第十二章全等三角形 ?？既热切文Ｐ蛯ｎ}訓(xùn)練2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

常考全等三角形模型模型1手拉手模型【模型分析】基本圖形模型特點(diǎn)AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，連接BD，CE結(jié)論△CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC＝α解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)共頂點(diǎn)：加(減)共頂點(diǎn)的公共角∠BAE得一組對(duì)應(yīng)角相等；(2)利用已知兩組邊相等或者等腰、等邊、正方形、菱形等得到兩組對(duì)應(yīng)邊相等訓(xùn)練1．(2023·齊齊哈爾節(jié)選)綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，連接BE，CF，延長(zhǎng)BE交CF于點(diǎn)D，則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：__BE＝CF__，∠BDC＝_30__°；(2)類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，連接BE，CF，延長(zhǎng)BE，F(xiàn)C交于點(diǎn)D.請(qǐng)猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說(shuō)明理由；解：(2)BE＝CF，∠BDC＝60°.理由如下：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC，即∠BAE＝∠CAF.又∵AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF(SAS)，∴BE＝CF，∴∠AEB＝∠AFC.∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠BDC＝∠BEF－∠EFD＝∠AEB＋30°－(∠AFC－30°)＝60°.(3)拓展延伸：如圖3，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，連接BE，CF，且點(diǎn)B，E，F(xiàn)在一條直線上，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BF，垂足為點(diǎn)M，則BF，CF，AM之間的數(shù)量關(guān)系：____BF＝CF＋2AM___.模型2一線三等角模型【模型分析】基本圖形兩個(gè)三角形在直線同側(cè)，點(diǎn)P在線段AB上，已知：∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD模型特點(diǎn)點(diǎn)P在線段AB上，已知：∠1＝∠2＝∠3和任意一條對(duì)應(yīng)線段相等結(jié)論△CAP≌△PBD解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)通過(guò)三角形內(nèi)角和定理找一組相等的角(∠ACP＝∠BPD或∠APC＝∠BDP)；(2)找一組相等的線段訓(xùn)練2．(2023·通遼)如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，交邊AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點(diǎn)A，D在PQ異側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)P需移動(dòng)__1__s.解析：設(shè)點(diǎn)P需移動(dòng)t秒，點(diǎn)D落在BC邊上，如圖．∵△PQD是等邊三角形，∴∠DPQ＝60°，∴∠BPD＝180°－∠APQ－∠DPQ＝180°－90°－60°＝30°，∴∠BDP＝180°－∠B－∠BPD＝180°－60°－30°＝90°.∠AQP＝180°－∠APQ－∠A＝180°－90°－60°＝30°.∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，∠BPD＝∠AQP＝30°，∴△BDP≌△APQ(ASA)．∴BP＝AB－AP＝6－2t，BD＝AP＝2t，∵∠BPD＝30°，∴BD＝eq\f(1,2)BP，即2t＝eq\f(1,2)(6－2t)，∴t＝1.3．(2023·聊城)如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C.(1)求證：∠EAD＝∠EDA；(2)若∠C＝60°，DE＝4時(shí)，求△AED的面積．(1)證明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AED＋∠CED，∴∠BAE＝∠CED.在△ABE和△ECD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠CED，,∠B＝∠C，,BE＝CD，))∴△ABE≌△ECD(AAS)，∴AE＝ED，∴∠EAD＝∠EDA.(2)解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，∴△AED為等邊三角形，∴AE＝AD＝ED＝4，則ED邊上的高為AE·sin60°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3).∴S△AED＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3).模型3三垂直模型【模型分析】基本圖形已知AB⊥BC，DE⊥CE，AC⊥CD和任意一組對(duì)應(yīng)線段相等基本圖形已知AB⊥BC，AE⊥BD，CD⊥BD和任意一組對(duì)應(yīng)線段相等解題思路常用三個(gè)垂直作為條件進(jìn)行角度等量代換即同(等)角的余角相等，證三角形全等時(shí)必須還要有一組邊相等訓(xùn)練4．如圖，直線a經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，點(diǎn)B，D到直線a的距離分別為1,3，則正方形的邊長(zhǎng)為()A．eq\r(10) B．2eq\r(3)C．4 D．5答案：A5．(2023·重慶A)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD.過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若BE＝4，CF＝1，則EF的長(zhǎng)度為__3___．模型4對(duì)角互補(bǔ)模型【模型分析】條件BD平分∠ABC，∠ABC＋∠ADC＝180°輔助線作法1過(guò)點(diǎn)D分別作BA，BC的垂線結(jié)論①△DEA≌△DFC；②AD＝CD輔助線作法2將BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與∠ADC相同的度數(shù)得到線段DE(1)當(dāng)∠ABC＝90°將BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE(2)當(dāng)∠ABC＝120°將BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DE結(jié)論①△BDE為等腰直角三角形；②△DAB≌△DCE；③AB＋BC＝eq\r(2)BD①△BDE為等邊三角形；②△DAB≌△DCE；③AB＋BC＝BD訓(xùn)練6．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180°，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，CD＝4，AE＝10，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)是__28__．7.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，G為CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AD上，且DE＝DG，連接BE，過(guò)點(diǎn)G作GF⊥BE于點(diǎn)F，連接DF，則DF的長(zhǎng)為________．答案：eq\f(9\r(5),5)模型5旋轉(zhuǎn)半角模型【模型分析】含60°半角如圖，等腰△ABC中，∠BDC＝120°，∠EDF＝60°結(jié)論：①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF解題方法：延長(zhǎng)AC至點(diǎn)G，使CG＝BE，證明△BDE≌△CDG，再證明△DEF≌△DGF，從而得到線段的數(shù)量關(guān)系(也可將△BDE進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使BD與CD重合，此時(shí)需證明點(diǎn)F，C，G三點(diǎn)共線)含45°半角1.等腰直角三角形中含半角：如圖1，在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°圖1結(jié)論：①△AED≌△AEF；②△CEF為直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2含45°半角2.正方形中含半角：如圖2，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°圖2結(jié)論：①△AEF≌△AEG；②△AGF為等腰直角三角形；③EF＝BE＋DF含45°半角解題方法：將陰影部分進(jìn)行旋轉(zhuǎn)或延長(zhǎng)一邊，與半角構(gòu)成直角三角形，證明三角形全等，從而得到線段的數(shù)量關(guān)系(旋轉(zhuǎn)時(shí)需證明三點(diǎn)共線)訓(xùn)練8．如圖，已知在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上，且∠EAF＝45°.若EF＝5，則△AEF的面積為()A．10 B．15C．20 D．25答案：B9．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，角的兩邊分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，連接MN.求△AMN的周長(zhǎng)．解：如圖，延長(zhǎng)NC到E，使CE＝BM，連接DE.∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠MBC＋∠DBC＝60°＋30°＝90°，∠DCE＝180°－∠ACD＝90°.又∵BM＝CE，BD＝CD，∴△CDE≌△BDM，∴∠CDE＝∠BDM，DE＝DM，∴∠NDE＝∠NDC＋∠CDE＝∠NDC＋∠BDM＝∠BDC－∠