2024年高考數(shù)學(xué)二模試題分類匯編（廣東專用）專題08 圓錐曲線（六大題型解析版）

專題08圓錐曲線題型01圓的方程1.（2024·廣東湛江·二模）若復(fù)數(shù)的實(shí)部為，則點(diǎn)的軌跡是（

）A．直徑為2的圓 B．實(shí)軸長為2的雙曲線C．直徑為1的圓 D．虛軸長為2的雙曲線【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是直徑為2的圓.故選：A.2.（2024·廣東韶關(guān)·二模）過點(diǎn)作斜率為的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)軸反射后與圓相切，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【詳解】如圖，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線交x軸于點(diǎn)，反射直線與圓相切于點(diǎn)，直線，即，令，解得，即，又，所以，所以直線，即，則點(diǎn)到直線直線的距離為，即.故選：D3．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D． E．均不是【答案】B【詳解】圓可化為，即圓心為，半徑為，故圓心到點(diǎn)的距離為，則，由，故，故.故選：B.4.（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）已知圓的圓心到直線距離是，則圓M與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．相交 C．內(nèi)含 D．內(nèi)切【答案】C【詳解】圓即圓的圓心半徑分別為，圓的圓心半徑分別為，因?yàn)?，解得或（舍去），從而，所以，因?yàn)?，所以圓M與圓的位置關(guān)系是內(nèi)含.故選：C.5.（2024·廣東清遠(yuǎn)·二模）已知分別是圓與圓上的動點(diǎn)，若的最大值為12，則的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】圓的圓心為半徑，圓的圓心為半徑，故兩圓不是內(nèi)切和內(nèi)含，由題意知的最大值等于12，則，所以.又，所以.故選：D.6.（2024·廣東中山·二模）直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，則r的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因直線截圓所得劣弧所對的圓心角為，令劣弧的兩個端點(diǎn)為，則為等邊三角形，故圓心到直線的距離等于，即，解得.故選：B.7．（2024·廣東肇慶·二模）已知為圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則下列說法錯誤的是（

）A．軌跡是一個半徑為3的圓B．圓與軌跡有兩個交點(diǎn)C．過點(diǎn)作圓的切線，有兩條切線，且兩切點(diǎn)的距離為D．點(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，則PB的最小值為【答案】D【詳解】對A，設(shè)，，則由得，即，又因?yàn)闉閳A上的動點(diǎn)，所以滿足，即軌跡是一個半徑為3的圓，故A正確；對B，因?yàn)閳A心距，所以圓與軌跡有兩個交點(diǎn)，故B正確；對C，由于，半徑為3，所以切線長為4，所以兩切點(diǎn)的距離滿足，即，故C正確；對D，首先圓心到直線的距離為，則該直線與圓相離，因?yàn)辄c(diǎn)為直線上的動點(diǎn)，則PB的最小值為，故D錯誤；故選：D.8.（2024·廣東梅州·二模）已知圓，直線，若圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)仍在圓上，則點(diǎn)必在（

）A．一個離心率為的橢圓上 B．一個離心率為2的雙曲線上C．一個離心率為的橢圓上 D．一個離心率為的雙曲線上【答案】D【詳解】圓的圓心為，依題意可知直線過圓的圓心，則，所以點(diǎn)必在雙曲線即上，且該雙曲線的離心率．故選：D.9.（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）已知直線與均與相切，點(diǎn)在上，則的方程為.【答案】【詳解】由于直線與平行，且均與相切，兩直線之間的距離為圓的直徑，即，又在上，所以為切點(diǎn)，故過且與垂直的直線方程為，聯(lián)立，所以與相切于點(diǎn)，故圓心為與的中點(diǎn)，即圓心為，故圓的方程為，故答案為：題型02橢圓、雙曲線的離心率1.（2024·廣東佛山·二模）2020年12月17日，嫦娥五號的返回器攜帶1731克月球樣本成功返回地球，我國成為第三個實(shí)現(xiàn)月球采樣返回的國家，中國人朝著成功登月又邁進(jìn)了重要一步．下圖展示了嫦娥五號采樣返回器從地球表面附近運(yùn)行到月球表面附近的大致過程．點(diǎn)表示地球中心，點(diǎn)表示月球中心．嫦娥五號采樣返回器先沿近地球表面軌道作圓周運(yùn)動，軌道半徑約為地球半徑．在地球表面附近的點(diǎn)處沿圓的切線方向加速變軌后，改為沿橢圓軌道運(yùn)行，并且點(diǎn)為該橢圓的一個焦點(diǎn)．一段時間后，再在近月球表面附近的點(diǎn)處減速變軌作圓周運(yùn)動，此時軌道半徑約為月球半徑．已知月球中心與地球中心之間距離約為月球半徑的222倍，地球半徑約為月球半徑的3.7倍．則橢圓軌道的離心率約為（

）A．0.67 B．0.77 C．0.87 D．0.97【答案】D【詳解】設(shè)此橢圓的長半軸長為，半焦距為，月球半徑為，地球半徑為，月球中心與地球中心距離為，則，，于是，，所以離心率為．故選：2．（2024·廣東肇慶·二模）已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P，Q是它們的兩個公共點(diǎn)，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：，，設(shè)，根據(jù)橢圓與雙曲線的對稱性知四邊形為平行四邊形，則，則在中，由余弦定理得，，化簡得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：A.3.（2024·廣東深圳·二模）P是橢圓C：（）上一點(diǎn)，、是C的兩個焦點(diǎn)，，點(diǎn)Q在的平分線上，O為原點(diǎn)，，且．則C的離心率為A． B． C． D．【答案】C4.（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知圓：（）與雙曲線：（，），若在雙曲線上存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】B【詳解】由，故，則，即雙曲線與圓有交點(diǎn)，即，即，即，即雙曲線的離心率的取值范圍是.故選：B.5.（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知，為雙曲線（，）的兩個焦點(diǎn)，為雙曲線上的任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3 E．均不是【答案】A【詳解】如圖，設(shè)，，，則（當(dāng)且僅當(dāng)在頂點(diǎn)時取等號），所以，即，所以.故選：A.6.（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）已知橢圓，直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方），為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，若，則的離心率的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】橢圓的左頂點(diǎn)為，直線過點(diǎn)，且直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)上方），所以，因?yàn)?，只要，即只?聯(lián)立，得，即（*）注意到為方程（*）的一個根，故，則，所以點(diǎn)，可得，由于，故，令，得，即，所以離心率的取值范圍是，則的離心率的最大值為.故選：C7.（2024·廣東河源·二模）已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得，且，在中，由余弦定理得：.因?yàn)?，所以，平方化簡整理得?又，所以，即，所以，得，則.故選：B.8.（2024·廣東湛江·二模）已知，是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，若C上存在一點(diǎn)P滿足，則C的離心率的取值范圍是.【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，則，又.所以C的離心率的取值范圍是.故答案為：9.（2024·廣東清遠(yuǎn)·二模）已知雙曲線，若，則該雙曲線的離心率為.【答案】【詳解】.故答案為：.題型03雙曲線的漸近線1.（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)A（A在軸右側(cè)）．若是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，連接.又中，，則,由直線可得，則，又由雙曲線可得，則，則有，即又，則有，整理得，解之得則雙曲線的漸近線方程為.

故選：C3.（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）已知直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)，，，為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且滿足，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線的定義，可得，又因?yàn)?，所以?因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，平方后得①.在中利用余弦定理可得：，即②.①②兩式聯(lián)立得：.又因?yàn)樵陔p曲線中，所以，即.所以漸近線方程為.故選：C4.（2024·廣東珠?！ざ＃┮阎p曲線：的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作垂直于x軸的直線，M，N分別是與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn).若M是線段的中點(diǎn)，則C的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，過第一象限的漸近線方程為，當(dāng)時，，即，又，因?yàn)镸是線段的中點(diǎn)，所以，得，所以，即，所以C的漸近線方程為.故選：C.

題型04拋物線1.（2024·廣東·模擬預(yù)測）拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【詳解】由題意可知，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，所以，而.當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.故選：D2.（2024·廣東江門·二模）如圖，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在之間，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，延長交拋物線于，記直線的斜率為，直線的斜率為，當(dāng)時，的面積為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【詳解】由題意可得直線斜率不為零，設(shè)，，、、，聯(lián)立，得，，即，，，聯(lián)立，得，，，，則，則，故，，有，解得，則，，故，點(diǎn)到直線的距離，故.故選：A.3.（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在拋物線上，設(shè)的焦點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)在的準(zhǔn)線上的射影為，且，則向量的夾角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】過分別作，則是梯形的中位線，故,由于,所以,故,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，故的夾角最大值為，故選：C4.（2024·廣東中山·二模）已知等軸雙曲線的漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，拋物線焦點(diǎn)為，的面積為4，則的長度為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【詳解】由題意，等軸雙曲線的漸近線方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立方程組，解得，可得，同理可得，因?yàn)榈拿娣e為4，可得，解得，則.故選：D.

5.（2024·廣東·二模）（多選）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，，則下列說法正確的有（

）A．B．C．D．【答案】ACD【詳解】由已知，，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為：，設(shè)點(diǎn)，則，，由，得，所以，，，，所以，故A正確，，故B錯誤，，,故，C正確，，由選項(xiàng)C可知，所以，故,D正確；故選：ACD6.（2024·廣東中山·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為；拋物線的焦點(diǎn)為，若直線分別與交于兩點(diǎn)；且，則.【答案】【詳解】由拋物線，可得，設(shè)，則，故，所以，所以.

故答案為：；.7.（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則；設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則.【答案】【詳解】由拋物線準(zhǔn)線方程為，故，則，，由在拋物線上，故，由，可得，即，即.故答案為：；.8.（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)且斜率存在的直線與交于不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn).（i）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）求與的面積之和的最小值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【詳解】（1）由題意可得，解得，所以的方程為：；（2）（i）由已知可得直線的斜率不為0，且過點(diǎn)，故可設(shè)的直線的方程為，代入拋物線的方程，可得，方程的判別式，設(shè)，，不妨設(shè)，則,所以直線AD的方程為：，即即，令，可得，所以，所以所以；（ii）如圖所示，可得，，所以與的面積之和當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以與的面積之和的最小值為.

題型05直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）（多選）已知圓，橢圓，直線，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，以下的判斷正確的是（

）A．直線與橢圓相交B．當(dāng)變化時，點(diǎn)到直線的距離的最大值為C．D．【答案】ABD【詳解】根據(jù)題意可知圓的圓心為，半徑為，橢圓的長軸為4，短軸為2，直線恒過定點(diǎn)，顯然點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，如下圖所示：顯然，直線與橢圓相交，即A正確；當(dāng)變化時，易知圓心到直線的距離的最大值為，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，即B正確；設(shè)點(diǎn)滿足且，可得又易知，顯然，顯然當(dāng)時，，可得，即可得C錯誤，D正確；故選：ABD2.（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）（多選）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．離心率C．面積的最大值為12D．以線段為直徑的圓與圓相切【答案】BCD【詳解】因?yàn)闄E圓，則，由橢圓的定義可知，，故A錯誤；由橢圓離心率公式可得，故B正確；因?yàn)樵O(shè)點(diǎn)到軸的距離為，顯然，則面積的最大值為，故C正確；線段的中點(diǎn)為，則以線段為直徑的圓的方程為，其圓心為，半徑，且圓的圓心為，半徑，則兩圓的圓心距為，即兩圓外切，故D正確；故選：BCD3．（2024·廣東珠?！ざ＃ǘ噙x）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線以為焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．當(dāng)時，直線的傾斜角為C．若為拋物線上一點(diǎn)，則的最小值為 D．的最小值為9【答案】AD【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，故拋物線方程為，由拋物線定義得，A正確；B選項(xiàng)，由于直線的斜率為0時，與拋物線只有一個交點(diǎn)，不合要求，舍去，設(shè)直線，聯(lián)立，得，設(shè)，則由韋達(dá)定理得，故，解得，故直線的斜率為，傾斜角不為，B錯誤；C選項(xiàng)，由題意得，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，由拋物線定義得，故，要想求得的最小值，則過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，故的最小值為，最小值為，C錯誤；D選項(xiàng)，由題意得，由于，故，，因?yàn)?，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為9，D正確.故選：AD4.（2024·廣東韶關(guān)·二模）已知橢圓的離心率為，長軸長為4，是其左、右頂點(diǎn)，是其右焦點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，的角平分線與直線交于點(diǎn)．①求點(diǎn)的軌跡方程；②若面積為，求．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①：由（1）知，，設(shè)，則，易知當(dāng)時，，，此時，由，解得，即；當(dāng)時，，，設(shè)直線的斜率為，則，所以直線方程為，又直線方程為，由，得，即，解得，將代入直線方程，得，即，又，所以，故點(diǎn)的軌跡方程為；②：由，得，又，所以，得，整理得，又，所以，整理得，即，由，解得.5.（2024·廣東梅州·二模）已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程：(2)求橢圓C上的點(diǎn)到直線l：的距離的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由橢圓的離心率為，可得，可得，設(shè)橢圓的方程為：，，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，，可得，則，所以直線到直線的距離．所以橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為．6．（2024·廣東·二模）已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，其漸近線方程為.(1)求雙曲線的方程；(2)若為雙曲線上的兩點(diǎn)且不關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線過的中點(diǎn)，求直線的斜率.【答案】(1)(2)1【詳解】（1）橢圓的焦點(diǎn)為，故，由雙曲線的漸近線為，故，故，故雙曲線方程為：.（2）設(shè)，的中點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€，故，而，，故，故，由題設(shè)可知的中點(diǎn)不為原點(diǎn)，故，所以，故直線的斜率為.此時，由可得，整理得到：，當(dāng)即或，即當(dāng)或時，直線存在且斜率為1.7.（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B．(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在x軸上任取一點(diǎn)P，直線與直線相交于點(diǎn)Q，求的最大值；(3)設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上，記與的面積分別為，，若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)3(3)或【詳解】（1）解：由橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)，因?yàn)?，可得，整理得，又因?yàn)?，?lián)立方程組，解得，，所以點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則可得Q點(diǎn)坐標(biāo)為，由，當(dāng)時，取最大值，最大值為.（3）解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)O到線段的距離，若，則點(diǎn)M到線段的距離應(yīng)為，故M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為或，代入橢圓方程，解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或，故M點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

題型06圓錐曲線情境題、創(chuàng)新題型1.（2024·廣東梅州·二模）（多選）如圖，平面，，M為線段AB的中點(diǎn)，直線MN與平面的所成角大小為30°，點(diǎn)P為平面內(nèi)的動點(diǎn)，則（

）A．以為球心，半徑為2的球面在平面上的截痕長為B．若P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是一條直線C．若P到直線MN的距離為1，則的最大值為D．滿足的點(diǎn)P的軌跡是橢圓【答案】BC【詳解】對于A，由于MN與平面的所成角大小為30°，所以點(diǎn)到平面的距離，故半徑為的球面在平面上截面圓的半徑為,故截痕長為，A錯誤，對于B,由于平面，所以以為，在平面內(nèi)過作,平面內(nèi)作，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則，化簡得，故P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是一條直線，B正確，,所以P到直線MN的距離為，化簡可得，所以點(diǎn)的軌跡是平面內(nèi)的橢圓上一點(diǎn)，如圖，當(dāng)在短軸的端點(diǎn)時，此時最大，由于,故，因此,C正確，對于D,，,若，則，化簡得且，故滿足的點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一部分，D錯誤，故選：BC2.（2024·廣東梅州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義、兩點(diǎn)之間的“直角距離”為．已知兩定點(diǎn)，，則滿足的點(diǎn)M的軌跡所圍成的圖形面積為．【答案】6【詳解】設(shè)，由題意,,，可知，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，軌跡方程的圖形如圖，圖形的面積為：．故答案為：6．3.（2024·廣東·模擬預(yù)測）應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡，這種望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡銅可以很短而觀察天體運(yùn)動又很清楚．某天文儀器廠設(shè)計制造的一種反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個反射鏡弧所在的曲線為雙曲線一個分支．已知是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，其中同時又是拋物線的焦點(diǎn)，且，的面積為10，，則拋物線方程為．

【答案】【分析】設(shè)，由，解出得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合得拋物線方程.【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)．由，則有，解得，又，解得，，則有，故拋物線方程為．故答案為：4.（2024·廣東·模擬預(yù)測）現(xiàn)有一“v”型的擋板如圖所示，一橢圓形物件的短軸頂點(diǎn)被固定在A點(diǎn)．物件可繞A點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．AP間距離可調(diào)節(jié)且與兩側(cè)擋板的角度固定為60°．已知橢圓長軸長為4，短軸長為2．

(1)在某個角度固定橢圓，則當(dāng)橢圓不超過擋板時AP間距離最短為多少；(2)為了使橢圓物件能自由繞A點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動，AP間距離最短為多少.求出最短距離并證明其可行性．【答案】(1)(2)，證明見解析【詳解】（1）由題意，如圖，該橢圓的方程為，，分別為橢圓的2條切線，切點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率分別為.設(shè)，當(dāng)時，其中1個不存在，另1個趨于；當(dāng)時，設(shè)過點(diǎn)P的直線為，，所以，整理，得，①由是方程①的2個實(shí)根，得，所以，又，所以，當(dāng)時，點(diǎn)P在圓的外部，則，此時；當(dāng)時，點(diǎn)P在圓的內(nèi)部，則，此時，所以.又或，所以或，整理，得或.要求的最小值，只需考慮為鈍角的情況，即且，得.令，則且，即，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時等號成立.故，得.綜上，的最小值為.（2）當(dāng)恒為正實(shí)數(shù)R時，設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以.由（1）知，或，由，得或，即或，整理，得或，令，則，得或，.當(dāng)即時，或，令，則，得或，又，得或，而，所以，整理，得，即.當(dāng)時，，符合題意.綜上，，則，即，解得，所以R的最小值為，即的最小值為.

5.（2024·廣東佛山·二模）已知以下事實(shí)：反比例函數(shù)（）的圖象是雙曲線，兩條坐標(biāo)軸是其兩條漸近線．(1)（?。┲苯訉懗龊瘮?shù)的圖象的實(shí)軸長；（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)，得到曲線，直接寫出曲線的方程．(2)已知點(diǎn)是曲線的左頂點(diǎn)．圓：（）與直線：交于、兩點(diǎn)，直線、分別與雙曲線交于、兩點(diǎn)．試問：點(diǎn)A到直線的距離是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此時的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)（ⅰ）2；（ⅱ）．(2)存在，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，．【詳解】（1）（?。┯深}意可知雙曲線的實(shí)軸在上，聯(lián)立，解得或，即雙曲線的兩頂點(diǎn)為，故實(shí)軸長為；（ⅱ）將曲線繞原點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)，得到曲線，曲線的方程為；（2）方法一：設(shè)，，，顯然直線的斜率存在，設(shè)：，聯(lián)立：得，所以，，①，因?yàn)椋?，令，則，同理，，②依題意得，③由①②③得，，所以，即或，若，則：過點(diǎn)A，不合題意；若，則：．所以，恒過，所以，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，此時方程為，結(jié)合，解得，，，綜上所述，點(diǎn)A到直線距離的最大值為2，此時圓