2018年重慶理工大學(xué)考研專業(yè)課試題822高等代數(shù)（822）（A卷）

重慶理工大學(xué)碩士研究生試題專用紙第頁(共4頁)重慶理工大學(xué)2018年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題學(xué)院名稱：理學(xué)院學(xué)科、專業(yè)名稱：數(shù)學(xué)，統(tǒng)計(jì)學(xué)考試科目（代碼）：高等代數(shù)（822）（A卷）（試題共4頁）注意：1.所有試題的答案均寫在專用的答題紙上，寫在試題紙上一律無效。2.試題與答題紙裝入原信封內(nèi)交回。一、填空題（每小題3分，共15分）1.方程的所有根為________________.2.設(shè),,為2階單位矩陣,則________________.3.方程組有解的充要條件是________________.4.已知為3階方陣,與相似,且的特征值為1,2,3.設(shè)為的伴隨矩陣，則________________.5.已知實(shí)二次型經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形,則________________.二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)為數(shù)域上的多項(xiàng)式,則下列說法正確的是().(A)若,則(B)若,則(C)若互素,則兩兩互素(D)若,則或2.設(shè)3階方陣的秩,則().(A)0(B)1(C)2(D)33.設(shè)向量組可由向量組線性表示,則下列說法正確的是().(A)當(dāng)時(shí),向量組必線性相關(guān)(B)當(dāng)時(shí),向量組必線性相關(guān)(C)當(dāng)時(shí),向量組必線性相關(guān)(D)當(dāng)時(shí),向量組必線性相關(guān)4.若階矩陣的任意一行的個(gè)元素之和都是,則必有一個(gè)特征值為().(A)(B)(C)0(D)5.設(shè)是歐氏空間的一個(gè)正交變換,則下列說法不正確的是().(A)保持向量的內(nèi)積不變(B)保持向量的長(zhǎng)度不變(C)不一定是可逆變換(D)在任一規(guī)范正交基下的矩陣是正交矩陣(14分)證明：設(shè)是數(shù)域上的次數(shù)大于0的多項(xiàng)式,則是一個(gè)不可約多項(xiàng)式的方冪的充分必要條件是,對(duì)上的任意多項(xiàng)式,必有,或者對(duì)某一正整數(shù),有.(18分)計(jì)算階行列式.五、(16分)設(shè)是階方陣,是階矩陣,且,證明：(1)(10分)如果,那么；(2)(6分)如果,那么.六、(18分)已知向量組,，，,,設(shè)生成的子空間為,生成的子空間為.(1)(10分)求子空間的維數(shù)；(2)(8分)求子空間的一個(gè)極大無關(guān)組.七、(20分)設(shè)是數(shù)域上所有3維行向量構(gòu)成的向量空間，是的一個(gè)線性變換,給定的一個(gè)基：，，，且在基，，下的矩陣是.(1)(8分)求出在基，，下的矩陣；(2)(6分)求出的特征值和特征向量；(3)(6分)判定能否相似對(duì)角化.八、(14分)設(shè)是階正定矩陣，是階單位矩陣.(1)(8分)證明：的伴隨矩陣是正定的；(2)(6分)證明：大于.九、(20分