高中數(shù)學(xué)第二章隨機變量及其分布2.2二項分布及其應(yīng)用2.2.1省公開課一等獎新名師獲獎?wù)n

2.2二項分布及其應(yīng)用2.2.1條件概率

1/622/62主題1條件概率概念1.三張獎券中只有一張能中獎,現(xiàn)分別由三名同學(xué)無放回地抽取,問最終一名同學(xué)抽到中獎獎券概率是否比前兩名同學(xué)小.3/62提醒:若抽到中獎獎券用“Y”表示,沒有抽到用“”表示,那么三名同學(xué)抽獎結(jié)果共有三種可能:

用B表示事件“最終一名同學(xué)抽到中獎獎券”,則B僅包含一個基本事件.由古典概型計算概率公式可知,最終一名同學(xué)抽到中獎獎券概率為.4/622.假如已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券,那么最終一名同學(xué)抽到中獎獎券概率又是多少?5/62提醒:因為已知第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券,所以可能出現(xiàn)基本事件只有而“最終一名同學(xué)抽到中獎獎券”包含基本事件仍是.由古典概型計算概率公式可知,最終一名同學(xué)抽到中獎獎券概率為.6/623.設(shè)A表示事件“第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券”,AB表示事件“第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券,而最終一名同學(xué)抽到中獎獎券”,B|A表示事件“已知第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券條件下,最終一名同學(xué)抽到中獎獎券”,試求P(A),P(AB),P(B|A)三者間關(guān)系?7/62提醒:P(A)=,P(AB)=,P(B|A)=,所以P(B|A)=.8/62結(jié)論:條件概率概念設(shè)A,B為兩個事件,且P(A)>0,稱P(B|A)=為在事件A發(fā)生條件下,事件B發(fā)生條件概率.P(B|A)讀作__發(fā)生條件下__發(fā)生概率.AB9/62【微思索】1.若事件A,B互斥,則P(B|A)是多少?提醒:A與B互斥,即A,B不一樣時發(fā)生,所以P(AB)=0,所以P(B|A)=0.2.若P(A)≠0,則P(AB)=P(B|A)·P(A),這種說法正確嗎?提醒:正確,由P(B|A)=得P(AB)=P(B|A)·P(A).10/62主題2條件概率性質(zhì)1.依據(jù)條件概率定義以及概率范圍,試寫出條件概率范圍?提醒:因為P(B|A)=(P(A)>0),且每個事件概率都大于或等于0且小于或等于1.所以0≤P(B|A)≤1.11/622.假如B和C是兩個互斥事件,試寫出求P(B∪C|A)公式?提醒:因為B與C是互斥事件,所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).12/62結(jié)論:條件概率性質(zhì)(1)P(B|A)∈______.(2)假如B與C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=______________.[0,1]P(B|A)+P(C|A)13/62【微思索】對任意兩兩不相容事件Ai(i=1,2,…),怎樣求P(Ai|B)概率.提醒:P(

Ai|B)=

P(Ai|B).14/62【預(yù)習(xí)自測】1.以下式子成立是(

)A.P(A|B)=P(B|A)

B.0<P(B|A)<1C.P(AB)=P(B|A)·P(A) D.P(AB|A)=P(B)15/62【解析】選C.由P(B|A)=得P(AB)=P(B|A)P(A),而P(A|B)=知A不正確,C正確;當P(B)為零時知P(B|A)=0,所以B也不正確;D選項應(yīng)是P(AB|A)=P(B|A),故D不正確.16/622.已知則P(AB)=

(

)

【解析】選C.由P(B|A)=得P(AB)=P(B|A)P(A)=

17/623.把一枚硬幣任意拋擲三次,事件A=“最少一次出現(xiàn)正面”,事件B=“恰有一次出現(xiàn)正面”,則P(B|A)=(

)

18/62【解析】選A.由題意,所以P(B|A)=19/624.拋擲紅、白兩枚骰子,事件A=“紅骰子出現(xiàn)3點”,事件B=“白骰子出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”,則P(A|B)=_______.20/62【解析】利用條件概率定義求解.P(A|B)=

答案:

21/625.將一顆骰子先后拋擲兩次,在朝上一面數(shù)字之和為6條件下,兩次都為偶數(shù)概率是__________.【解析】朝上一面數(shù)字之和為6情況有5種,兩次都是偶數(shù)且數(shù)字之和為6情況有2種,所求概率為.答案:

22/626.高二(1)班和高二(2)班兩班共有學(xué)生120名,其中女同學(xué)50名,若(1)班有70名同學(xué),而女生30名,問在碰到(1)班同課時,恰好碰到一名女同學(xué)概率.(仿照教材P53例1解析過程)23/62【解析】在碰到(1)班同課時,恰好碰到一名女同學(xué)概率即為A發(fā)生條件下,B發(fā)生概率,由題意可知n(A)=70,n(AB)=30.由條件概率公式求得24/62類型一條件概率計算【典例1】現(xiàn)有6個節(jié)目準備參加比賽,其中4個舞蹈節(jié)目,2個語言類節(jié)目,假如不放回地依次抽取2個節(jié)目,求:(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目標概率.(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目標概率.25/62(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目標條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目標概率.26/62【解題指南】先設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B,再求P(A),P(AB),再由條件概率計算公式求P(B|A).27/62【解析】設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B,則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事件AB.28/62(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個事件數(shù)為n(Ω)==30.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理n(A)==20,得P(A)=(2)因為n(AB)==12,所以P(AB)=29/62(3)方法一:由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈節(jié)目標條件下,第2次抽到舞蹈節(jié)目標概率為P(B|A)=方法二:因為n(AB)=12,n(A)=20,所以P(B|A)=30/62【方法總結(jié)】利用縮小基本事件范圍計算條件概率方法將原來基本事件全體Ω縮小為已知條件事件A,原來事件B縮小為AB.而A中僅包含有限個基本事件,每個基本事件發(fā)生概率相等,從而能夠在縮小事件空間上利用古典概型公式計算條件概率,即P(B|A)=31/62

,這里n(A)和n(AB)計數(shù)是基于縮小基本事件范圍.32/62【鞏固訓(xùn)練】設(shè)某種動物能活到20歲概率為0.8,能活到25歲概率為0.4,現(xiàn)有一只20歲這種動物,問它能活到25歲概率是多少?33/62【解析】設(shè)事件A為“能活到20歲”,事件B為“能活到25歲”,則P(A)=0.8,P(B)=0.4,而所求概率為P(B|A),因為B?A,故AB=B,34/62于是P(B|A)==0.5,所以一只20歲這種動物能活到25歲概率是0.5.35/62【賠償訓(xùn)練】從混有5張假鈔20張百元現(xiàn)金中任意抽取兩張,將其中一張放到驗鈔機上檢驗發(fā)覺是假鈔,求兩張都是假鈔概率.36/62【解析】若A表示“抽到兩張中最少有一張為假鈔”,B表示“抽到兩張都是假鈔”,則所求概率為P(B|A).因為P(AB)=P(B)=,P(A)=,所以P(B|A)=37/62類型二條件概率性質(zhì)及應(yīng)用【典例2】(1)若B,C是互斥事件且P(B|A)=,P(C|A)=則P(B∪C|A)=

(

)

38/62(2)一袋中有6個黑球,4個白球.依次取出3個球,不放回,已知第一次取出是白球,求第三次取出黑球概率.【解題指南】(1)可直接利用條件概率性質(zhì)P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)求解.(2)第三次取出黑球是在第一次取得白球條件下發(fā)生,符合條件概率,所以可用條件概率公式求解.39/62【解析】(1)選D.因為B,C是互斥事件,所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=(2)設(shè)A={第一次取出白球},C={第三次取出白球},則

40/62【延伸探究】1.典例(2)中條件“不放回”改為“放回”,則結(jié)論如何?【解析】有放回,則第三次取球不受第一次取球影響,記第三次取到黑球為事件D,則P(D)=41/622.典例(2)中條件不變,改為求第三次取出白球概率.【解析】由例題知P(C|A)=

42/62【方法總結(jié)】復(fù)雜條件概率問題處理策略對于比較復(fù)雜事件,能夠先分解為兩個(或若干個)較簡單互斥事件并,求出這些簡單事件概率,再利用加法公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)即得所求復(fù)雜事件概率.43/62【賠償訓(xùn)練】1.在某次考試中,要從20道題中隨機地抽出6道題,若考生最少能答對其中4道題即可經(jīng)過;若最少能答對其中5道題就取得優(yōu)異,已知某考生能答對20道題中10道題,而且知道他在這次考試中已經(jīng)經(jīng)過,求他取得優(yōu)異成績概率.44/62【解析】設(shè)事件A為“該考生6道題全答對”,事件B為“該考生答對了其中5道題,另一道答錯”,事件C為“該考生答對了其中4道題,而另2道題答錯”,事件D為“該考生在這次考試中經(jīng)過”,事件E為“該考生考試中取得優(yōu)異”,則A,B,C兩兩互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B.45/62由古典概型概率公式及加法公式可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=,P(AD)=P(A),P(BD)=P(B),P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)

46/62故所求概率為.47/622.甲袋中有2個白球和4個紅球,乙袋中有1個白球和2個紅球,現(xiàn)在隨機地從甲袋中取出一球放入乙袋,然后從乙袋中隨機地取出一球,問從乙袋中取出是白球概率是多少?48/62【解析】設(shè)A表示事件“從甲袋中移入乙袋中球是白球”,B表示事件“最終從乙袋中取出是白球”.所以

P(B)=P(A)P(B|A)+49/62【誤區(qū)警示】解答本題易出現(xiàn)以下兩點錯誤:一是不能分清事件A、事件B、事件AB以及事件B|A與事件B|;二是將P(B)=P(A)P(B|A)+誤認為P(B)=P(A)P(B|A).50/62類型三幾何概型中條件概率【典例3】(1)如圖所表示正方形被平均分成9個部分,向大正方形區(qū)域隨機地投擲一個點(每次都能投中),設(shè)投中最左側(cè)3個小正方形區(qū)域事件為A,投中最上面3個小正方形或中間1個小正方形區(qū)域事件記為B,則P(A|B)=________.51/62(2)(·福州高二檢測)如圖,EFGH是以O(shè)為圓心,半徑為1圓內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi),用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”,則P(B|A)=____.52/62【解題指南】(1)借助圖形,分清A,B,AB,A|B各個事件是什么,然后求其概率.(2)此題是幾何概型問題,用面積法求出事件A概率P(A),同理求出P(AB),再依據(jù)條件概率公式求出P(B|A).53/62【解析】(1)依題意知: