2024年高考數(shù)學二模試題分類匯編（廣東專用）新高考模擬試題重組沖刺卷（19題結(jié)構(gòu)）解析

2024屆新高考模擬試卷（考試時間:120分鐘試卷滿分:150分）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（2024·河南焦作·二模）設(shè)集合，若，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【詳解】由集合，因為，所以或，解得或，當時，，不符合題意；當時，，符合題意．故選：C．2.（2024·福建福州·二模）若復數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：B.3.（2024·黑龍江哈爾濱·二模）2024年3月19日，新加坡共和理工學院代表團一行3位嘉賓蒞臨我校，就拓寬大學與中學間的合作、深化國際人才培養(yǎng)等議題與我校進行了深入的交流.交流時嘉賓席位共有一排8個空座供3位嘉賓就坐，若要求每位嘉賓的兩旁都有空座，且嘉賓甲必須坐在3位嘉賓中間，則不同的坐法有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．24種【答案】A【詳解】共有8個座位，3個人就坐，所以還剩下5個座位；因為要求每個人左右都有空座，所以在5個座位的4個空隙中插入3個人，共有種，又嘉賓甲必須坐在3位嘉賓中間，所以共有種，故選：A.4.（2024·吉林·模擬預測）已知為銳角，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，為銳角，且，兩邊同時除以得，，，為銳角，，，當且僅當，即時取等號，最大值為．故選：A．5．（2024·河南開封·三模）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，若，，則滿足的n的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】由可得，，故為公比為2的等比數(shù)列，故，所以，故，因此故，要使，則，當時，，時，，且在時，隨著正整數(shù)的增大而增大，故的最小值為6，故選：B6.（2024·陜西·二模）已知，且時，，則下列選項正確的是（

）A．B．當時，C．若，為常函數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)僅有1個根D．若，則【答案】D【詳解】對于A中，由函數(shù)，可得，因為，所以，所以A錯誤；對于B中，由，可得，，又由，且，所以，所以B錯誤；對于C中，由，則，，則，，則，可得，則，令，則恒成立，可得，所以，所以，即在區(qū)間內(nèi)無實根，所以C錯誤；對于D中，，令，可得；再令，，則，令，可得或，因為，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以成立，所以D正確．故選：D．7.（2024·河北衡水·二模）記橢圓：與圓：的公共點為，，其中在的左側(cè)，是圓上異于，的點，連接交于，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】由題意可知點，分別為橢圓的左右頂點，所以，，設(shè)點在第一象限，設(shè)點，所以，，所以，.故選：.8.（2024·河南信陽·二模）若函數(shù)在定義域上存在最小值，則當取得最小值時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】因為，所以，當時，恒成立，則在定義域上單調(diào)遞增，不存在最小值，故舍去；當時，若，則，又在上單調(diào)遞增，則當時，所以無最小值，故舍去；所以，又，易知在定義域上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一零點，即，且，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，即，又，所以，令，，所以，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時取得極小值，即最小值，所以，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分．9.（2024·山西·二模）下列說法中正確的是（

）A．用簡單隨機抽樣的方法從含有10個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本，則每個個體被抽到的概率是0.2B．已知一組數(shù)據(jù)2，2，，5，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是C．數(shù)據(jù)76，69，87，65，62，96，92，81，76，82的第70百分位數(shù)是82D．若樣本數(shù)據(jù)的標準差為5，則數(shù)據(jù)，，，的標準差為20【答案】AB【詳解】A選項，每個個體被抽到的概率為，故A正確；B選項，已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則，解得，，則這組數(shù)據(jù)的方差是，故B正確；C選項，這10個數(shù)據(jù)從小到大排列為，由于，故選擇第7和第8個數(shù)的平均數(shù)作為第70百分位數(shù)，即，所以第70百分位數(shù)是84.5，故C錯誤；D選項，若樣本數(shù)據(jù)的標準差為5，則的方差為25，設(shè)的平均數(shù)為，則，，又，故，則的標準差為，故D錯誤．故選：AB10.（2024·廣東深圳·二模）已知函數(shù)（，）的最大值為，其部分圖象如圖所示，則（

）A．B．函數(shù)為偶函數(shù)C．滿足條件的正實數(shù)，存在且唯一D．是周期函數(shù)，且最小正周期為【答案】ACD【詳解】因為（其中、），又，解得，又，所以，故A正確；則，又，即，結(jié)合圖象可知，所以，又，所以，解得，所以，故C正確；所以，則為奇函數(shù)，故B錯誤；是周期函數(shù)，且最小正周期，故D正確.故選：ACD11．（2024·湖南·二模）如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，是線段的中點，則（

）A．若點滿足，則動點的軌跡長度為B．三棱錐體積的最大值為C．當直線與所成的角為時，點的軌跡長度為D．當在底面上運動，且滿足平面時，線段長度最大值為【答案】CD【詳解】對于A，易知平面平面，故動點的軌跡為矩形，動點的軌跡長度為矩形的周長，即為，所以錯誤；對于B，因為，而等邊的面積為定值，要使三棱錐的體積最大，當且僅當點到平面的距離最大，易知點是正方體到平面距離最大的點，所以，此時三棱錐即為棱長是的正四面體，其高為，所以，B錯誤；對于C：連接AC，，以B為圓心，為半徑畫弧，如圖1所示，當點在線段和弧上時，直線與所成的角為，又，弧長度，故點的軌跡長度為，故正確；對于D，取的中點分別為，連接，如圖2所示，因為平面平面，故平面，，平面平面，故平面；又平面，故平面平面；又，故平面與平面是同一個平面.則點的軌跡為線段：在三角形中，則，故三角形是以為直角的直角三角形；故，故長度的最大值為，故正確.故選：.三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．12.（2024·上海普陀·二模）若向量在向量上的投影為，且，則.【答案】【詳解】在上的投影為，，則，即又，平方得，則即．故答案為：．13．（2024·浙江·二模）如圖為世界名畫《星月夜》，在這幅畫中，文森特·梵高用夸張的手法，生動地描繪了充滿運動和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半徑為1的圓的一段圓弧，且弧所對的圓心角為.設(shè)圓的圓心在點與弧中點的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧上存在四點滿足過這四點作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點與圓上的點的最短距離的取值范圍為.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【詳解】如圖，設(shè)弧的中點為，弧所對的圓心角為，圓的半徑，在弧上取兩點，則，分別過點作圓的切線，并交直線于點，當過點的切線剛好是圓與圓的外公切線時，劣弧上一定還存在點，使過點的切線為兩圓的內(nèi)公切線，則圓的圓心只能在線段上，且不包括端點，過點，分別向作垂線，垂足為，則即為圓的半徑，設(shè)線段交圓于點，則弧上的點與圓上的點的最短距離即為線段的長度.在中，，則，即弧上的點與圓上的點的最短距離的取值范圍為.故答案為：.14.（2024·廣東·二模）如圖，在平面直角坐標系中放置著一個邊長為1的等邊三角形，且滿足與軸平行，點在軸上．現(xiàn)將三角形沿軸在平面直角坐標系內(nèi)滾動，設(shè)頂點的軌跡方程是，則的最小正周期為________；在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（2024·湖南·二模）（13分）如圖所示，半圓柱的軸截面為平面，是圓柱底面的直徑，為底面圓心，為一條母線，為的中點，且.(1)求證：；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由是直徑可知，則是等腰直角三角形，故，由圓柱的特征可知平面，又平面，所以，因為，平面，則平面，而平面，則，因為，則，所以，.所以，因為，，，平面，所以平面，又平面，故.（2）由題意及（1）易知兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標系，則，，，所以，，，由（1）知平面，故平面的一個法向量是，設(shè)是平面的一個法向量，則有，取，可得設(shè)平面與平面夾角為，所以，則平面與平面夾角的余弦值為.16.（2024·上海松江·二模）（15分）某素質(zhì)訓練營設(shè)計了一項闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊參賽，每次只派一個人，且每人只派一次：如果一個人闖關(guān)失敗，再派下一個人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽勝利，無需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有甲、乙、丙三人組隊參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為、、，假定、、互不相等，且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨立.(1)計劃依次派甲乙丙進行闖關(guān)，若，，，求該小組比賽勝利的概率；(2)若依次派甲乙丙進行闖關(guān)，則寫出所需派出的人員數(shù)目的分布，并求的期望；(3)已知，若乙只能安排在第二個派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙誰先派出.【答案】(1)(2)(3)先派出甲【詳解】（1）設(shè)事件表示“該小組比賽勝利”，則；（2）由題意可知，的所有可能取值為1，2，3，則，，，所以的分布為：所以；（3）若依次派甲乙丙進行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為，由（2）可知，，若依次派丙乙甲進行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為，則，則，因為，所以，，所以，即，所以要使派出人員數(shù)目的期望較小，先派出甲．17.（2024·山東聊城·二模）（17分）已知橢圓的短軸長為2，離心率為.(1)求的方程；(2)直線與交于兩點，與軸交于點，與軸交于點，且.（?。┊敃r，求的值；（ⅱ）當時，求點到的距離的最大值.【答案】(1)(2)（?。唬áⅲ?【詳解】（1）由題意得，解得，所以的方程為．（2）（?。┯深}意得，由，得，即，由，得，即，將的坐標分別代入的方程，得和，解得，又，所以.（ⅱ）由消去，得，其中，設(shè)，則，由，得，所以，由，得，即，所以，因此，又，所以.所以的方程為，即過定點，所以點到的最大距離為點與點的距離，即點到的距離的最大值為2.18.（2024·江蘇南通·模擬預測）（17分）設(shè)函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，試判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點的個數(shù)，并說明理由；(3)求證：對任意的正數(shù)，都存在實數(shù)，滿足：對任意的，.【答案】(1)減區(qū)間，增區(qū)間(2)在內(nèi)有一個極值點(3)證明見解析【詳解】（1）當時，，，令，，列表分析10單調(diào)遞減單調(diào)遞增故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），，其中，令，，令，，列表分析：0單調(diào)遞減單調(diào)遞增，而，，，若，則，，，因此在上有一個零點，所以在內(nèi)有一個極值點；（3）猜想：，恒成立．證明如下：由（2）得在上單調(diào)遞增，且，．因為當時，，所以．故在上存在唯一的零點，設(shè)為．由0單調(diào)遞減單調(diào)遞增知，，，又，而時，，所以（1）．即，．所以對任意的正數(shù)，都存在實數(shù)，使對任意的，使．補充證明令，．，所以在上單調(diào)遞增．所以時，，即．補充證明令，．，所以在上單調(diào)遞減．所以時，，即．19.（2024·河南開封·三模）（17分）點S是直線外一點，點M，N在直線上（點M，N與點P，Q任一點不重合）．若點M在線段上，記；若點M在線段外，記．記．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，點D是射線上一