人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第12章《全等三角形》檢測(cè)卷（帶答案）

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

第12章《全等三角形》測(cè)試卷（帶答案）

一'選擇題

1.如圖，在4ABC中，NABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交點(diǎn)，則BF的長(zhǎng)是（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm

2.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，0是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1,?）,則點(diǎn)

C的坐標(biāo)為（）

A.（-?,1）B.（-1,V3）C.（瓜1）D.（-73，-D

3.在連接A地與B地的線段上有四個(gè)不同的點(diǎn)D、G、K、Q,下列四幅圖中的實(shí)線分別表示

某人從A地到B地的不同行進(jìn)路線（箭頭表示行進(jìn)的方向），則路程最長(zhǎng)的行進(jìn)路線圖是（）

4.如圖，坐標(biāo)平面上，△ABC與△DEF全等，其中A、B、C的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別為D、E、F,且

AB=BC=5.若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,1）,B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=-3的圖形上，D、E兩點(diǎn)在y

軸上，則F點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為何？（）

5.平面上有4ACD與^BCE,其中AD與BE相交于P點(diǎn)，如圖.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,

ZACE=55°,ZBCD=155°,則NBPD的度數(shù)為（）

6.如圖，在AABC和4BDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F.若AC=BD,AB=ED,

BC=BE,則NACB等于（）

A.NEDBB.NBEDC.—ZAFBD.2NABF

2

7.如圖，AB=4,射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上，BE=

,作EFLDE并截取EF=DE,連結(jié)AF并延長(zhǎng)交射線BM于點(diǎn)C.設(shè)BE=x,BC=y,則y關(guān)

于x的函數(shù)解析式是（

8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,ZBAD=60°,點(diǎn)M、N分別在AB、

AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2,則tanNMCN=()

9.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的兩直角邊EF、

EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,則重疊部分四邊形EMCN的面積為

()

A.4B.-7a2C.1a2D.4

3499

二'解答題(共21小題)

10.如圖,已知AB〃DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°.

(1)若NECF=30°,CF=8,求CE的長(zhǎng)；

(2)求證：△ABFgZWEC；

(3)求證：四邊形BCEF是矩形.

E

■D

11.已知aABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC,以DC為邊在DC

兩側(cè)作等邊aDCE和等邊4DCF（點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC左側(cè)或下側(cè)），連接

AE、BF

（1）如圖1,若點(diǎn)D在AB邊上，請(qǐng)你通過(guò)觀察，測(cè)量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2,若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論（不需要證明）；

（3）若點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形，探究線段AE、

BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出結(jié)論（不需要證明）

12.如圖，ZXABC與4DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E,且NA=ND,AB=DC.

(1)求證：AABE^DCE；

(2)當(dāng)NAEB=50°,求NEBC的度數(shù)？

13.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,交CB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE_LAB于點(diǎn)E.

(1)求證：ZXACD絲Z\AED；

(2)若NB=30°,CD=1,求BD的長(zhǎng).

14.如圖，點(diǎn)D,E在AABC的邊BC上，AB=AC,BD=CE.求證：AD=AE.

A

BDEC

15.已知:如圖，AD,BC相交于點(diǎn)0,0A=0D,AB/7CD.

求證：AB=CD.

16.如圖，把一個(gè)直角三角形ACB(ZACB=90°)繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使得點(diǎn)C

旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點(diǎn)D,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置.F,G分別是BD,BE上的點(diǎn)，BF=BG,延

長(zhǎng)CF與DG交于點(diǎn)H.

(1)求證:CF=DG；

(2)求出NFHG的度數(shù).

17.如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB//ED,AC〃FD,求證：AC二DF.

18.如圖，Z\ABC和AADE都是等腰三角形，且NBAC=90°,NDAE=90°,B,C,D在同一

條直線上.求證：BD=CE.

RCD

19.如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF,AB/7DE,ZA=ZD.求證：AB=DE.

20.已知aABC為等腰直角三角形，NACB=90°,點(diǎn)P在BC邊上(P不與B、C重合)或點(diǎn)

P在4ABC內(nèi)部，連接CP、BP,將CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CE；將BP繞點(diǎn)B

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段BD,連接ED交AB于點(diǎn)0.

(1)如圖a,當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，求證：0A=0B；

(2)如圖b,當(dāng)點(diǎn)P在4ABC內(nèi)部時(shí)，

①0A=0B是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②直接寫(xiě)出NBPC為多少度時(shí)，AB=DE.

21.(1)如圖1,在AABC和4DCE中，AB〃DC,AB=DC,BC=CE,且點(diǎn)B,C,E在一條直線

上.求證：NA=ND.

(2)如圖2,在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AB=4,ZA0D=120°,求AC的長(zhǎng).

22.(1)如圖，AB平分NCAD,AC=AD,求證：BC=BD；

(2)列方程解應(yīng)用題

把一些圖書(shū)分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺

25本，這個(gè)班有多少學(xué)生？

D

23.已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB=DA,DE〃AB,ZB=ZDAE.求證：BC=AE.

24.【問(wèn)題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全

等的判定方法（即“HL"）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相

等”的情形進(jìn)行研究.

【初步思考】

我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在4ABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,然后，

對(duì)NB進(jìn)行分類(lèi)，可分為“NB是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)NB是直角時(shí)，AABC絲Z\DEF.

(1)如圖①，在4ABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE=90°,根據(jù),可以知道Rt

△ABC絲RtZXDEF.

第二種情況：當(dāng)NB是鈍角時(shí)，^ABC且ZkDEF.

(2)如圖②，在4ABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是鈍角，求證：

△ABC^ADEF.

第三種情況：當(dāng)NB是銳角時(shí)，AABC和4DEF不一定全等.

(3)在aABC和aDEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖

③中作出ADEF,使4DEF和aABC不全等.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

(4)NB還要滿足什么條件，就可以使aABC絲ADEF?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論：在aABC和4DEF

中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是銳角，若,則△ABC絲ZXDEF.

25.問(wèn)題背景:

如圖1:在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120",ZB=ZADC=90°.E,F分別是BC,CD

上的點(diǎn).且NEAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明4ABE絲Z\ADG,

再證明4AEF絲4AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______；

探索延伸：

如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且NEAF=

yZBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

實(shí)際應(yīng)用:

如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心(0處)北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮

中心南偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向

正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度

前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處，且兩艦艇之間的夾角為

70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

26.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC與BD相交于0點(diǎn)，0C=0A,若E是CD上

任意一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F,連接DF.

(1)證明：4CBFgZ\CDF；

(2)若AC=2?,BD=2,求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；

(3)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得NEFD=NBAD,并予以證明.

D

27.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF.求證:

AE=CF.

28.(1)如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD±,NEAF=45°,延長(zhǎng)CD到

點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)EF,AG.求證：EF=FG.

(2)如圖，等腰直角三角形ABC中，NBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M,N在邊BC上，且NMAN=45°,

若BM=1,CN=3,求MN的長(zhǎng).

29.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AD_LAB交BE的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,CG平分NACB交BD于點(diǎn)G,F為AB邊上一點(diǎn)，連接CF,且NACF=NCBG.求

證：

(1)AF=CG；

(2)CF=2DE.

30.如圖，在AABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC+ZEAD=180°,ZiABC不動(dòng)，AADE

繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE、CD,F為BE的中點(diǎn)，連接AF.

(1)如圖①，當(dāng)NBAE=90°時(shí)，求證：CD=2AF；

(2)當(dāng)NBAE豐90°時(shí)，(1)的結(jié)論是否成立？請(qǐng)結(jié)合圖②說(shuō)明理由.

BCB

圖①圖②

參考答案

一'選擇題（共9小題）

1.如圖，SAABC中，ZABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交點(diǎn)，貝I]BF的長(zhǎng)是（）

【解答】解：：F是高AD和BE的交點(diǎn)，

NADC=ZADB=ZAEF=90°,

/.ZCAD+ZAFE=90°,ZDBF+ZBFD=90°,

■/ZAFE=ZBFD,

/.ZCAD=ZFBD,

---ZADB=90°,NABC=45°,

/.ZBAD=45°=NABD,

.,.AD=BD,

在4DBF和4DAC中

'NFBD=NCAD

<DB=AD

ZFDB=ZCDA

.,.△DBF^ADAC(ASA),

.".BF=AC=8cm,

故選C.

2.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，。是原點(diǎn)，A的坐標(biāo)為（1,73）,則點(diǎn)

C的坐標(biāo)為（）

A.（-73，1）B.（-1,V3）C.（?,1）D.（-73，-1）

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD_Lx軸于D,過(guò)點(diǎn)C作CE_Lx軸于E,

:四邊形OABC是正方形,

，OA=OC,ZA0C=90°,

ZC0E+ZA0D=90°,

又；N0AD+NA0D=90°,

Z0AD=ZC0E,

在AAOD和aOCE中，

'/OAD=/COE

<NADO=NOEC=90°,

OA=OC

.,.△AOD^AOCE(AAS),

.?.OE=AD=?,CE=OD=1,

???點(diǎn)C在第二象限，

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-如,1).

故選：A.

3.（2014?湖州）在連接A地與B地的線段上有四個(gè)不同的點(diǎn)D、G、K、Q,下列四幅圖中

的實(shí)線分別表示某人從A地到B地的不同行進(jìn)路線（箭頭表示行進(jìn)的方向），則路程最長(zhǎng)的

行進(jìn)路線圖是（）

H

65。367°

65。

70°

VZCAB=ZEDB=45°,

???AS〃ED,貝l]SC〃DE.

同理SE/7CD,

???四邊形SCDE是平行四邊形,

???SE=CD,DE=CS,

即走的路線長(zhǎng)是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS；

B、延長(zhǎng)AF、BH交于作FK〃GH與BH的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,

???NSAB=NSiAB=45°,NSBA=NS|BA=70°,AB=AB,

ASAB^AS^B,

/.AS=AS15BS=BSn

VZFGH=180°-70°-43°=67°=ZGHB,

???FG〃KH,

VFK//GH,

???四邊形FGHK是平行四邊形,

/.FK=GH,FG=KH,

AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB,

VFS1+S1K>FK,

/.AS+BS>AF+FK+KH+HB,

C、D、同理可證得AI+IK+KM+MBVASz+BSzVAN+NQ+QP+PB.

綜上所述，D選項(xiàng)的所走的線路最長(zhǎng).

故選：D.

4.如圖，坐標(biāo)平面上，AABC與△DEF全等，其中A、B、C的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別為D、E、F,且

AB二BC=5.若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,1）,B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=-3的圖形上，D、E兩點(diǎn)在y

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：如圖，作AH、CK、FP分別垂直BC、AB、DE于H、K、P.

ZDPF=ZAKC=ZCHA=90°.

,/AB=BC,

ZBAC=ZBCA.

在AAKC和aCHA中

"ZAKC=ZCHA

<AC=CA,

ZBAC=ZBCA

.,.△AKC^ACHA(ASA),

.,.KC=HA.

???B、C兩點(diǎn)在方程式y(tǒng)=-3的圖形上，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,1),

.,.AH=4.

；.KC=4.

,/△ABC^ADEF,

ZBAC=ZEDF,AC=DF.

在AAKC和4DPF中，

'NAKC=NDPF

?NBAC=NEDF,

AC=DF

.,.△AKC^ADPF(AAS),

.,.KC=PF=4.

5.平面上有4ACD與^BCE,其中AD與BE相交于P點(diǎn)，如圖.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,

【解答】解:在4ACD和4BCE中,

"AC=BC

<CD=CE,

AD=BE

.,.△ACD^ABCE(SSS),

ZA=ZB,ZBCE=ZACD,

ZBCA=ZECD,

ZACE=55°,ZBCD=155°,

ZBCA+ZECD=100",

ZBCA=ZECD=50°,

ZACE=55",

ZACD=105°

ZA+ZD=75",

NB+ND=75°,

ZBCD=155°,

/.ZBPD=360°-75°-155°=130°,

故選：C.

6.如圖，在△ABC和ABDE中，點(diǎn)C在邊BD上，邊AC交邊BE于點(diǎn)F.若AC=BD,AB=ED,

BC=BE,則NACB等于(

C.—ZAFBD.2NABF

2

【解答】解:在ZkABC和ADEB中,

rAC=BD

<AB=ED,

BC=BE

.,.△ABC^ADEB(SSS),

/.ZACB=ZDBE.

??.NAFB是4BFC的外角,

ZACB+ZDBE=ZAFB,

ZACB=yZAFB,

故選：C.

7.如圖，AB=4,射線BM和AB互相垂直，點(diǎn)D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BM上，BE=

《OB,作EF，DE并截取EF=DE,連結(jié)AF并延長(zhǎng)交射線BM于點(diǎn)C.設(shè)BE=x,BC=y,則y關(guān)

于x的函數(shù)解析式是（）

【解答】解：作FGLBC于G,

?.,ZDEB+ZFEC=90",NDEB+NBDE=90°；

NBDE=NFEG,

在4DBE與4EGF中

'NB=NFGE

<ZBDE=ZFEG

DE=EF

.,.△DBE^AEGF,

.,.EG=DB,FG=BE=x,

.,.EG=DB=2BE=2x,

GC=y-3x,

?/FG±BC,AB±BC,

???FG〃AB,

CG：BC=FG：AB,

xy-3x

即BnT-----，

4y

12x

-

--y=x-4T.

故選：A.

8.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6,AB±BC,AD±CD,ZBAD=60°,點(diǎn)M、N分別在AB、

AD邊上，若AM：MB=AN：ND=1：2,則tanNMCN=()

A3百2&2Mr-

13119

【解答】解:,.'AB=AD=6,AM：MB=AN：ND=1：2,

.,.AM=AN=2,BM=DN=4,

連接MN,連接AC,

?.?AB±BC,AD±CD,ZBAD=60°

在RtAABC與RtAADC中，

[AB=AD

1AC=AC,

.,.RtAABC^RtAADC(HL)

ZBAC=ZDAC=yZBAD=30°,MC=NC,

.,.AC2=BC2+AB2,即(2BC)2=BC2+AB2,

3BC2=AB2,

>'-BC=2A/3?

在RtABMC中,CM=VBM2+BC2=742+(2V3)2=2VT-

,.,AN=AM,ZMAN=60°,

.'.△MAN是等邊三角形，

.,.MN=AM=AN=2,

過(guò)M點(diǎn)作ME_LCN于E,設(shè)NE=x,則CE=^/7-x,

.■.MN2-NE2=MC2-EC2,即4-XJ(2V7)(277-x)2,

解得：x=乎,

.'.EC=2V7-氏1377

77'

ME~A/MN2-

..."MCN器等

故選:A.

9.如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的兩直角邊EF、

EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,則重疊部分四邊形EMCN的面積為

()

A.4a2B.a20.1a2D.4

3499

【解答】解：過(guò)E作EPLBC于點(diǎn)P,EQLCD于點(diǎn)Q,

G

A

P\

.?.四邊形ABCD是正方形,

/.ZBCD=90°,

/.ZPEQ=90°,

ZPEM+ZMEQ=90°,

.「三角形FEG是直角三角形，

ZNEF=ZNEQ+ZMEQ=90°,

ZPEM=ZNEQ,

「AC是NBCD的角平分線，NEPC二NEQC=90°,

??.EP=EQ,四邊形PCQE是正方形，

在AEPM和AEON中，

'NPEM=NNEQ

<EP=EQ,

NEPM二NEQN

/.△EPM^AEQN(ASA)

?，SAEQN-S^EPM，

,二四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積,

.?.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,

?/EC=2AE,

.,.EC=-^^a,

3

2

??.EP=PO|a,

.二正方形PCQE的面積X-1"a=

d

???四邊形EMCN的面積言az,

故選:D.

二、解答題(共21小題)

10.如圖，已知AB〃DE,AB=DE,AF=CD,ZCEF=90°.

(1)若NECF=30°,CF=8,求CE的長(zhǎng)；

(2)求證：ZXABF絲ZXDEC；

(3)求證：四邊形BCEF是矩形.

【解答】(1)解：??,NCEF=90°.

..cosZECF-------.

CF

?.,ZECF=30",CF=8.

.?.CF=CF?cos30°=8X2ZI=4遂；

(2)證明：；AB〃DE,

NA=ND,

,■,fiAABF和Z\DEC中

'AB=DE

<ZA=ZD

,AF=DC

.,.△ABF^ADEC(SAS)；

(3)證明：由(2)可知：4ABF咨

.,.BF=CE,ZAFB=ZDCE,

■.,ZAFB+ZBFC=180°,ZDCE+ZECF=180°,

ZBFC=ZECF,

；.BF〃EC,

二.四邊形BCEF是平行四邊形，

ZCEF=90°,

四邊形BCEF是矩形.

11.已知AABC為等邊三角形，D為AB邊所在的直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接DC,以DC為邊在DC

兩側(cè)作等邊4DCE和等邊4DCF（點(diǎn)E在DC的右側(cè)或上側(cè)，點(diǎn)F在DC左側(cè)或下側(cè)），連接

AE、BF

（1）如圖1,若點(diǎn)D在AB邊上，請(qǐng)你通過(guò)觀察，測(cè)量，猜想線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

（2）如圖2,若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，線段AE、BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)

系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論（不需要證明）；

（3）若點(diǎn)D在AB的反向延長(zhǎng)線上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出圖形，探究線段AE、

BF和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并直接寫(xiě)出結(jié)論（不需要證明）

【解答】解：(1)AE+BF=AB,如圖1,

".'△ABC和4DCF是等邊三角形，

.,.CA=CB,CD=CF,ZACB=ZDCF=60°.

NACD=NBCF,

在AACD和ABCF中

"CA=CB

-ZACD=ZBCF

CD=CF

.,.△ACD^ABCF(SAS)

.,.AD=BF

同理：△CBDgACAE(SAS)

.,.BD=AE

.-.AE+BF=BD+AD=AB；

(2)BF-AE=AB,

如圖2,易證△CBFgZ\CAD和4CBD義Z\CAE,

.,.AD=BF,BD=AE,

.,.BF-AE=AD-BD=AB；

(3)AE-BF=AB,

如圖3,易證4CBF出Z\CAD和4CBD絲ZXCAE,

.-.AD=BF,BD=AE,

/.BF-AE=AD-BD=AB.

12.(2013?舟山)如圖，Z\ABC與ADCB中，AC與BD交于點(diǎn)E,且NA=ND,AB=DC.

(1)求證：ZkABE絲DCE；

(2)當(dāng)NAEB=50°,求NEBC的度數(shù)？

D

【解答】(1)證明：???在4ABE和4DCE中

'NA二ND

<ZAEB=ZDEC

AB=DC

.,.△ABE^ADCE(AAS)；

(2)解：-.'△ABE^ADCE,

.,.BE=EC,

ZEBC=ZECB,

NEBC+NECB=NAEB=50°,

ZEBC=25°.

13.如圖，在AABC中，ZC=90°,AD平分NCAB,交CB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DELAB于點(diǎn)E.

(1)求證：Z\ACD&Z\AED；

(2)若NB=30°,CD=1,求BD的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：:AD平分NCAB,DE±AB,NC=90°,

.,.CD=ED,ZDEA=ZC=90°,

?..在RtAACD和RtAAED中

[AD=AD

lCD=DE

/.RtAACD^RtAAED(HL)；

(2)解:,.,DC=DE=1,DE±AB,

ZDEB=90°,

ZB=30°,

.,.BD=2DE=2.

14.如圖，點(diǎn)D,E在aABC的邊BC上，AB=AC,BD=CE.求證:AD=AE.

r.ZB=ZC,

在AABD與AACE中，

'AB=AC

???<ZB=ZC,

BD=EC

「.△ABD絲△ACE(SAS),

.,.AD=AE.

15.已知:如圖，AD,BC相交于點(diǎn)0,0A=0D,AB〃CD.

求證:AB=CD.

【解答】證明：.；AB〃CD,

ZB=ZC,NA=ND,

?.?在△AOB?nAD0C中,

"B=NC

-ZA=ZD,

OA=OD

」.△AOB絲△DOC(AAS),

.,.AB=CD.

16.如圖，把一個(gè)直角三角形ACB(ZACB=90°)繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使得點(diǎn)C

旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點(diǎn)D,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置.F,G分別是BD,BE上的點(diǎn)，BF=BG,延

長(zhǎng)CF與DG交于點(diǎn)H.

(1)求證:CF=DG；

(2)求出NFHG的度數(shù).

【解答】(1)證明：：在4CBF和4DBG中,

'BC=BD

-ZCBF=ZDBG,

BF=BG

.,.△CBF^ADBG(SAS),

；.CF=DG；

(2)解：'.?△CBF^ADBG,

ZBCF=ZBDG,

又丫ZCFB=ZDFH,

又,:△BCF中，ZCBF=180°-ZBCF-NCFB,

△DHF中，ZDHF=180°-ZBDG-NDFH,

...NDHF=NCBF=60°,

ZFHG=1800-ZDHF=180°-60°=120°.

17.如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE,AB〃ED,AC〃FD,求證：AC=DF.

；.FB+FC=CE+FC,

.,.BC=EF,

；AB〃ED,AC〃FD,

/.ZB=ZE,ZACB=ZDFE,

,.,fiAABC和2XDEF中，

'/B=NE

-BC=EF,

ZACB=ZDFE

.'.△ABC^ADEF(ASA),

；.AC=DF.

18.如圖，Z^ABC和4ADE都是等腰三角形，且ZBAC=90°,ZDAE=90°,B,C,D在同一

條直線上.求證：BD=CE.

【解答】證明：:△ABC和4ADE都是等腰直角三角形

.,.AD=AE,AB=AC,

又；NEAC=90°+ZCAD,NDAB=90°+NCAD,

ZDAB=ZEAC,

,在AADB和AAEC中

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

.'.△ADB^AAEC(SAS),

.,.BD=CE.

19.如圖，已知點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，BE=CF,AB/7DE,NA=ND.求證：AB=DE.

【解答】證明：：BE=CF,，BC=EF.

；AB〃DE,ZB=ZDEF.

在AABC與ADEF中，

fZA=ZD

，ZB=ZDEF,

BC=EF

.,.△ABC^ADEF(AAS),

.,.AB=DE.

20.已知AABC為等腰直角三角形，NACB=90°,點(diǎn)P在BC邊上(P不與B、C重合)或點(diǎn)

P在AABC內(nèi)部，連接CP、BP,將CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段CE；將BP繞點(diǎn)B

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段BD,連接ED交AB于點(diǎn)0.

(1)如圖a,當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，求證：0A=0B；

(2)如圖b,當(dāng)點(diǎn)P在4ABC內(nèi)部時(shí),

①0A=0B是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②直接寫(xiě)出NBPC為多少度時(shí)，AB=DE.

A

D

OD

圖

【解答】(1)證明：?；△ABC為等腰直角三角形,

.,.CA=CB,NA=NABC=45°,

由旋轉(zhuǎn)可知：CP=CE,BP=BD,

.■.CA-CE=CB-CP,

即AE=BP,

.'.AE=BD.

又?.?NCBD=90°,Z0BD=45°,

在aAEO和△BDO中，

"ZAOE=ZBOD

<NA=N0BD=45°,

,AE=BD

.-.△AEO^ABDO(AAS),

/.OA=OB；

(2)成立，理由如下：

連接AE,則AAEC絲4BCP,

；.AE=BP,ZCAE=ZBPC,

,.,BP=BD,

.,.BD=AE,

,/Z0AE=45°+NCAE,N0BD=90°-N0BP=90°-(45°-NBPC)=45°+ZPBC,

ZOAE=ZOBD,

在AAEO和△BDO中，

"ZAOE=ZBOD

,ZOAE=ZOBD,

,AE=BD

.,.△AEO^ABDO(AAS),

.,.OA=OB,

②當(dāng)NBPC=135°時(shí)，AB=DE.理由如下：

解法一：

當(dāng)AB=DE時(shí)，由①知OA=OB,.,.OA=OB=OE=OD.

設(shè)NPCB=a,由旋轉(zhuǎn)可知，ZACE=a.

連接0C,則OC=OA=OB,.-.OC=OE,

ZDEC=Z0CEM5°+a.

設(shè)NPBC=B,則NABP=45。-(3,Z0BD=90°-ZABP=45°+p.

,.,OB=OD,ZD=Z0BD=450+p.

在四邊形BCED中，ZDEC+ZD+ZDBC+ZBCE=360",

即：(45°+a)+(45°+B)+(90°+B)+(90°+a)=360",

解得：a+B=45°,

ZBPC=180°-(a+B)=135°.

解法二(本溪趙老師提供，更為簡(jiǎn)潔)：

當(dāng)AB=DE時(shí)，四邊形AEBD為矩形

貝ljNDBE=90。=NDBP,

???點(diǎn)P落在線段BE上.

??,△ECP為等腰直角三角形，

ZEPC=45°,

/.ZBPC=1800-ZEPC=135°.

21.(1)如圖1,在aABC和4DCE中，AB/7DC,AB=DC,BC二CE,且點(diǎn)B,C,E在一條直線

上.求證：NA=ND.

(2)如圖2,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,AB=4,ZA0D=120°,求AC的長(zhǎng).

r.ZB=ZDCE,

'AB=DC

在4ABC和4DCE中(ZB=ZDCE,

CB=CE

.,.△ABC^ADCE(SAS),

r.NA=ND；

(2)解：?.?四邊形ABCD是矩形,

.,.AO=BO=CO=DO,

,.'ZA0D=120°,

ZA0B=60°,

.?.△AOB是等邊三角形，

.'.AO=AB=4,

/.AC=2A0=8.

22.(1)如圖，AB平分NCAD,AC=AD,求證：BC=BD；

(2)列方程解應(yīng)用題

把一些圖書(shū)分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人分4本，則還缺

25本，這個(gè)班有多少學(xué)生？

【解答】(1)證明：:AB平分NCAD,

/.NCAB=NDAB,

在4ABC和4ABD中

'AC=AD

<ZCAB=ZDAB

AB=AB

.,.△ABC^AABD(SAS),

.,.BC=BD.

（2）解：設(shè)這個(gè)班有x名學(xué)生，根據(jù)題意得：3x+20=4x-25,

解得：x=45,

答：這個(gè)班有45名學(xué)生.

23.已知：如圖，D是AC上一點(diǎn)，AB=DA,DE/7AB,NB=NDAE.求證：BC=AE.

【解答】證明：：DE〃AB,

ZCAB=ZADE,

,??在4ABC和Z\DAE中，

'NCAB=NADE

?AB=DA,

ZB=ZDAE

.,.△ABC^ADAE(ASA),

.,.BC=AE.

24.【問(wèn)題提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全

等的判定方法（即“HL"）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相

等”的情形進(jìn)行研究.

【初步思考】

我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在aABC和4DEF中，AC=DF,BC=EF,NB=NE,然后，

對(duì)NB進(jìn)行分類(lèi)，可分為“NB是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】

第一種情況：當(dāng)NB是直角時(shí)，Z\ABC絲ADEF.

(1)如圖①，在aABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE=90°,根據(jù)HL,可以知道Rt

△ABC^RtADEF.

第二種情況：當(dāng)NB是鈍角時(shí)，^ABC四4DEF.

(2)如圖②，在4ABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是鈍角，求證：

△ABC^ADEF.

第三種情況：當(dāng)NB是銳角時(shí)，^ABC和4DEF不一定全等.

(3)在AABC和ADEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖

③中作出aDEF,使aDEF和AABC不全等.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

(4)NB還要滿足什么條件，就可以使aABC也ADEF?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論：在aABC和4DEF

中，AC=DF,BC=EF,ZB=ZE,且NB、NE都是銳角，若NBNNA,貝l]Z\ABC絲Z\DEF.

【解答】(1)解：HL；

(2)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CGJ_AB交AB的延長(zhǎng)線于G,過(guò)點(diǎn)F作FHJLDE交DE的延長(zhǎng)線

于H,

ZABC=ZDEF,且NABC、NDEF都是鈍角，

.-.180°-ZABC=180°-NDEF,

即NCBG=NFEH,

在ZkCBG和AFEH中,

"ZCBG=ZFEH

<NG=NH=90°,

BC=EF

.,.△CBG^AFEH(AAS),

.,.CG=FH,

在RtAACG和RtADFH中，

[AC=DF

lCG=FH'

.'.RtAACG^RtADFH(HL),

NA=ND,

在AABC和ADEF中，

'NA=ND

<ZABC=ZDEF,

AC=DF

.'.△ABC^ADEF(AAS)；

(3)解：如圖，ADEF和AABC不全等;

C(F)

(4)解：若NB2NA,則△ABCg^DEF.

25.(2014?德州)問(wèn)題背景：

如圖1:在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120",NB=NADC=90°.,F分別是BC,CD

上的點(diǎn).且NEAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明4ABE且AADG,

再證明4AEF絲ZXAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF=BE+DF；

探索延伸：

如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且NEAF=

yZBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

實(shí)際應(yīng)用：

如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（0處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮

中心南偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向

正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度

前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處，且兩艦艇之間的夾角為

70°,試求此時(shí)兩艦艇之間的距離.

【解答】解：?jiǎn)栴}背景：EF=BE+DF；

探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.

證明如下：如圖，延長(zhǎng)FD到G,使DG=BE,連接AG,

；NB+NADC=180°,NADC+NADG=180°,

ZB=ZADG,

在AABE和4ADG中，

rDG=BE

<NB=NADG,

AB二AD

.,.△ABE^AADG(SAS),

.,.AE=AG,NBAE=NDAG,

---NEAF[NBAD,

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=NBAD-NEAF=ZEAF,

NEAF=FGAF,

在ZkAEF和AGAF中,

'AE=AG

?NEAF=/GAF,

,AF=AF

.'.△AEF^AGAF(SAS),

.,.EF=FG,

：FG=DG+DF=BE+DF,

.,.EF=BE+DF；

實(shí)際應(yīng)用：如圖，連接EF,延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C,

?rZA0B=30°+90°+(90°-70°)=140",

ZE0F=70",

ZE0F=—ZAOB,

2

又；OA=OB,

ZOAC+ZOBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,

二符合探索延伸中的條件，

二結(jié)論EF=AE+BF成立，

即EF=1.5X(60+80)=210海里.

答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里.

26.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,AC與BD相交于。點(diǎn)，OC=OA,若E是CD上

任意一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F,連接DF.

(1)證明：4CBF烏ACDF；

(2)若AC=2巡，BD=2,求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；

(3)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得NEFD=NBAD,并予以證明.

【解答】(1)證明：在4ABC和aADC中，

'AB=AD

,BC=DC,

AC=AC

/.△ABC^AADC(SSS),

ZBCA=ZDCA,

在ACBF和4CDF中，

rBC=DC

?ZBCA=ZDCA,

CF=CF

.,.△CBF^ACDF(SAS),

(2)解：?「△ABCgZ\ADC,

AABC和AADC是軸對(duì)稱(chēng)圖形，

/.OB=OD,BD±AC,

,.■OA=OC,

.??四邊形ABCD是菱形，

.-.AB=BC=CD=DA,

；AC=2?,BD=2,

:QA=M,0B=1,

AB=VOA2+OB^7(V3)2+l2=2-

四邊形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=4X2=8.

(3)當(dāng)EB_LCD時(shí)，即E為過(guò)B且和CD垂直時(shí)垂線的垂足，NEFD=NBCD,

理由：二.四邊形ABCD為菱形，

???BC=CD,ZBCF=ZDCF,NBCD二NBAD,

".,△BCF^ADCF,

ZCBF=ZCDF,

?.?BE±CD,

ZBEC=ZDEF=90",

ZBCD+ZCBF=90",NEFD+NCDF=90°,

r.ZEFD=ZBAD.

27.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、B、D、F在同一直線上，且BE=DF.求證:

AE=CF.

【解答】證明：..?四邊形ABCD是平行四邊形,

/.AB=CD,AB/7CD,

NABD=NCDB,

.-.180°-ZABD=180°-ZCDB,

即NABE=NCDF,

在4ABE和4CDF中，

'AB=CD

<ZABE=ZCDF,

BE=DF

/.△ABE^ACDF(SAS),

.,.AE=CF.

28.(1)如圖1,正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD±,ZE