數(shù)值分析課后習(xí)題及答案

第一章緒論(12)

第二章插值法(40-42)

2、當尤=1,-1,2時，/(%)=0-3,4,求/(x)的二次插值多項式。

(X-X|)(X-X2)(x-x0)(x-x2)1,(X-Xo)(Xf)

乙2(X)=>0(%1-X)U|~x2)2

(x0-xI)(x0-x2)0(x2-x0)(x2-%］)

(x+l)(x—2)(—2)(x-W+1)

［解］=0x+(—3)x+4x

(1+1)(1—2)(-1-1)(-1-2)(2-1)(2+1)

1,2cc、4,2,、5,37

——(x—3x+2)H—(x—1)=—Xd—x—

23623

3、給出/(x)=lnx的數(shù)值表用線性插值及二次插值計算ln0.54的近似值。

X0.40.50.60.70.8

Inx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144

［解］若取Xo=05,xi=0.6,

則為=/(/)=/(。5)=-0.693147，y,=/(%,)=/(0.6)=-0.510826,貝U

L.(x)="+y.=-0.693147x^06--0.510826xX~05

%一占x,-x00.5-0.60.6-0.5,

=6.931473-0.6)-5.10826*-0.5)=1.8232lx-1.604752

從而Ly(0.54)=1.82321x0.54-1.604752=0.9845334-1.604752=-0.6202186。

若取Xo=O.4,Xj=0.5>x2=0.6,則y()=/(x。)=/(0.4)=-0.916291,

y)=/(x,)=/(0.5)=-0.693147,y2=/(x2)=/(0.6)=-0.510826,則

(x-XiXx-z)(x-x)(x-x)(x-xJU-xJ

!02!

L2(X)=y0---------------+y,--------------+y2-------------—

(x0-Xi)(x0-x2)(x,-x0)(X］-x2)"(x2-x0)(x2-xj

=-0.916291X(x-85)86)(_i4)(*0.6)

。-+069347)x。一

(0.4-0.5)(0.4-0.6)(0.5-0.4)(0.5-0.6)

(x—0.4)(x—0.5)

+(—0.510826)x

(0.6-0.4)(0.6-0.5)

=-45.81455x(x2-l.lx+0.3)+69.3147x(x2-x+0.24)

-25.5413(/-0.9x+0.2)

=-2.04115x2+4.068475x-2.217097

從而4(0.54)=-2.04115x0.542+4.068475x0.54-2.217097

=-0.59519934+2.1969765-2.217097=-0.61531984

補充題：1、令x()=0,xx-\,寫出y(x)=e-*的一次插值多項式L］(x),并估計

插值余項。

[解]由%=y(Xo)=e4=1,H=y(X])=eT可知,

，/、x-x.x-x.x—]_|x-0

A(x)=孔-----+必-----0-=lx---+ex-----

0-11-0,

與一/X1-Xo

=-(x—1)+e~,x=1+(e-1—l)x

余項為&(x)=)(x-X。)(x-X])—-1),Je(0,1)?

故國(X)|<^-xmax|e'?|xmax|x(x-l)|=^xlx

2、設(shè)/(x)=/,試利用拉格朗日插值余項定理寫出以-1,0,1,2為插值節(jié)點的三次

插值多項式。

［解］由插值余項定理，有

f(4")

&(x)=---(X-Xo)(x-x,)(x-x2)(x-x3)

41

——(x+l)x(x_])(x_2)—(工2_2x)(*-_1)=%42》3—x~+2x

4!

A43232

從而L3(X)=/(x)-&(x)=x—(x—2x—x+2x)=2x+x—2x?

5、給定數(shù)據(jù)表：i=1,2,3,4,5,

X,12467

/(X,)41011

求4次牛頓插值多項式，并寫出插值余項。

［解］

王/Q)一階差商二階差商三階差商四階差商

14

21-3

5

40

~26

]_7

61

24-60

11

710

-6~nTso

由差商表可得4次牛頓插值多項式為:

57

熊(%)=4-3(x-1)+-(x-l)(x-2)-—(x-l)(x-2)(x-4)

o60

+Tso°-I，"_2)(x_4)(x—6)

插值余項為

57

=4—3(x—1)+—(x—l)(x—2)—右(無一］)(尤—2)(尤—4)

660

+—(x-l)(x-2)(x-4)(x-6)

f(5)⑶

R4(X)=(X-DU-2)(X-4)(x-6)(x-7),4(1,7)。

第三章函數(shù)逼近與計算(80-82)

26、用最小二乘法求一個形如y=a+b/的經(jīng)驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合,

并求均方誤差。

X,1925313844

%19.032.349.073.397.8

5

［解］由4=(兇(七),/(七))=Zy,=19.0+32.3+49.0+73.3+97.8=271.4。

/=1

5

d2=(夕2a

/=］

=19.0xl92+32.3x252+49.0x312+73.3x38z+97.8x442。

=6859+20187.5+47089+105845.2+189340.8=369321.5

5

乂(5(匹),(P\I))—Z1=5,

i=l

5

(夕1(王),夕2(七))=￡￡2=192+252+312+382+442

；=i'

=361+625+961+1444+1936=5327

5

(夕2(巧),夕2(七))=2%；=19"+254+314+384+444

<=l

=130321+390625+923521+2085136+3748096=7277699

55327a271.41=4.578

故法方程為,解得“

53277277699h369321.5j［b=0.047

均方誤差為之［S（x,.）-/（x"2=￡|?+如2_/（巧）］2

=6.477025+2.732409+0.555025+0.729316+4.9729=15.466675

27、觀測物體的直線運動，得出以下數(shù)據(jù)：

時間t（秒）00.91.93.03.95.0

距離s（米）010305080110

［解］設(shè)直線運動為二次多項式/（x）=a+bx+cx2,則由

6

4=3（Xj）J（Xj））=Z%=0+10+30+50+80+110=280o

/=!

6

32=（。2（七），/（￡））=2%占

i=\

=0x0+10x0.9+30x1.9+50x3+80x3.9+110x5,

=9+57+150+312+550=1078

6

4=（%（%,）J。,））=Xy>x1

i=\

=0x02+10x0.92+30X1.92+50x32+80x3.92+110x52。

=8.1+108.3+450+1216.8+2750=4533.2

6

又（夕i（XJM（*））=Z1=6,

/=1

6

（81（x,.）,gG））=（科（項）,（P\（xj）==0+0.9+1.9+3+3.9+5=14.7,

/=1

3（x,）,03（玉））=33a），<P\（x,））=（%（X,）,%（x,））

6

==02+092+］92+32+392+52=0.81+3.61+9+15.21+25=53.63

i=\

6

（夕2（巧）,夕3（￡））=（夕3（七）,夕2"1）=Z*；=03+0.93+1.93+33+39'+53

i=l

=0.729+6.859+27+59.319+125=218.907

6

（仍（七）,夕3（七））=2弁=。4+0.94+1.94+34+3.94+54

/=1'

=0.6561+13.0321+81+231.3441+625=951.0323

614.753.63a-280a=-0.5837

故法方程為14.753.63218.907b=1078,解得，8=11.0814o

53.63218.907951.0323_c_4533.2_c=2.2488

故直線運動為〃尤)=-0.5837+11.0814%+2.2488,。

補充題：1、現(xiàn)測得通過某電阻R的電流I及其兩端的電壓U如下表:

IAiiA...

uu.44...U,

試用最小二乘原理確定電阻R的大小。

［解］電流、電阻與電壓之間滿足如下關(guān)系：U=瓜。應(yīng)用最小二乘原理，求R

使得例/?)=力(1,/?-。,)2達到最小。對夕⑹求導(dǎo)得到：/(R)=2￡，R-a)小

i=\i=\

令“'(R)=0,得到電阻R為/?=上----0

*2

i=l

2、對于某個長度測量了n次，得到n個近似值事,》2,…,x“，通常取平均值

X=」(X［+x2+…+x“)作為所求長度，請說明理由。

n

［解］令8(x)=七(》-玉)2,求x使得夕(x)達到最小。對夕(x)求導(dǎo)得到：

夕'(》)=2汽(》-占)，令Q'(x)=0,得到x」方項，這說明取平均值

,=|?閆

X=—(^1+x+…+x”)在最小二乘意義下誤差達到最小。

n2

3、有函數(shù)如下表，要求用公式y(tǒng)=a+b/擬合所給數(shù)據(jù)，試確定擬合公式中的a

和bo

xi-3-2-10123

%-1.760.421.201.341.432.254.38

［解］取夕o(x)=1，Qi(x)=/,則

JJ

3

(^0(x),^0(x))=^l=7,(^0(x),^1(x))=(^1(x),^0(x))=^x,=0,

/=0i=0

6

(<P\(x),(p\(X))=WX=1588,而

r=0

66

3o（x）,y（x））=Zx=9.26,（%（x）,y（x））==180.65。故法方程為

1=0I=o

70'9.26]a=1.3229

J80.65）解得

01588」⑼8=0.11376

4、在某個低溫過程中，函數(shù)y依賴于溫度。（℃）的實驗數(shù)據(jù)為

［解］取%（6）=6，例（6）="，則

44

（8o（e）,%（e））=Ze：=30,（外⑹用⑻）=（臼（e）,%（e））=Ze；=期。,

/=1i=l

4

（a（e）M（e））=X/=354,而

/=1

44

（仰（e）,y（e））=Za?=i7.2,3（e）,y（e））=ZW%=55。故法方程為

/=!1=1

30100fa}（17.2、?口a=0.9497

=,解得

100354[bJ（55）8=-0.1129

5、單原子波函數(shù)的形式為〉，=四密，試按照最小二乘法決定參數(shù)a和b,已知

數(shù)據(jù)如下:

X0124

y2.0101.2100.7400.450

［解］對？=ae"*兩邊取對數(shù)得Iny=lna-bx,令Y=lny,A-\na,則擬合函數(shù)

變?yōu)閅=A-云，所給數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為

X0124

y0.69810.1906-0.3011-0.7985

取仰（x）=l,（px（x）=X,則

44

（80（%）,仰（幻）=21=4，（/（。夕］（》））=（例0）,夕0（》））=2占=7,

/=1/=l

4

3(X)M(X))=ZX；=21,而

i=l

44

(%(x),y(x))=Z%=-02109,伍(x),y(x))=苫七%=-3.6056。故法方程為

/=!i=l

47忖_(-0.2109、A=0.5946

721m-3.6056,解得因而擬合函數(shù)為

h=-0.3699

Y=0.5946-0.3699x，原擬合函數(shù)為y=^0-5946-0-36"1=1.8123e^3699v0

第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分（107）

2、分別用梯形公式和辛普森公式計算下列積分:

h_Z_]]76]

+

Ts=-[/(?)+2^2/(x*)+/3)]=—[-+2￡77^27

2k=i164jt=i4+(uk\

11788

［痢下勺+2自

256+P

1184242401256、"，、…八

=—[-+2n/(——+——+——+—+——+——+——)+-]=0.11140

1642576526517281733055

心77

s8=-"⑷+吃”X+1)+2Z)+/(&)]

6A=0"+耳k=l

2k+1k

7

16e-8

小卜哈丁(2k+l

t=i4.+

I16J(si

+1)?0.11157

品+年就粉尸256+公

精確值為f—^dx=-ln(4+x2)l'=-ln-=0.11157o

J,4+x2224

3)(4xdx,n-4；

［解］（略），精確值為=l：=|（27-l）=F。

4、用辛普森公式求積分fe-'dx并估計誤差。

cb-a/r/id/°+11r/i\i

S=^"⑷+4/——+/(/?)]=--[/(0)+4/^—+/(DI

[解]6I2)6I2J

1-11

J(e~0+4e2+<?-')=-(1+2.42612+0.36788)?0.63233

66

，從而艮區(qū)」一,=3.472x10-4。

Rs15118016

第五章常微分方程數(shù)值解法(141-142)

1、就初值問題y'=ax+〃，y(0)=0分別導(dǎo)出歐拉方法和改進的歐拉方法的近似

解的表達式，并與準確解y=ga/+bx相比較。

［解］由歐拉公式可知y,+］=y“+h(axn+b),即y?+1-yn=h(axn+b),從而

北+1-%=Zh(aXk+b)=Zh[a(x0+kh)+b]

k=°k=0,即

2

=Z[ahxn+kah')+bh]=ah{n+l)x0+?(〃+，ah:+(〃+V)bh

k=02

+anxn2

=y0^()+—^—ah4-nhh,又因為打二。，x0=0,所以

yn=D〃力,+nbh。再由x〃=皿，可知誤差為

/\12J「幾("DJ27>3

y(x〃)_y“=2ax"+"'〃—""2ah+〃”川

12,2-n(n-l),-nah2

=—anh+bnh--------ah2-nbh

222

K+1=y?+h(axn+h)

h

由改進的歐拉公式可知<y〃+i=+—[(axfl+h)+(axn+}+[?)],

ah....

=y〃+7(z+z+i)+劭

即y“+i-以=T(4+xn+i)+bh,從而

y“+i一>。=1?曰(4+4+1)+劭]='｛目％+(2女+1)川+胸｝

*=02*=12

ah[n+1)(1+2〃+1)(〃+1)。片/1X7.011

=—--x0+------k-------+(〃+Y)bh,即

ah｛n+1)5+1)2,2z1、77

=-----——-x0+-~~~——ah~4-(Z2+l)bh

=+x+n9

yn+]y()~~i)^又因為y()=o，x0=o,所以

M

y〃+i=萬。/+〃勵。再由Z=勵，可知誤差為

axa2222

y(xn)-yn=~n~[~^+泌h]=^anh+bnh-^-ah-nbh=0。

2、用改進的歐拉方法求解初值問題廠°<X<1,取步長力=0.1計算，

b'(0)=1

并與準確解y=-x-1+2"相比較。

互+i=得+〃(/+y.)

h一\r

y“+i=y“+][xr〃+兒+z+i+了的)]

[解]由改進的歐拉公式可知h，又由

=%+5[居+y?+x“+i+y?+/i(x?+y,,)]

h2hhh2

=(1+〃+—)y?+-x,1+1+(-+—)x?

x0=0,y()=l，A=0.1,可得y“+[=1.105xy“+0.05x“+]+0.055x“，從而

M=1.105x1+0.05x0.1+0.005x0=1.11；

y2=1.105x1.11+0.05x0.2+0.055x0.1=1.22655+0.01+0.0055=1.24205；

y3=1.105x1.24205+0.05x0.3+0.055x0.2

=1.37246525+0.015+0.011=1.39846525'

y4=1.105x1.39846525+0.05x0.4+0.055x0.3

=1.545303825+0.02+0.0165=1.58180410125,

y5=1.105x1.58180410125+0.05x0.5+0.055x0.4

=1.74789353188125+0.025+0.022=1.79489353188125

y6=1.105x1.79489353188125+0.05x0.6+0.055x0.5

=1.98335735272878125+0.03+0.0275=2.04085735272878125

為=1.105x2.04085735272878125+0.05x0.7+0.055x0.6

=2.25514737476530328125+0.035+0.033=2.32314737476530328125'

%=1.105x2.32314737476530328125+0.05x0.8+0.055x0.7

=2.56707784911566012578125+0.04+0.0385=2.64557784911566012578125'

%=1.105x2.64557784911566012578125+0.05x0.9+0.055x0.8

=2.92336352327260443898828125+0.045+0.044；

=3.01236352327260443898828125

yl0=1.105x3.01236352327260443898828125+0.05x1+0.055x0.9

=3.32866169321644890508205078125+0.05+0.0495。

=3.42816169321644890508205078125

3、用改進的歐拉方法解=-取步長力=0』計算y(0.5),并與準確解

"=0

y=-e~x+x2-x+l相比較。

［解］由改進的歐拉公式可知

工+1=>“+九(x；+x“-y“)

，=y”+5{x；+x“一yn++X?+I-［yn+/z(x；+一)}，又由%=0,

Z1,h\hQ-h),2、h,2、

=(1-6+—)yn+---(X"+)+5(x“+i+x“+i)

y0=0,h=0A,可得=0.905%+0.045㈤+X“)+0.05(X"X“M),從而

y,=0.905x0+0.045x(02+0)+0.05x(0.12+0.1)=0.0055；

22

y2=0.905x0.0055+0.045x(0.1+0.1)+0.05x(0.2+0.2)

=0.0049775+0.00495+0.012=0.0219275

為=0.905x0.0219275+0.045x(0.22+0.2)+0.05x(0.32+0.3)

=0.0198443875+0.0108+0.0195=0.0501443875

22

y4=0.905x0.0501443875+0.045x(0.3+0.3)+0.05x(0.4+0.4).

=0.0453806706875+0.01755+0.028=0.0909304706875

%=0.905x0.0909304706875+0.045x(0.42+0.4)+0.05x(0.52+0.5)

=0.0822922569721875+0.0252+0.0375=0.14499225697218755

4、用梯形方法解初值問題證明其近似解為以=(黑］,并證明當

/?70時，它收斂于原初值問題的準確解y=er。

［解］由梯形公式可知，幾+i=兀+*%，一兀+1)，從而a+g)y.+i=a一夕九，即

先+i從而汽’又由汽=1可知，y,°

2+/?\2+hJr12+3

2nh

2h+］

2-h4〃］1

limy?=lim=lim12+/Jlim1-

力t。力2+h/?->o

—+1

2hJ

5、利用歐拉方法計算積分工J力在點x=0.5,1,152的近似值。

f_x2

［解］令>=則y=e,從而令力=0.5,利用歐拉方法得到:

［y(0)=0

州+1=方+妙(x“'%,)=%,+0.5e*，又由%=。，得至U：

%=y0+0.5xZ=0+0.5xl=0.5；

%=乃+0.5xe°了=0.5+0.5xe°25=1.1420127；

%=%+0.5xJ=1.1420127+0.5e=2.5011536；

52225

y4=y3+0.5xe'-=2.5011536+0.5e-=7.2450215o

12、將下列方程化為一階方程組：

1)y*-3/+2y=0,y(0)=1,)/(0)=1；

y=py(o)=1

［解］令y'=p，貝Up'-3p+2y=0,p(0)=1,從而有，

p，=3p_2yp(0)=1'

y、011

再令y=，則初值問題為片=Y,r(o)=o［精確解為y(x)=e，］

p.3-27

3)%"?)=_；,y"Q)=一4/=J/2+y2,x(o)=0.4,，(0)=0,y(0)=0,)/(0)=2。

)r

rx/=p

y'=q

［解］令x'(f)=p，y'(x)=q,則p'=、，q=―從而有一-—?初值

13

rrr

x(0)=0.4

%y(o)=0

p(O)=0

q(0)=2

第六章方程求根(163T64)

1、用二分法求方程一一尤—1=0的正根，要求誤差<0.05。

[解]令〃x)=%2一尤一1,則〃0)=-1,/(2)=1,所以有根區(qū)間為(0,2)；

又因為了⑴=一1,所以有根區(qū)間為(1,2)；

/(1.5)=1S—1.5-1=-0.25,所以有根區(qū)間為(1.5,2)；

/(1.75)=1.752-1.75-1=—>0,所以有根區(qū)間為(1.5,1.75)；

16

/(1.625)=1.6252-1.625-1=—>0,所以有根區(qū)間為(1.5,1.625)；

64

__2___2L,所以有根區(qū)間為-2

11=<0,1.625；

161616256116

=-(1—+1-)=1—=1.59375,

216832

1Q1

這時它與精確解的距離<-(1.625-1—)=—<0.05o

21632

3、為求方程/一/_1=。在/=1.5附近的一個根，設(shè)將方程改寫成下列等價形

式，并建立相應(yīng)的迭代公式：

1)x=1+1/x2,迭代公式X&+1=1+；2)x3=1+x2,迭代公式+；

3)x'=—!—，迭代公式Z+]=1/“攵-1；4)%2=%3-1,迭代公式/R+]=Jx；-1o

X—1

試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似

值。

102

［解］1)設(shè)°(x)=l+—則夕'(%)=—9從而|“(1.5)|=-=—<1,所以

1.5327

迭代方法局部收斂。

._______)_2

2)設(shè)9(X)=Ml+/,則“(X)=］N1+無2)3,從而

|^(1.5)|=-xl.5(l+1.52)^=?曳<1,所以迭代方法局部收斂。

3V169

1111—

3)設(shè)(p(x)=/,則(p\x)——(x-1)2,從而|“(1.5)|=—x(0.5)2=V2>1，

Vx-122

所以迭代方法發(fā)散。

4)設(shè)0(x)=」Y一］,貝|J"(X)=］工2(入3一］)"從而

Q1Q

|^(1.5)|=-xl.5(-)2=2>1,所以迭代方法發(fā)散。

2o738

4、比較求e，+10x-2=0的根到三位小數(shù)所需的計算量：

1)在區(qū)間［0,1］內(nèi)用二分法；2)用迭代法x*+|=(2-e*)"0，取初值%=0。

［解］1)使用二分法,4f(x)=ex+10x-2,則

/(0)=-1,/⑴=e+8,有根區(qū)間為［0,1］；

/(0.5)=e05+3>0,有根區(qū)間為［0,0.5卜

/(0.25)=+0.5>0,有根區(qū)間為［0,0.25］；

/(0.125)=e°125-0.75>0,有根區(qū)間為［0,0.125］；

I-L13

/(—)=e16一一=-0.5605<0,有根區(qū)間為

168

/(a)=e記-□=0.03578>0,有根區(qū)間為—

321611632

5—39

/(2)=e64—=<0,有根區(qū)間為53

643264532

11"

--7^―3<0,

/(—)=e128有根區(qū)間為,—；

1286412832

23——141<0,

/(—)=e256-有根區(qū)間為空,」；

256112825632

472512277八-t-o2347

/(^-)=e----->0,有根區(qū)間為——,——；

512256256512

/,(—93^-)=e—1024-55-9>0,有根區(qū)間為衛(wèi)，旦；

10245122561024

U-r-*123931QC

從而X=-(——+)=一?土=0.090332,共二分10次。

225610242048

2-eXk2-e°2-eQA

2)使用迭代法=上記一,如Ix,=—^―=0.1,x2=—^―=0.0894829,

2_000894829，0.0906391

-........=0.0906391,-........=0.0905126,

1010

即x*=X4=0.0905126，共迭代4次。

7、用下列方法求/（外=1-3》-1=0在x0=2附近的根。根的準確值

x*=1.87938524…，要求計算結(jié)果準確到四位有效數(shù)字。

1）用牛頓法;2）用弦截法，取/=2,X]=1.9；3）用拋物線法，取X。=Lx1=3,x2-2

「ARI,、f(%,.)x；—3x*—12x；+1

［解］1)4+1=一一*.k-=-4—，

Xk-=xkx0=2,

"f(xk)3x1-33xf-3

］7

2(—)3+1

2x2,+112=1.888889,

x=—-----=吧上=1.87945,迭代停止。

X.=----；---2

3x22-3922_5616

9

—~必（-）

X/+1

/K）-"2

2)，光。=2,

勺J=>"(4+占1)+1

(x；-3々-1)-(x：_|-3x*_i-1)XkXkXk-l+X；-1-3

1.9x2x(1.9+2)+l15.821582…。，皿

%=1.n9,x,=------------'工——=-----=-----=1.881094

121.92+1.9X2+22-38.41841

1582,,、1582,c、,

----xl.9x(-----+1.9)+1

841841

幽>+幽xl.9+1.92-3

,迭代停止。

841841

________9558143.42+84/1026542442

1.879411

15822+1582xl.9x841+0.61x8412546204321

3)x,+l=xA.-------=,其中

］

co=f[xk,xk_x]+f[xk,xk_x,xk_2](xk-,Xo=1,X|=3,/=2，故

f(xi)~f(xo)_17-(一3)_1八

/(x0)=-3,/(xl)=17,/(x2)=1,/[Xo，X]]=——1U,

X|-x03-1

/區(qū))-/但)1-17

行"]==16,

x2-X|2-3

〃苞,々］一仆0，》/_16-10

f{x0,x^,x2]==6,0=16+6(2-3)=10,

2-1

1

“2-------z=2----？-==1.9465745,下略。

10+V102-4x1x610+V76

8、分別用二分法和牛頓法求x-tanx=0的最小正根。

［解］參見第6題,x*=4.493424。

13、應(yīng)用牛頓法于方程/（均=1-==0,導(dǎo)出求右的迭代公式，并求VT石的

x

值。

22

叭Xk)一.-a_xk+a_l,a

[解]令g(x)=/一a,則4+1-；----_xi：---------------------—x.H------

(p(xk)2xk2xk22xk

補充題

3、利用適當?shù)牡袷阶C明lim,2+百二?+我=2o

k—>0°\_______________________,

[xo=0L

[證明]考慮迭代格式,——，則x,=V2,

14+1=J2+4,k=0,1,2,…

x2=，2+，....,與=，2++,—F0

令(p(x)-yj2+x，貝U(p\x)--Jo當xe[0,2]時，

2y/2+X

(p(x)&[^7(0),^>(2)]=[5/2,2]c[0,2],并且,W8'(x)W—l廣，因而迭代格式產(chǎn)生的序

42,2

列收斂于方程x=在［0,2］內(nèi)的唯一根x*=2。

4、設(shè)a為正整數(shù)，試建立一個求工的牛頓迭代公式，要求在迭代公式中不含有

除法運算，并考慮公式的收斂性。

［解］考慮方程/(x)=L-a=0,則工為以上方程的根。/(x)=-A，用牛頓迭

xax

1

----CL

代公式xM=xk-)=xk-^―■—=xk(2-axk),k=0,1,2,…。迭代函數(shù)

/(4)_±

(p(x)=x(2-ax)中不含有除法運算。

2

由1-分k+1=1-axk(2-axk)=(l-axk),k=0,1,2,…遞推得到

2+，2

1-axM-(l-ax0),k=0,1,2,…，解得xk=—[1-(1-tzx0)],k=0,1,2,…,

a

1