2024年浙江寧波十校高三二模數(shù)學試題答案詳解

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁寧波“十校”2024屆高三3月聯(lián)考數(shù)學試題卷考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前務必將自己的姓名，準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的地方；3.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規(guī)范答題，在本試卷紙上答題一律無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第I卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)滿足，則（

）A．3 B．2 C． D．13．已知平面向量滿足且，則（

）A． B．5 C． D．64．某電視臺計劃在春節(jié)期間某段時間連續(xù)播放6個廣告，其中3個不同的商業(yè)廣告和3個不同的公益廣告，要求第一個和最后一個播放的必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不能3個連續(xù)播放，則不同的播放方式有（

）A．144種 B．72種 C．36種 D．24種5．學校某生物老師指導學生培育了一盆綠蘿放置在教室內(nèi)，綠蘿底部的盆近似看成一個圓臺，圓臺的上、下底面半徑之比為，母線長為，其母線與底面所成的角為，則這個圓臺的體積為（

）A． B． C． D．6．過直線上的點作圓的兩條切線，當直線關于直線對稱時，點的坐標為（

）A． B． C． D．7．已知是公比不為1的等比數(shù)列的前項和，則“成等差數(shù)列”是“存在不相等的正整數(shù)，使得成等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則和的可能取值為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9．已知一組樣本數(shù)據(jù)，其中為正實數(shù).滿足，下列說法正確的是（

）A．樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為B．去掉樣本的一個數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變C．若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)D．若樣本數(shù)據(jù)的方差，則這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于210．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若是的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則（

）A．的最小正周期為B．在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的最大值為1D．方程在上有5個實數(shù)根11．已知直四棱柱，底面是邊長為1的菱形，且，點分別為的中點，點是棱上的動點.以為球心作半徑為的球，下列說法正確的是（

）A．直線與直線所成角的正切值的最小值為B．用過三點的平面截直四棱柱，得到的截面面積為C．當時，球與直四棱柱的四個側(cè)面均有交線D．在直四棱柱內(nèi)，球外放置一個小球，當小球體積最大時，球直徑的最大值為第II卷三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12．若，則.13．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為.14．已知雙曲線，斜率為的直線與的左右兩支分別交于兩點，點的坐標為，直線交于另一點，直線交于另一點.若直線的斜率為，則的離心率為.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）15．的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)判斷的形狀；(2)若為銳角三角形，，求的最大值.16．已知四棱錐的底面是直角梯形，，，，，為的中點，.(1)證明：平面平面；(2)若與平面所成的角為，過點作平面的垂線，垂足為，求點到平面的距離.17．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)若有三個極值點，求正數(shù)的取值范圍.18．為了驗證某款電池的安全性，小明在實驗室中進行試驗，假設小明每次試驗成功的概率為，且每次試驗相互獨立.(1)若進行5次試驗，且，求試驗成功次數(shù)的分布列以及期望；(2)若恰好成功2次后停止試驗，，記事件：停止試驗時試驗次數(shù)不超過次，事件：停止試驗時試驗次數(shù)為偶數(shù)，求.（結(jié)果用含有的式子表示）19．已知拋物線與雙曲線相交于兩點，是的右焦點，直線分別交于兩點（不同于點），直線分別交軸于兩點.(1)求的取值范圍；(2)記的面積為，的面積為，當時，求的值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域及解對數(shù)不等式化簡集合，由并集運算即可求解.【詳解】，，.故選：D.2．C【分析】先求出復數(shù)的代數(shù)形式，再根據(jù)復數(shù)的除法運算及復數(shù)的模的計算公式即可得解.【詳解】由，得，所以，所以，所以.故選：C.3．D【分析】由垂直關系的向量表示及數(shù)量積的運算律列式計算即得.【詳解】由，得，由，得，則，由，得，即，則，所以.故選：D4．B【分析】將第一個和最后一個先安排為公益廣告，然后由商業(yè)廣告不能3個連續(xù)播放，將其排成一列，之間有兩個空，將剩下的公益廣告插進去即可.【詳解】先從3個不同的公益廣告中選兩個安排到第一個和最后一個播放有種方法，然后將3個不同的商業(yè)廣告排成一列有種方法，3個不同的商業(yè)廣告之間有兩個空，選擇一個將剩下的一個公益廣告安排進去即可，所以總共有：種方式.故選:B5．B【分析】可設圓臺的上、下底面半徑分別為，，根據(jù)題意求出圓臺的高和的值，即可求出圓臺的體積．【詳解】根據(jù)題意，設圓臺的上、下底面半徑分別為，，因為母線長為8，且母線與底面所成的角為，所以圓臺的高為，并且，得所以圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，高為．由此可得圓臺的體積為．故選：B．6．C【分析】根據(jù)直線和圓的位置關系、兩直線的交點等知識求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，直線關于直線對稱時，則直線與直線垂直，所以直線的方程為，由解得，所以.故選：C.7．A【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及等比數(shù)列通項公式和求和公式，根據(jù)充分條件、必要條件的概念判斷即可.【詳解】因為是公比不為1的等比數(shù)列的前項和，所以若成等差數(shù)列，則，從而，結(jié)合化簡得，若成等差數(shù)列，則，即，所以，故當時，有，即“成等差數(shù)列”能推出“存在不相等的正整數(shù)，使得成等差數(shù)列”；反之，滿足不一定是，如，，，滿足，但不滿足，即“存在不相等的正整數(shù)，使得成等差數(shù)列”推不出“成等差數(shù)列”；所以“成等差數(shù)列”是“存在不相等的正整數(shù)，使得成等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A8．D【分析】二次求導得到在上單調(diào)遞增，要想在上單調(diào)遞增，只需，再逐項檢驗.【詳解】，且，且，，令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，要想在上單調(diào)遞增，只需，即只需，對A,令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，則，A錯誤；對B,，B錯誤；對C,令，，則恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，即，C錯誤；對D，令，當，單調(diào)遞減，故，即因為，即，D正確．故選：D．【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)，關鍵是利用二次導數(shù)判斷出.9．BCD【分析】由百分位數(shù)的定義即可判斷A；由極差的定義即可判斷B，由頻率分布直方圖中中位數(shù)、平均數(shù)的求法畫出圖形即可判斷；由方程計算公式即可判斷D.【詳解】對于A，由，所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B，由題意存在這樣一種可能，若，則極差為，此時樣本數(shù)據(jù)的極差不變，故B正確；對于C，數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，向右邊“拖尾”，大致如下圖，由于“右拖”時最高峰偏左，中位數(shù)靠近高峰處，平均數(shù)靠近中點處，此時平均數(shù)大于中位數(shù)，故C正確；對于D，由，則，所以，因為為正實數(shù)，所以，即，故D正確.故選：BCD.10．ABD【分析】根據(jù)函數(shù)平移規(guī)則得出解析式，根據(jù)單調(diào)區(qū)間代入特殊點即可求出，求出和解析式，再利用三角函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到，顯然的最小正周期為，則長度是的半個最小正周期，又是的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則，即有，，解得，，而，解得，于是，對于A，函數(shù)的最小正周期，A正確；對于B，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確；對于C，，則，因此函數(shù)的最大值為，C錯誤；對于D，當時，，由，得、、、、，因此方程在上有5個實數(shù)根，D正確.故選：ABD11．ABC【分析】A選項，作出輔助線，建立空間直角坐標系，設出，，表達出直線與直線所成角的余弦值，求出最大值為，從而得到正切值的最小值；B選項，作出截面，進而求出截面面積；C選項，找到與四個側(cè)面的交線即可；D選項，球外放置一個小球，當小球與四個側(cè)面均相切時，小球體積最大，得到小球的半徑為，得到，結(jié)合得到球直徑的最大值.【詳解】A選項，連接，因為底面是邊長為1的菱形，且，所以為等邊三角形，因為分別為的中點，所以⊥，故⊥，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，故，設，，則，設直線與直線所成角的大小為，則，令，故，因為，所以當時，取得最大值，最大值為，此時，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故直線與直線所成角的正切值的最小值為，A正確；B選項，取，，的中點，連接，由平行關系可知，過三點的平面截直四棱柱，得到的截面為六邊形，其中，，由于，，故，同理可得，又，，故，故，所以⊥，則矩形的面積為，取的中點，連接，因為，所以⊥，由勾股定理得，故，同理可得，故用過三點的平面截直四棱柱，得到的截面面積為，B正確；C選項，連接，則，，如圖，當時，直四棱柱截球體下半部分的，球與直四棱柱四個側(cè)面都有一段圓弧狀交線，C正確；D選項，球外放置一個小球，當小球與四個側(cè)面均相切時，小球體積最大，此時小球在底面上的投影剛好與菱形相切，故小球的半徑為，故，因為，則，故球直徑的最大值為，D錯誤.故選：ABC【點睛】關鍵點點睛：解決與球有關的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關鍵是確定球心的位置．對于球內(nèi)切于幾何體問題時要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于幾何體的外接球問題，注意球心到各個頂點的距離相等.12．##0.28【分析】令，代入，利用三角公式變形計算即可.【詳解】令，則，所以.故答案為：.13．【分析】變形得到，利用兩次基本不等式，求出最小值．【詳解】任意的正實數(shù)，，，滿足，所以，由于，為正實數(shù)，故由基本不等式得，當且僅當，即，時，等號成立，所以，當且僅當，即時，等號成立，綜上，的最小值為16．故答案為：16．14．【分析】設，線段AB的中點，代入雙曲線的方程中可得，兩式相減得，可得①，設，線段CD的中點，同理得②，由，得三點共線，從而求得，由此可求得雙曲線的離心率.【詳解】設，線段AB的中點，則，兩式相減得，所以①，設，線段CD的中點，同理得②，因為，所以，則三點共線，所以，將①②代入得：，即，所以，即，所以，故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了雙曲線離心率的求解，難度較大，解答本題的關鍵在于結(jié)合點差法表示出點的坐標，從而得到的關系式，即可求解.15．(1)為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形(2)【分析】（1）利用三角恒等變換公式化簡后分別討論各項為0時的情況即可；（2）先根據(jù)（1）中的結(jié)論判斷此時為等腰三角形，再利用正弦定理將邊化為角，構(gòu)造關于角B的三角函數(shù)求值域，注意角B在銳角三角形中的范圍即可.【詳解】（1）由題意：，整理得，故或，當時，，為直角三角形，當時，，為等腰三角形，當且時，，，為等腰直角三角形.所以為直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.（2）由（1）知，若為銳角三角形，則一定為等腰三角形，，由正弦定理得，，，因為為銳角三角形，所以，解得，當時，即時取最大值，最大值為.綜上，最大值為16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，證得和，得到平面，進而證得平面平面.（2）取的中點，連接，根據(jù)題意求得和，以為原點，建立空間直角坐標系，設，得到，結(jié)合，求得的值，即可求解.【詳解】（1）證明：由四邊形是直角梯形，且，在直角中，，可得，從而是等邊三角形，平分，因為為的中點，所以，所以，又因為且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）解：取的中點，連接，因為，所以于，因為平面平面，平面平面，所以平面，連接，可得為與平面所成的角，則，在直角中，，在等邊中，可得，在直角中，可得，又因為等邊，且為的中點，所以.以為原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，可得，設，可得，則，由，解得，滿足題意，所以點到平面的距離為.17．(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導得，然后分，與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求導可得，然后將極值點問題轉(zhuǎn)化為方程根問題，再構(gòu)造函數(shù)求導，即可得到結(jié)果.【詳解】（1），則當時，的兩根為.①若在上單調(diào)遞增；②若，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③若，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；④時，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，當時，無單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間為；當時，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；當時，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；當時，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）根據(jù)題意可知，函數(shù)的定義域為，則，由函數(shù)有三個極值點可知在上至少有三個實數(shù)根；顯然，則需方程，也即有兩個不等于3的不相等的實數(shù)根；由可得，令，則，顯然當時，，即在上單調(diào)遞減；當時，，即在上單調(diào)遞增；所以，畫出函數(shù)與函數(shù)在同一坐標系下的圖像，由圖可得且時，在上有兩個不等于3的相異的實數(shù)根，經(jīng)檢驗可知當時，導函數(shù)在左右符號不同，即均是的變號零點，滿足題意；因此實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題以及利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題，難度較大，解答本題的關鍵在于分類討論以及合理構(gòu)造函數(shù)求解.18．(1)分布列見解析，期望為(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可得，結(jié)合二項分布的概率計算公式，代入計算，即可得到分布列；（2）根據(jù)題意，分為偶數(shù)與為奇數(shù)討論，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式以及錯位相減法代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）依題意，，則，，故的分布列為：012345故.（2）事件“”表示前次試驗只成功了1次，且第次試驗成功，故，當為偶數(shù)時，所以，令，則，兩式相減得：，則，即.當為奇數(shù)時，同理可得，綜上，【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了二項式分布與數(shù)列的綜合應用，難度較大，解答本題的關鍵在于將概率問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列求和，結(jié)合數(shù)列求和的