專(zhuān)題5四邊形中的將軍飲馬模型八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)聚焦課本培優(yōu)專(zhuān)題訓(xùn)練講義（原卷版）

專(zhuān)題5四邊形中的將軍飲馬模型型專(zhuān)題5四邊形中的將軍飲馬模型型知識(shí)梳理知識(shí)梳理“將軍飲馬”問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它涉及到了幾何學(xué)中的最短路徑問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題的背景是：古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者叫海倫。一天，一位羅馬將軍專(zhuān)程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：將軍每天從A地出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營(yíng)B地開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個(gè)被稱(chēng)為“將軍飲馬”的問(wèn)題廣泛流傳。

“將軍飲馬”模型問(wèn)題是我們解決最值問(wèn)題最基本的模型。這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)來(lái)處理最短距離問(wèn)題，在此軸對(duì)稱(chēng)是工具，最短距離是題中的題眼，通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)“化折為直”，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)達(dá)到問(wèn)題的解決?！皩④婏嬹R”問(wèn)題主要利用構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形解決求兩條線段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等一類(lèi)最值問(wèn)題，會(huì)與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競(jìng)賽中出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。模型分析模型一：將軍飲馬模型模型分析將軍飲馬模型概念：“將軍飲馬”問(wèn)題是指動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，線段和差的一類(lèi)最值問(wèn)題。解題依據(jù)：兩點(diǎn)間線段最短；點(diǎn)到直線的垂直距離最短；翻折對(duì)稱(chēng)。解題策略：對(duì)稱(chēng)、翻折→化同為異；化異為同；化折為直。解題思路：利用軸對(duì)稱(chēng)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。口訣：同側(cè)兩點(diǎn)做對(duì)稱(chēng)，異側(cè)兩點(diǎn)直接連，若求線段差最大，處理方法剛好反，若用一句來(lái)總結(jié)，何必兩側(cè)差同邊。模型展示模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）模型展示【模型解讀】?jī)牲c(diǎn)一線之點(diǎn)A、B在直線異側(cè)：（1）如圖，在直線兩側(cè)各有一個(gè)定點(diǎn)，分別是點(diǎn)A、B，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得PA＋PB的值最??？【模型解析】解：連接AB，AB與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖所示：法一：由“兩點(diǎn)間線段最短”可得當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PB的值最小，即為AB的長(zhǎng)度.法二：假設(shè)點(diǎn)P不在AB與l的交點(diǎn)上，此時(shí)由三角形三邊關(guān)系可得，而當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PB＝AB，∴當(dāng)A、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PB的值最小.【模型解讀】?jī)牲c(diǎn)一線之點(diǎn)A、B再直線同側(cè):（2）如圖，在直線同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得PA＋PB的值最?。俊灸Ｐ徒馕觥拷猓骸痉治觥亢蜕项}相比，這個(gè)問(wèn)題就難在PA＋PB不是一條線段，而是一段折線段，由“兩點(diǎn)之間線段最短”和“點(diǎn)到直線間，垂線段最短”可以將這個(gè)問(wèn)題中的折線段轉(zhuǎn)化為直線段.構(gòu)圖：作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’，連接A’B，A’B與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖所示：∵點(diǎn)A與A’始終關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，∴PA＋PB的長(zhǎng)度可轉(zhuǎn)化為PA’＋PB的長(zhǎng)度，由1中的結(jié)論可得當(dāng)A’、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA’＋PB的值最小，即為A’B的長(zhǎng)度.【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。模型2.求多條線段和（周長(zhǎng)）最小值【模型解讀】一定兩動(dòng)之兩個(gè)點(diǎn)都在直線上：（3）如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，怎么樣在OA上找一點(diǎn)C，在OB上找一點(diǎn)D，使△PCD的周長(zhǎng)最??？【模型解析】構(gòu)圖：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P’、P’’，連接P’P’’，交OA、OB于點(diǎn)C、D，此時(shí)△PCD的周長(zhǎng)最小，P’P’’即為△PCD的周長(zhǎng)最小值，如圖所示： 【模型解讀】一定兩動(dòng)之一個(gè)點(diǎn)在直線上，一個(gè)點(diǎn)在直線外：（4）如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，怎么樣在OA上找一點(diǎn)C，在OB上找一點(diǎn)D，使PD＋CD的值最?。俊灸Ｐ徒馕觥繕?gòu)圖：作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P’，過(guò)點(diǎn)P’作P’C⊥OA交OB于點(diǎn)D，交OA于點(diǎn)C，此時(shí)PD＋CD的值最小，P’C即為PD＋CD的值最小.【模型解讀】?jī)啥▋蓜?dòng)之兩個(gè)點(diǎn)都在直線內(nèi)側(cè)：（5）如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，怎樣在OA、OB上分別取點(diǎn)C、D，使得△PCD的周長(zhǎng)最小？【模型解析】構(gòu)圖：分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P’、Q’，連接P’Q’分別交OA、OB于點(diǎn)C、D，此時(shí)△PCD的周長(zhǎng)最小值為PQ＋P’Q’，如圖所示：【模型解讀】?jī)啥▋蓜?dòng)之臺(tái)球兩次碰壁模型（6）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.【模型解析】構(gòu)圖：分別作點(diǎn)A、B關(guān)于n、m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’、B’，連接A’B’分別交n、m于點(diǎn)D、E，此時(shí)四邊形ADBE的周長(zhǎng)最小值為AB＋A’B’，如圖所示：【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。模型3.求兩條線段差最大值【模型解讀】?jī)牲c(diǎn)一線之點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：（7）如圖，在直線同側(cè)有A、B兩個(gè)定點(diǎn)，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得的值最大？【模型解析】解：連接AB并延長(zhǎng)，交直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；證明如下：如圖，P'為l上異于P的一點(diǎn)，連接P'A、P'B，在△ABP'中，由三角形的三邊關(guān)系得：|P'A﹣P'B|＜AB，∵PA﹣PB＝AB，∴|P'A﹣P'B|＜|PA＝PB|，∴當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，|PA﹣PB|的值最大．【模型解讀】?jī)牲c(diǎn)一線之點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：（8）如圖，在直線兩側(cè)各有一個(gè)定點(diǎn)，分別是點(diǎn)A、B，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得的值最大？【模型解析】構(gòu)圖：作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’，連接AB’并延長(zhǎng)與的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖所示：【最值原理】在三角形中兩邊之差小于第三邊.【模型解讀】?jī)牲c(diǎn)一線之點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：（9）如圖，在直線兩側(cè)各有一個(gè)定點(diǎn)，分別是點(diǎn)A、B，怎樣在直線上找到一點(diǎn)P，使得的值最??？【模型解析】構(gòu)圖：連接AB，作線段AB的垂直平分線與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，如圖所示：【最值原理】線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等.經(jīng)典例題經(jīng)典例題精析【經(jīng)典例題】問(wèn)題提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點(diǎn)E、F分別為邊AD、BC上的點(diǎn)，且AE＝1；BF＝2．（1）如圖①，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接EP、PF，則EP+PF的最小值為；（2）如圖②，P、M是AB邊上兩動(dòng)點(diǎn)，且PM＝2，現(xiàn)要求計(jì)算出EP、PM、MF和的最小值．九年級(jí)一班某興趣小組通過(guò)討論得出一個(gè)解決方法：在DA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E'，使AE'＝AE，再過(guò)點(diǎn)E'作AB的平行線E'C，在E'C上E”的下方取點(diǎn)M，使E'M'＝2，連接M'F，則與AB邊的交點(diǎn)即為M，再在邊AB上點(diǎn)M的上方取P點(diǎn)，且PM＝2，此時(shí)EP+PM+MF的值最?。麄儾淮_定此方法是否可行，便去請(qǐng)教數(shù)學(xué)田老師，田老師高興地說(shuō)：“你們的做法是有道理的”．現(xiàn)在請(qǐng)你根據(jù)敘述作出草圖并計(jì)算出EP+PM+MF的最小值；問(wèn)題解決：（3）聰聰?shù)陌职质枪╇姽镜木€路設(shè)計(jì)師，公司準(zhǔn)備架設(shè)一條經(jīng)過(guò)農(nóng)田區(qū)的輸電線路，為M、N兩個(gè)村同時(shí)輸電．如圖所示，農(nóng)田區(qū)兩側(cè)AB與CD平行，且農(nóng)田區(qū)寬為0.5千米，M村到AB的距離為2千米，N村到CD的距離為1千米，M、N所在的直線與AB所夾銳角恰好為45°，根據(jù)架線要求，在農(nóng)田區(qū)內(nèi)的線路要與AB垂直．請(qǐng)你幫助聰聰?shù)陌职衷O(shè)計(jì)出最短的線路圖，并計(jì)算出最短線路的長(zhǎng)度．（要求：寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程，結(jié)果保留根號(hào)）模型分析模型二.將軍遛馬模型分析圖形特征：兩定兩動(dòng)?；静呗裕和瑐?cè)化異側(cè)、折線化直線?；痉椒ǎ篘個(gè)動(dòng)點(diǎn)N條河，N次對(duì)稱(chēng)跑不脫。基本原理：兩點(diǎn)之間線段最短解題關(guān)鍵：根據(jù)結(jié)論抓點(diǎn)、線。模型三.造橋選址圖形特征：兩定兩動(dòng)?；静呗裕和瑐?cè)化異側(cè)、折線化直線。基本方法：將一定點(diǎn)沿定長(zhǎng)方向平移定長(zhǎng)距離，再用將軍飲馬模型解決問(wèn)題?；驹恚簝牲c(diǎn)之間線段最短解題關(guān)鍵：根據(jù)結(jié)論抓點(diǎn)、線。模型展示模型二：將軍遛馬模型模型展示【核心思路】去除定量，組合變量（通過(guò)幾何變換將若干段原本彼此分類(lèi)的線段組合到一起）。【模型解讀】?jī)啥▋蓜?dòng)點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：（1）已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)【模型解析】如圖，過(guò)A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。如圖所示：【模型解讀】?jī)啥▋蓜?dòng)點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：（2）已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)【模型解析】如圖，過(guò)A點(diǎn)作AE∥m,且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。如圖所示：【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。模型三：將軍過(guò)橋（造橋）模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過(guò)幾何變換將若干段原本彼此分類(lèi)的線段組合到一起）?！灸Ｐ徒庾x】?jī)啥▋蓜?dòng)一座橋已知，如圖，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？【模型解析】考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問(wèn)題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過(guò)平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A’位置（圖1）．問(wèn)題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖2）．如圖所示：圖1圖2【模型解讀】?jī)啥▋蓜?dòng)兩座橋（4）已知，如圖，將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)兩條河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？【模型解析】考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價(jià)于AP+QM+NB最小，對(duì)于這彼此分離的三段，可以通過(guò)平移使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'（如圖5）．當(dāng)A'、Q、M、B'共線時(shí)，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置（如圖6）．如圖所示：圖5圖6【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。經(jīng)典例題經(jīng)典例題精析【經(jīng)典例題】（1）如圖①，在邊長(zhǎng)是1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，在線段上找一點(diǎn)P，使得最短．（2）如圖②，在正方形中，，E是中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．（3）如圖③，在正方形中，，E、F是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是．

典型典型例題例1、如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠ANM+∠AMN的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．130°例2、已知，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．例3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段所在直線的解析式為，是的中點(diǎn)，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是(

)A． B． C． D．例4、如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，M在上，且，N是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．例5、如圖，在四邊形ABCD中，．在BC，CD上分別找一點(diǎn)M，N，使周長(zhǎng)最小，則的度數(shù)為_(kāi)________．例6、如圖，矩形ABCD中，AD＝4，∠CAB＝30°，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，則AQ+QP的最小值是．例7、菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC=45°，點(diǎn)P、Q分別是BC、BD上的動(dòng)點(diǎn)，CQ+PQ的最小值為．例8、如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，若△ABC為等邊三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．（1）求證：BD垂直平分AC；（2）求BE的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)贐D上找出一點(diǎn)P，使PC+PF取得最小值；PC+PF的最小值為（直接寫(xiě)出結(jié)果）．例9、在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點(diǎn)重合），PQ＝2(1)如圖①，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，當(dāng)Q移動(dòng)到BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，求證：AP＝QE；(2)如圖②，若點(diǎn)E為CD邊上的中點(diǎn)，在PQ的移動(dòng)過(guò)程中，若四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求BP的長(zhǎng)；(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（M、N均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長(zhǎng)最小時(shí)，求此時(shí)四邊形PQNM的面積．例10、如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，且ED＝OF，連接AE、AF，則△AEF周長(zhǎng)的最小值是。例11、李明酷愛(ài)數(shù)學(xué)，勤于思考，善于反思．在學(xué)習(xí)八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)之后，他發(fā)現(xiàn)“二次根式、勾股定理、一次函數(shù)、平行四邊形”都和“將軍飲馬”問(wèn)題有關(guān)聯(lián)，并且為解決“飲馬位置”“最短路徑長(zhǎng)”等問(wèn)題，提供了具體的數(shù)學(xué)方法．于是他撰寫(xiě)了一篇數(shù)學(xué)作文．請(qǐng)你認(rèn)真閱讀思考，幫助李明完成相關(guān)問(wèn)題．“將軍飲馬”問(wèn)題的探究與拓展八年級(jí)三班李明“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”（唐李頎《古從軍行》，這句詩(shī)讓我想到了有趣的“將軍飲馬”問(wèn)題：將軍從地出發(fā)到河邊飲馬，然后再到地軍營(yíng)視察，怎樣走路徑最短？【數(shù)學(xué)模型】如圖1，，是直線同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．在直線上確定一點(diǎn)，使的值最小．【問(wèn)題解決】作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．此時(shí)，的值最小，且．【模型應(yīng)用】問(wèn)題1．如圖2，經(jīng)測(cè)量得，兩點(diǎn)到河邊的距離分別為米，米，且米．請(qǐng)計(jì)算出“將軍飲馬”問(wèn)題中的最短路徑長(zhǎng)．問(wèn)題2．如圖3，在正方形中，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．問(wèn)題3．如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)．（1）請(qǐng)?jiān)谳S上確定一點(diǎn)，使的值最小，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．【模型遷移】問(wèn)題4．如圖5，菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，．點(diǎn)和點(diǎn)分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．例12、如圖，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，AB=2AD，E是AB的中點(diǎn)，P是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，若AD=2，則PE+PB的最小值為（A．22 B．23 C．10 例13、如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3，∠BAD＝60°，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），且EF＝1，則DE+BF最小值為_(kāi)_______課后專(zhuān)題練課后專(zhuān)題練練1、如圖，點(diǎn)M是菱形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（

）A．2 B．3 C．2 D．1練2、如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，若四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿(mǎn)足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．5練3、如圖，五邊形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長(zhǎng)最小，則△AMN的周長(zhǎng)的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．5練4、如圖所示，E為邊長(zhǎng)是2的正方形ABCD的中點(diǎn)，M為BC上一點(diǎn)，N為CD上一點(diǎn)，連EM、MN、NA，則四邊形AEMN周長(zhǎng)的最小值為。練5、如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=9，M、N分別是AD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=∠MNB=60°，則BM+MN+ND的最小值是．練6、如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足,則點(diǎn)P到B，C兩點(diǎn)距離之和PB+PC的最小值為。練7、如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BD=8，點(diǎn)E為OD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，且AF=3BF，點(diǎn)P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PF，則PF?PE的最大值為．練8、如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)E、F、H分別是邊AD、AB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，若CG=14BC=1，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)最小時(shí)練9、在?ABCD中，AB⊥AC，點(diǎn)E在邊AD上，連接BE．

(1)如圖1，AC交BE于點(diǎn)G，GH⊥AE，若BE平分∠ABC，且∠DAC=30°，CG=4，請(qǐng)求出四邊形(2)如圖2，點(diǎn)F在對(duì)角線AC上，且AF=AB，連接BF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，連接AH，求證：HF+2(3)如圖3，線段PQ在線段BE上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)R在BC上，連接CQ，PR．若BE平分∠ABC，∠DAC=30°，AB=3練10、如圖1，矩形中，，點(diǎn)P在邊上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)將沿直線折疊得到，點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)F．①證明，并求出在（1）條件下的值；②連接，求周長(zhǎng)的最小值；③如圖2，交于點(diǎn)H，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．練11、如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、、分別在邊、、上運(yùn)動(dòng)，且線段始終經(jīng)過(guò)矩形的對(duì)稱(chēng)中心，則周長(zhǎng)的最小值為．練12、如圖，矩形中，，是的中點(diǎn)，線段在邊上左右滑動(dòng)；若，則的最小值為_(kāi)___________．練13、【問(wèn)題提出】（1）如圖①，某牧馬人要從A地前往B地，途中要到旁邊一條筆直的河邊l喂馬喝一