北京市延慶區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

延慶區(qū)2022-2023學(xué)年第二學(xué)期期中試卷高一數(shù)學(xué)2023．5本試卷共4頁，150分，考試時長120分鐘．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)交集的定義計算即可求解．【詳解】由，即，解得，則，所以．故選：B．2.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，那么角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】設(shè)角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為，因為，，由三角函數(shù)的定義，可得，即.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算和數(shù)量積的定義和計算公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】由向量，可得，又由，所以.故選：A.4.已知函數(shù)，則“是偶函數(shù)”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由三角函數(shù)的奇偶性求得的表達(dá)式，結(jié)合必要不充分條件的定義即可判斷.【詳解】是偶函數(shù)等價于，解得，在這里令，得，所以“是偶函數(shù)”是“”的必要而不充分條件.故選：B.5.已知向量，，則在上的投影數(shù)量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由投影數(shù)量的定義、數(shù)量積以及模的運算公式直接計算即可求解.【詳解】在上的投影數(shù)量是.故選：A.6.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平面向量的加減法法則進(jìn)行計算.【詳解】由題意得，，所以.故選：D.7.已知是所在平面內(nèi)的一點，為邊中點，且,那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的運算法則，準(zhǔn)確化簡，即可求解.【詳解】因為邊中點，可得，又因為，可得.故選：B.8.設(shè)，，，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性即可比較大小.【詳解】因，所以，即.故選：C.9.在中，，分別為邊，的中點，若，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，結(jié)合圖形，利用平面向量的線性運算性質(zhì)，從而得到，進(jìn)而即可求解．【詳解】由，又，所以．故選：C．10.已知函數(shù)若，，互不相等，且，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函數(shù)的簡圖，結(jié)合圖象及對稱性可得答案.【詳解】設(shè)，作出的簡圖，不妨設(shè)，由正弦函數(shù)的對稱性可知，由圖可知，即，解得，所以的取值范圍是.故選：A第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11._____________．【答案】【解析】【分析】借助正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式計算即可得.【詳解】.故答案為：.12.在半徑為的扇形中，弦長為的扇形的面積為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出扇形的圓心角，再利用扇形面積公式計算即可．【詳解】依題意可畫扇形如下，依題意可得，弦長為，則，所以該扇形的面積為．故答案為：．13.不等式的解集為_____________．【答案】【解析】【分析】先解出該不等式在一個周期內(nèi)的解集，結(jié)合三角函數(shù)周期性即可求解.【詳解】在的解集為，結(jié)合的周期為可知，不等式的解集為.故答案為：.14.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若在上是增函數(shù)，則a的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】由題意，利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】解：把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，由，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為在上是增函數(shù)，所以的最大值為，故答案為：.15.已知函數(shù)，（其中，為常數(shù)，且）有且僅有3個零點，則的值為_____________，的取值范圍是_____________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)可知必為函數(shù)的一個零點，由此求得，根據(jù)方程的根得，即可求解.【詳解】函數(shù)在上為偶函數(shù)，又函數(shù)，有且僅有3個零點，故必有一個零點為，，；結(jié)合為偶函數(shù)，函數(shù)，的零點個數(shù)，即方程在有唯一的實數(shù)根，所以在有唯一的實數(shù)根，解得，時，，時，故且，，故；故答案為：，,．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.設(shè)向量，，．（1）求；（2）若與平行，求的值；（3）求證：與垂直；（4）求的余弦值．【答案】（1）（2）（3）證明見解析（4）【解析】【分析】（1）由向量線性運算的坐標(biāo)表示以及模的運算公式即可求解；（2）由向量線性運算的坐標(biāo)表示以及向量平行可列出等式求解；（3）由向量線性運算的坐標(biāo)表示得出數(shù)量積為0即可得證；（4）由向量線性運算以及向量夾角的坐標(biāo)公式即可運算求解.【小問1詳解】因為，，所以，所以.【小問2詳解】因為，，所以，，因為與平行，所以，所以.【小問3詳解】因為，，，所以，，又因為，所以與垂直.【小問4詳解】因為，，，所以，，所以，所以的余弦值為.17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）寫出函數(shù)的解析式；（2）求的對稱軸方程；（3）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（4）函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換能得到函數(shù)的圖象．【答案】（1）；（2）；（3）單調(diào)遞增區(qū)間為；（4）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用五點作圖法求出即可得的解析式.（2）（3）利用余弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性列式求解即得.（4）利用三角函數(shù)圖象變換法則敘述變換過程.【小問1詳解】觀察圖象，得，周期，則，又圖象過點，則，即，于是，，而，則，所以函數(shù)的解析式.【小問2詳解】由，，得，，所以的對稱軸方程是.【小問3詳解】由，，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問4詳解】把函數(shù)圖象上所有點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模玫降膱D象；再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象；最后把所得圖象向左平移個單位，得到的圖象．18.已知．（1）化簡；（2）若是第二象限角，且，求的值；（3）求函數(shù)的定義域和對稱中心．【答案】（1）（2）（3）定義域為，對稱中心為【解析】【分析】（1）由商數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式整體代換即可化簡函數(shù)不等式；（2）由誘導(dǎo)公式、平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系可得，從而即可得解；（3）由題意，由整體代入法直接列式求解函數(shù)的定義域以及對稱中心即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】因為，即，因為是第二象限角，所以，所以.【小問3詳解】因為，所以，因此，即，，所以的定義域為，因此令，即，，所以的對稱中心為.19.已知函數(shù)．（1）寫出決定在上形狀的關(guān)鍵的五個點，在答題卡上完成下表：0200（2）求與的交點坐標(biāo)；（3）若對對任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2），.（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的五點作圖法，即可求解；（2）令，即，求得方程的解，進(jìn)而得到交點坐標(biāo)；（3）因為，求得，得到函數(shù)最值，結(jié)合題意，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)三角函數(shù)的五點作圖法，可得：00200【小問2詳解】解：由函數(shù)，令，即，可得或，解得或，所以與函數(shù)的交點坐標(biāo)為，.【小問3詳解】解：因為，可得，所以，當(dāng)時，即時，；當(dāng)時，即時，，對任意都有成立，即，所以，所以實數(shù)的取值范圍.20.已知，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的最大值和最小值，以及使取得這些值時的值；（2）當(dāng)時，函數(shù)的最大值是，求的解析式．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時，化簡得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）由題意得，令，可得，由時，求得，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：由向量，當(dāng)時，可得，所以，當(dāng)時，即或時，；當(dāng)時，即時，；【小問2詳解】解：由函數(shù)，令，可得，當(dāng)時，可得，即，因為二次函數(shù)的圖象開口向下，且對稱軸為，①當(dāng)時，即時，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以的最大值為；②當(dāng)時，即時，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為；③當(dāng)時，即時，此時函數(shù)上單調(diào)遞增，所以的最大值為，綜上，函數(shù)的最大值的解析式為.21.已知函數(shù)的定義域為，若存在實數(shù)，使得對于任意都存在滿足，則稱函數(shù)為“自均值函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“自均值函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)，為“自均值函數(shù)”，求的取值范圍.【答案】（1）不是，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）假設(shè)滿足條件得到，分別計算函數(shù)，的值域，不滿足條件，得到答案.（2）變換得到，的值域是，根據(jù)值域關(guān)系排除的情況，得到，計算函數(shù)最值得到，解得答案.【小問1詳解】，，若是“自均值函數(shù)”，則存在實數(shù)，使得對于任意都存在滿足，即，即，函數(shù)的值域為，的值域為，不滿足條件，故函數(shù)不是為“自均值函數(shù)”.【小問2詳解】存在，對于，存在，有，即，當(dāng)時，值域是，在值域包含，當(dāng)