河南省開封市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

河南省開封市第十五中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等腰三角形頂角的余弦值等于,則這個(gè)三角形底角的正弦值為（

）A

B

C

D

參考答案：C略2.在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，AB=2，AC=4，，則∠BAC為（

）A．30°

B．60°

C．120°

D．150°參考答案：D3.已知，，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.數(shù)列中，如果數(shù)列是等差數(shù)列，則

（

）

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B5.在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，M為腰BC的中點(diǎn)，則=（）A．1B．2C．3D．4參考答案：B【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】以直角梯形的兩個(gè)直角邊為坐標(biāo)軸，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式的公式求．【解答】解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立直角坐標(biāo)系．則：A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），M（．因?yàn)锳B=2CD=2，∠B=45，所以AD=DC=1，M為腰BC的中點(diǎn)，則M點(diǎn)到AD的距離=（DC+AB）=，M點(diǎn)到AB的距離=DA=所以，，所以=9/4﹣1/4=2．故答案為B6.已知△ABC中，a＝1，b＝2，c=，則∠C＝A．30°

B．30°或150°

C．60°

D．120°

參考答案：D7.已知其中為常數(shù)，若，則的值等于(

)A．－10

B．－6

C．－4

D．－2參考答案：A，則，所以，故選A。

8.下列函數(shù)中值域是的是（

）． A． B． C． D．參考答案：B∵的值域?yàn)?，的值域?yàn)?，的值域?yàn)椋x擇．9.已知函數(shù)y=|x﹣3|+1在區(qū)間[0，9]上的值域是（）A．[4，7] B．[0，7] C．[1，7] D．[2，7]參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．【分析】對(duì)x進(jìn)行討論，去掉絕對(duì)值，利用函數(shù)的單調(diào)性，求解即可．【解答】解：由題意：函數(shù)y=|x﹣3|+1，定義域?yàn)閇0，9]；當(dāng)x≥3時(shí)，函數(shù)y=x﹣2，x在[3，9]是增函數(shù)；當(dāng)x＜3時(shí)，函數(shù)y=4﹣x，x在[0，3）是減函數(shù)；故得x=3時(shí)，函數(shù)y的值最小為：1；x=9時(shí)，函數(shù)y的值最大為：7；故得函數(shù)y=|x﹣3|+1在區(qū)間[0，9]上的值域?yàn)閇1，7]．故選：C．10.已知

，若，則的值是（

）A．1

B．1或

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若四面體ABCD中，AB=CD=BC=AD=，AC=BD=，則四面體的外接球的表面積為．參考答案：6π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】將四面體補(bǔ)成長方體，通過求解長方體的對(duì)角線就是球的直徑，然后求解外接球的表面積．【解答】解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以，，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2=5，x2+z2=5，y2+z2=2，則有（2R）2=x2+y2+z2=6（R為球的半徑），所以球的表面積為S=4πR2=6π．故答案為：6π．12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________.參考答案：【分析】利用數(shù)列與的關(guān)系可求出通項(xiàng)公式.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)n=1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)，適合上式，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系式，常利用這個(gè)關(guān)系式實(shí)現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.13.設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_____.參考答案：略14.邊長為a的正三角形ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)為E、F，將△AEF沿EF折起，此時(shí)A點(diǎn)的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE，則A'B=．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定．【分析】取BC的中點(diǎn)N，連接AN交EF于點(diǎn)M，連接A′M，可證A′M⊥BM，由已知可得AM=MN==A′M，在Rt△MNB中，利用勾股定理可求MB，進(jìn)而在Rt△A′MB中，利用勾股定理可求A′B的值．【解答】解：取BC的中點(diǎn)N，連接AN交EF于點(diǎn)M，連接A′M，則A′M⊥EF．∵平面A′EF⊥平面BCFE，∴A′M⊥平面BCFE，∴A′M⊥BM，∵AM=MN=，∴A′M=，在Rt△MNB中，MB===，在Rt△A′MB中，A′B===．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與平面垂直的判斷，考查了勾股定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．15.若集合.當(dāng)集合中有2個(gè)元素時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是

▲

參考答案：；16.已知點(diǎn),點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值是

參考答案：略17.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模為______。參考答案：5【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，然后代入復(fù)數(shù)模的公式，即可求得答案．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為．故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，其中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，和復(fù)數(shù)模的公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，△OAB是邊長為4的正三角形，記△OAB位于直線x=t（0＜t＜6）左側(cè)的圖形的面積為f（t），試求f（t）的解析式．參考答案：考點(diǎn)： 函數(shù)解析式的求解及常用方法．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 根據(jù)“0＜t＜6”和圖形，分三種情況進(jìn)行討論．解答： 當(dāng)0＜t＜2時(shí)，f（t）=，當(dāng)2≤t≤4時(shí)，==，當(dāng)4＜t＜6時(shí)，，所以f（t）的解析式為．點(diǎn)評(píng)： 本題考察分段函數(shù)解析式的求解，求解時(shí)讓“直線x=t”動(dòng)起來，先觀察直線左側(cè)圖形是什么圖形，再根據(jù)對(duì)應(yīng)的面積公式來求解．19.（12分）已知函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有成立.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).參考答案：（Ⅰ）由f(1+x)=f(1－x)得，(1＋x)2＋a(1＋x)＋b＝(1－x)2＋a(1－x)＋b，整理得：(a＋2)x＝0，由于對(duì)任意的x都成立，∴a＝－2.----------------(6分)（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）可知f(x)=x2－2x+b，下面證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).設(shè)，則＝（）－（）＝（）－2（）＝（）（－2）∵，則＞0，且－2＞2－2＝0，∴＞0，即，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).---------------(12分)20.為了參加全運(yùn)會(huì)，對(duì)甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進(jìn)行了6次測試，測得他們的最大速度（m/s）的數(shù)據(jù)如表．（1）畫出莖葉圖甲273830373531乙332938342836（2）分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度（m/s）數(shù)據(jù)的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，并判斷說明選誰參加比賽更合適．參考答案：【考點(diǎn)】BA：莖葉圖．【分析】（1）由莖葉圖的特點(diǎn)確定莖葉圖的莖和葉，得到莖葉圖；（2）利用平均數(shù)公式以及標(biāo)準(zhǔn)差公式得到數(shù)據(jù)，然后比較．【解答】解：（1）由已知得到莖葉圖如圖：（2）甲的中位數(shù)是33，乙的中位數(shù)是33.5甲的平均數(shù)是=33，乙的平均數(shù)是=33甲的方差是15.67，標(biāo)準(zhǔn)差是3.96，乙的方差是12.67；標(biāo)準(zhǔn)差是3.56，乙比較穩(wěn)定一點(diǎn)，綜合比較選乙參加比賽較為合適．21.在四面體ABCD中，過棱AB的上一點(diǎn)E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點(diǎn)F，G，H（1）求證：截面EFGH為平行四邊形（2）若P、Q在線段BD、AC上，，且P、F不重合，證明：PQ∥截面EFGH參考答案：（1）證明：，∵AD∥平面EFGH，平面ADB平面EHGH=EF，AD平面ABD，∴AD∥EF∵AD∥平面EHGH，平面ADC平面EHGH=GH，AD平面ADC，.∴AD∥GH由平行公理可得EF∥GH同理可得EH∥FG∴四邊形EFGH為平行四邊形.（2）如圖在CD上取點(diǎn)M，使，連接MQ則PM∥BC∥FG，，則QM∥AD∥HGPMQM=M∴平面PMQ∥平面EHGH∵PQ平面PMQ∴PQ∥截面EFGH22.如圖，正三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過作平面與側(cè)棱、、或其延長線分別相交于、、，已知.（1）求證：⊥平面；（2）求二面角的大小.參考答案：(1)證明:依題設(shè),是的中位線,所以∥,

則∥平面,所以∥。

又是的中點(diǎn),所以⊥,則⊥。

因?yàn)椤?⊥,

所以⊥面,則⊥,

因此⊥面.

(2)作⊥于,連。因?yàn)椤推矫?

根據(jù)三垂線定理知,⊥,

就是