BC,CD,DA上,AE=CG,AH=CF,且EG平分∠HEF.(1)求證:△AEH≌△CGF;(2)若∠EFG=90°.求證:四邊形EFGH是正方形.素養(yǎng)探究全練21.【推理能力】(2022安徽宣城六中月考)我們給出如下定義:順次連結(jié)任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形.(1)如圖①,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),中點(diǎn)四邊形EFGH是;

(2)如圖②,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想;(3)若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀(不必證明).22.【推理能力】(2022四川遂寧安居期末)四邊形ABCD是正方形,G是直線BC上任意一點(diǎn),BE⊥AG于點(diǎn)E,DF⊥AG于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)(如圖1),易證DF-BE=EF.(1)當(dāng)點(diǎn)G在BC延長(zhǎng)線上時(shí),在圖2中補(bǔ)全圖形,寫出DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系,并給出理由;(2)當(dāng)點(diǎn)G在CB延長(zhǎng)線上時(shí),在圖3中補(bǔ)全圖形,寫出DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系,不用給出理由.圖1圖2圖3

答案全解全析1.A矩形、菱形、正方形、平行四邊形都具有對(duì)角線互相平分的性質(zhì),故選A.2.D∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,∵△BEC是正三角形,∴BE=BC=EC,∠EBC=∠BEC=∠ECB=60°,∴BA=BE,即△BAE是等腰三角形,∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°,∴∠BAE=∠BEA=180°-30°2=75°,∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=90°-75°=15°,同理,∠EDA=15°,∴∠DEA=180°-∠EAD-∠EDA=180°-15°-15°=150°.故選3.答案BE=CF(答案不唯一)解析添加BE=CF,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,在△ABE與△BCF中,AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°,BE4.答案3解析如圖,過點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F,∵四邊形ABCD為正方形,∴AC平分∠BAD,又∵PE⊥AD,PF⊥AB,∴PE=PF=3,∴點(diǎn)P到直線AB的距離為3.5.證明∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠ADF=∠BAD=90°,在△ABE和△ADF中,AB∴△ABE≌△ADF(S.A.S.),∴∠BAE=∠FAD,∵∠BAE+∠EAD=90°,∴∠FAD+∠EAD=90°,即∠EAF=90°,∴AF⊥AE.6.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴CB=CD,∠ECB=∠ECD=45°,在△BEC和△DEC中,CB∴△BEC≌DEC(S.A.S.).(2)∵△BEC≌DEC,∴∠CEB=∠CED,∵∠BED=120°,∴∠CEB=60°,∴∠EBC=180°-∠ECB-∠BEC=75°,∵DF∥BC,∴∠DFE+∠EBC=180°,∴∠DFE=105°.7.C有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形,不一定是正方形,故原命題是假命題,故選C.8.D∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,∴∠FBE=∠GCF=∠HDG=∠EAH=90°,∵BE=CF=DG=AH,∴AB+BE=BC+CF=CD+DG=DA+AH,即AE=BF=CG=DH,在△FBE和△GCF中,BE=CF,∠FBE∴EF=FG,∠BFE=∠CGF,∵∠GCF=90°,∴∠CGF+∠GFC=90°,∴∠BFE+∠GFC=90°,即∠EFG=90°,同理可得△GCF≌△HDG,△HDG≌△EAH,△EAH≌△FBE,∴FG=GH,GH=HE,HE=EF,∴EF=FG=GH=HE,∴四邊形EFGH是菱形,又∠EFG=90°,∴四邊形EFGH是正方形.故選D.9.答案AB=AD(答案不唯一)解析∵四邊形ABCD是矩形,∴添加AB=AD時(shí),四邊形ABCD是正方形.答案不唯一.10.證明∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF,∴四邊形AECF是菱形.∵OE=OA,∴EF=AC,∴四邊形AECF是正方形.11.證明∵∠ACB=90°,DE⊥BC,DF⊥AC,∴四邊形CFDE是矩形.又∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,∴DE=DF.∴四邊形CFDE是正方形(有一組鄰邊相等的矩形是正方形).12.證明(1)AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵AD平分∠BAC,AE平分∠FAC,∴∠DAC+∠CAE=90°,∴∠DAE=90°,∵CE⊥AE,∴∠AEC=90°,∴四邊形ADCE是矩形.(2)如圖,∵四邊形ADCE為矩形,∴AC=DE,OE=OD,OA=OC,∴OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠ODC,∵∠AOE=∠COD=2∠B,∴2∠B+∠OCD+∠ODC=180°,∴4∠B=180°,∴∠B=45°,∴∠ACB=45°,∴∠CAB=90°,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠ACD=45°,∴AD=CD,又∵四邊形ADCE為矩形,∴四邊形ADCE是正方形.能力提升全練13.C∵四邊形ABCD是正方形,∴∠AOB=∠AOD=90°,OA=OB=OD=OC.∵OE=OF,∴△OEF為等腰直角三角形,∴∠OEF=∠OFE=45°,∵∠AFE=25°,∴∠AFO=∠AFE+∠OFE=70°,∴∠FAO=20°.在△AOF和△BOE中,OA∴△AOF≌△BOE(S.A.S.).∴∠FAO=EBO=20°,∵OB=OC,∴△OBC是等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°,∴∠CBE=∠EBO+∠OBC=65°.故選C.14.D①在正方形ABCD中,OC=OD,∠COD=90°,∠ODC=∠OCB=45°,∵∠EOF=90°,∴∠COE+∠COF=90°,∵∠COF+∠DOF=90°,∴∠COE=∠DOF,在△COE和△DOF中,∠∴△COE≌△DOF(A.S.A.),故①正確;②∵△COE≌△DOF,∴CE=DF,∵四邊形ABCD為正方形,∴BC=CD,∴BE=CF,故②正確;③由①可得四邊形CEOF的面積與△OCD的面積相等,∴四邊形CEOF的面積為正方形ABCD面積的14,故③正確④在Rt△EOF中,∠EOF=90°,根據(jù)勾股定理,得OE2+OF2=EF2,故④正確.綜上所述,正確的是①②③④,故選D.15.A在正方形ABCD中,AD=AB,∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△ABG,如圖所示.則AF=AG,∠DAF=∠BAG,∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠GAE=∠FAE=45°,在△GAE和△FAE中,AG=AF,∠GAE∴∠AEF=∠AEG,∵∠BAE=α,∴∠AEB=90°-α,∴∠AEF=∠AEB=90°-α,∴∠FEC=180°-∠AEF-∠AEB=180°-2×(90°-α)=2α,故選A.16.證明∵四邊形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCD=90°,∵CE⊥BG,DF⊥CE,∴∠BEC=∠DFC=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF,∴∠CBE=∠DCF,在△CBE和△DCF中,∠∴△CBE≌△DCF(A.A.S.),∴BE=CF,CE=DF,∵CE=CF+EF,∴DF=BE+EF.17.證明(1)∵四邊形ABDG和四邊形ACHK均是正方形,∴AG=AB,AC=AK,∠GAB=∠CAK=90°,∴∠GAC=∠BAK,∴△GAC≌△BAK(S.A.S.),∴CG=BK.(2)如圖,記CG,BK的交點(diǎn)為T,AC,BK的交點(diǎn)為N,∵△GAC≌△BAK,∴∠ACG=∠AKB,∵∠ANK=∠TNC,∠CAK=90°,∴∠CTN=∠CAK=90°,∴GC⊥BK.18.解析∵正方形的面積為9,∴AB=BC=3,∠ACB=∠BAC=45°,∵PE⊥AB,PF⊥BC,∴∠AEP=∠PFC=90°,∴△APE和△PCF都是等腰直角三角形,∴AE=PE,PF=CF,∴四邊形PEBF的周長(zhǎng)=BE+PE+BF+PF=BE+AE+BF+CF=AB+BC=3+3=6.19.解析(1)證明:在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,∴∠ADE=∠GEC=90°,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.(2)AH⊥EF,理由如下:連結(jié)GC交EF于點(diǎn)O,如圖,∵BD為正方形ABCD的對(duì)角線,∴∠ADG=∠CDG=45°,又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(S.A.S.),∴∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中,∠ECF=90°,又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四邊形FCEG為矩形,∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC,由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.20.證明(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠A=∠C.在△AEH與△CGF中,AE∴△AEH≌△CGF(S.A.S.).(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠D.∵AE=CG,AH=CF,∴EB=DG,BF=HD.∴△BEF≌△DGH(S.A.S.),∴EF=HG.又∵△AEH≌△CGF,∴EH=GF.∴四邊形EFGH為平行四邊形.∴EH∥FG,∴∠HEG=∠FGE.∵EG平分∠HEF,∴∠HEG=∠FEG,∴∠FGE=∠FEG,∴EF=GF,∴平行四邊形EFGH是菱形,又∵∠EFG=90°,∴四邊形EFGH是正方形.素養(yǎng)探究全練21.解