2022年北京理工大附中初二（下）期中數(shù)學(xué)試卷及答案

1/12022北京理工大附中初二（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題：在下列各題的四個選項中，只有一個是符合題意的．1.以下列長度的三條線段為邊能組成直角三角形的是()A.1，1，2 B.2，3，4 C.3，4，6 D.6，8，102.下列各式中是最簡二次根式的是().A. B. C. D.3.下列各式中運算正確的是()A. B.C. D.4.使的值為正整數(shù)的最小整數(shù)n是().A.5 B.6 C.7 D.85.在平行四邊形ABCD中，若∠A=3∠B，則∠D的角度為()．A.30° B.45° C.60° D.135°6.將四個全等的直角三角形分別拼成如圖1，圖2所示的正方形，則每一個直角三角形的面積為()．A.3 B.4 C.5 D.67.如圖所示，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值是().A. B. C. D.8.如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，分別以點A，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點D，連接BD，CD．若BD的長為，則CD的最大值為()A.2 B. C. D.二、填空題(本題共16分，每小題2分)9.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．10.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，請你添加一個條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，你添加的條件是___．11.若，則??+??=__________．12.如圖，A，B兩點被池塘隔開，在A，B外選一點C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點M，N，如果測得MN=20m，那么A，B兩點間的距離是_____．13.用一個實數(shù)的值說明命題“”是假命題，這個的值可以是__________．14.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：一根竹子高1丈（1丈=10尺），折斷后頂端落在離竹子底端3尺處，問折斷處離地面的高度為多少尺？如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)題意，可列出關(guān)于x方程為:__________.

15.在平面直角坐標系xOy中，點A（3，0），B（0，4），若以點A，B，O，C為頂點的四邊形是平行四邊形，則點C的坐標是_____．16.如圖，在方格紙中每個小正方形的邊長都是1，點A、B、C、D均落在格點上.則S△BDC=_____；點P為線段BD中點，過點P作直線l∥BC，過點B作BM⊥l于點M，過點C作CN⊥l于點N，則四邊形BCNM的面積為___________.三、解答題（本題共60分，第17-21題，每小題4分，第22題5分，第23題6分，第24-26題，每小題5分，第27-28題，每小題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.計算：18.計算：．19.計算：．20.當a1，b1時，求代數(shù)式的值．21.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，AE=CF，求證：BE=DF．22.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O．若AB＝3，AD＝5，OC=2．求證：AC⊥CD．23.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小方格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形ABC，使△ABC的面積為2．

（1）在圖1中，畫一個三角形ABC，使它的一邊長是有理數(shù)，另外兩邊長是無理數(shù)．（2）在圖2中，畫一個直角三角形ABC，使它的三邊長都是無理數(shù)．24.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，在邊AC上截取AD=AB，連接BD，過點A作AE⊥BD于點E，F(xiàn)是邊BC的中點，連接EF.若AB＝5，BC＝12，求EF的長度.25.如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，連接BD，過B、C分別作CD、BD的平行線交于點E，連接AE交BC于點F．求證：F是AE的中點．26閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號式子可以寫成另一個式子的平方．例如：．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為完全平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）結(jié)合小明探索過程填空：+；（2）的算術(shù)平方根為；（3）化簡：．(??為正整數(shù))27.Rt△ABC中，∠B=90°．

（1）如圖1，當AB=BC時，直接寫出線段AC與線段AB的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若AB>BC，用圓規(guī)在AB上截取AM=BC，連接CM，N為線段CB上一點，連接AN交CM與點P．請?zhí)砑訔l件：當∠APM=°時，使得成立，并證明這個命題；（3）在（2）的條件下，取AN中點H，連接CH，若AM=4，CN=2，則CH=．28.對于平面直角坐標系xOy中的圖形M、N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的“近距離”，記作．在中，點，，，，如圖1．

（1）直接寫出d(點O,)=；（2）若點P在y軸正半軸上，d（點P，）=4，求點P坐標；（3）已知點，順次連接點E、F、H、G，將得到的四邊形記為圖形W（包括邊界）．①當時，在圖2中畫出圖形W，直接寫出值；②若，直接寫出a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：在下列各題的四個選項中，只有一個是符合題意的．1.以下列長度的三條線段為邊能組成直角三角形的是()A.1，1，2 B.2，3，4 C.3，4，6 D.6，8，10【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項進行判斷即可．【詳解】解：A中，故不符合題意；B中，故不符合題意；C中，故不符合題意；D中，符合題意；故選D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理．解題的關(guān)鍵在于明確用勾股定理的逆定理判斷是否是直角三角形．2.下列各式中是最簡二次根式的是().A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項分析判斷即可．【詳解】A.，是最簡二次根式，故該選項符合題意；B.，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；C.，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；D.，不是最簡二次根式，故該選項不符合題意；故選A【點睛】本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．3.下列各式中運算正確的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的加減，算術(shù)平方根的計算對各選項進行判斷即可．【詳解】解：A．中，故不符合題意；B．中，故不符合題意；C．中，故符合題意；D．中，故不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的加減，算術(shù)平方根．熟練掌握相關(guān)的運算法則是解題關(guān)鍵．4.使的值為正整數(shù)的最小整數(shù)n是().A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知24n是平方數(shù)，然后根據(jù)二次根式的定義即可求出答案．【詳解】解：∵24n=22×6n，∴使的值為正整數(shù)的最小整數(shù)n是6，故選：B．【點睛】本題考查二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)．5.在平行四邊形ABCD中，若∠A=3∠B，則∠D的角度為()．A.30° B.45° C.60° D.135°【答案】B【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得，，將代入求出，進而可得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，∵，∴，解得，∴，故選B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度的數(shù)量關(guān)系．6.將四個全等的直角三角形分別拼成如圖1，圖2所示的正方形，則每一個直角三角形的面積為()．A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意和圖形，可以先設(shè)直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，然后根據(jù)圖1和圖2可以列出相應(yīng)的方程組，從而可以求得直角三角形的兩條直角邊的長．【詳解】解：設(shè)直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，∴，解得，∴直角三角形的面積為：（3×2）÷2=3，故選：A．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7.如圖所示，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值是().A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先計算出直角三角形斜邊的長，然后再確定a的值．【詳解】解：∵，∴，故選：．【點睛】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，關(guān)鍵是利用勾股定理計算出直角三角形斜邊長．8.如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，分別以點A，C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點D，連接BD，CD．若BD的長為，則CD的最大值為()A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，由題意知，是的垂直平分線，交于，在上，，，，由，可知，，分別在和中，用勾股定理求解與的值，比較后取最大值即可．【詳解】解：如圖，由題意知，是的垂直平分線，交于，在上，∴，，，∴，∵，∴，，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∵，∴的最大值為，故選B．【點睛】本題考查了垂直平分線，等邊三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．二、填空題(本題共16分，每小題2分)9.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是______．【答案】x≥-2【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)為非負數(shù)，列不等式求解即可．【詳解】由題意可知x+2≥0，∴x≥-2．故答案為：x≥-2．【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，明確被開方數(shù)為非負數(shù)是解題關(guān)鍵．10.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，請你添加一個條件，使得四邊形ABCD成為平行四邊形，你添加的條件是___．【答案】AB=DC（答案不唯一）【解析】【詳解】試題分析：∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，∴根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定，可添加的條件是：AB=DC（答案不唯一）．還可添加的條件AD∥BC或∠A=∠C或∠B=∠D或∠A+∠B=180°或∠C+∠D=180°等．11.若，則??+??=__________．【答案】2【解析】【分析】由題意知，，，求出的值，然后代入求解即可．【詳解】解：由題意知，，，解得，，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查了絕對值、算術(shù)平方根的非負性、代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)非負性求出的值．12.如圖，A，B兩點被池塘隔開，在A，B外選一點C，連接AC和BC，并分別找出AC和BC的中點M，N，如果測得MN=20m，那么A，B兩點間的距離是_____．【答案】40m【解析】【分析】根據(jù)三角形中位線定理：三角形的中位線平行第三邊，且等于第三邊的一半，那么第三邊應(yīng)等于中位線長的2倍即可解答．【詳解】解：∵M，N分別是AC，BC的中點，∴MN是△ABC的中位線，∴MN=AB，∴AB=2MN=2×20=40（m）．【點睛】本題考查三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行第三邊，且等于第三邊的一半是解題關(guān)鍵．13.用一個實數(shù)的值說明命題“”是假命題，這個的值可以是__________．【答案】-1（答案不唯一，即可．）【解析】【分析】選取的的值不滿足即可．【詳解】時，滿足實數(shù)，但不滿足，所以可作為說明命題“如果是任意實數(shù)，那么“”是假命題的一個反例．故答案為：-1（答案不唯一，即可．）【點睛】本題考查了命題與定理，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．14.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：一根竹子高1丈（1丈=10尺），折斷后頂端落在離竹子底端3尺處，問折斷處離地面的高度為多少尺？如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)題意，可列出關(guān)于x方程為:__________.

【答案】【解析】【分析】設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，根據(jù)勾股定理列出方程即可【詳解】解：設(shè)折斷處離地面高度為x尺，根據(jù)題意可得：故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．15.在平面直角坐標系xOy中，點A（3，0），B（0，4），若以點A，B，O，C為頂點的四邊形是平行四邊形，則點C的坐標是_____．【答案】?####【解析】【分析】由題意知，以點A，B，O，C為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況求解：①如圖，四邊形是平行四邊形；②如圖，四邊形是平行四邊形；③如圖，四邊形是平行四邊形；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，∵以點A，B，O，C為頂點的四邊形是平行四邊形，①四邊形是平行四邊形，∴，，∴；②四邊形是平行四邊形，∴，，∴；③四邊形是平行四邊形，∴，，∴；綜上所述，的坐標為或或，故答案為：或或．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、點坐標，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)．16.如圖，在方格紙中每個小正方形的邊長都是1，點A、B、C、D均落在格點上.則S△BDC=_____；點P為線段BD中點，過點P作直線l∥BC，過點B作BM⊥l于點M，過點C作CN⊥l于點N，則四邊形BCNM的面積為___________.【答案】①.②.4.5【解析】【分析】由題意得：AD=3，AB=3，由三角形面積公式得出S△BDC，根據(jù)作圖可得四邊形BCNM是矩形，根據(jù)為線段BD中點，可得即可求解【詳解】解：由題意得：AD=3，AB=3，

∴S△BDC，故答案為：；l∥BC，BM⊥l，CN⊥l，四邊形BCNM矩形，為線段BD中點，連接PC，，，．故答案為：，．

【點睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，掌握三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共60分，第17-21題，每小題4分，第22題5分，第23題6分，第24-26題，每小題5分，第27-28題，每小題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.計算：【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡絕對值，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪進行計算即可．【詳解】解：原式＝．【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，掌握二次根式的性質(zhì)，化簡絕對值，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．18.計算：．【答案】【解析】【分析】按照二次根式的運算法則計算即可．【詳解】解：．【點睛】此題主要考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則，即可解題．19.計算：．【答案】【解析】【分析】先利用二次根式的性質(zhì)進行化簡，然后進行混合運算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運算．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式的性質(zhì)與混合運算的法則．20.當a1，b1時，求代數(shù)式的值．【答案】【解析】【分析】將的值代入，計算求解即可．【詳解】解：將的值代入得，原式．∴的值為．【點睛】本題考查了運用平方差公式、完全平方公式進行運算，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平方差公式與完全平方公式．21.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，AE=CF，求證：BE=DF．【答案】見解析【解析】【分析】先求出DE=BF，再證明四邊形BEDF是平行四邊形，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∵AE=CF，∴DE=BF，又∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴BE=DF．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明四邊形是平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．22.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O．若AB＝3，AD＝5，OC=2．求證：AC⊥CD．【答案】證明見解析【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，，，，，則，進而結(jié)論得證．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理判斷直角三角形．23.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小方格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形ABC，使△ABC的面積為2．

（1）在圖1中，畫一個三角形ABC，使它的一邊長是有理數(shù)，另外兩邊長是無理數(shù)．（2）在圖2中，畫一個直角三角形ABC，使它的三邊長都是無理數(shù)．【答案】（1）作圖見解析（答案不唯一）（2）作圖見解析（答案不唯一）【解析】【分析】（1）由題意知，令，，滿足，如圖1，即為所作；（2）由題意知，令，，，，滿足要求，如圖2，即為所作．【小問1詳解】解：如圖1，

∵，，，∴為有理數(shù)，，為無理數(shù)，，∴圖中即為所作．【小問2詳解】解：如圖2，

∵，，，，，∴，，均為無理數(shù)，是直角三角形，∴圖中即為所作．【點睛】本題考查了有理數(shù)，無理數(shù)，等腰三角形的判定，作格點三角形，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．24.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，在邊AC上截取AD=AB，連接BD，過點A作AE⊥BD于點E，F(xiàn)是邊BC的中點，連接EF.若AB＝5，BC＝12，求EF的長度.【答案】4

【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一，得出點E是線段BD的中點，結(jié)合點F為線段BC的中點，進而得出線段EF是△BCD的中位線，從而得出EF的長度．【詳解】解：∵在△ABD中，AB=AD，AE⊥BD，∴BE=ED，即點E是線段BD的中點，又∵點F是線段BC中點，∴EF是△BCD的中位線，∴EF=DC

∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB＝5，BC＝12，∴AC=，

又∵AD=AB=5，∴DC=AC-AD=13-5=8，∴EF=DC=4【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一，勾股定理，三角形的中位線等知識，掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25.如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，連接BD，過B、C分別作CD、BD的平行線交于點E，連接AE交BC于點F．求證：F是AE的中點．【答案】證明見解析【解析】【分析】如圖，作交于，由題意知，，，四邊形是平行四邊形，，證明四邊形是平行四邊形，則，證明，則，進而結(jié)論得證．【詳解】證明：如圖，作交于，由題意知，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，，∴，∴，∴是的中點．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于作輔助線，證明．26.閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方．例如：．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為完全平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）結(jié)合小明的探索過程填空：+；（2）的算術(shù)平方根為；（3）化簡：．(??為正整數(shù))【答案】（1）21；4

（2）

（3）

【解析】【分析】（1）根據(jù)，填寫答案即可；（2）由題意知，配完全平方得，然后求算術(shù)平方根即可；（3）由題意知，配完全平方得，然后求得算術(shù)平方根為，將原式進行配完全平方和求算術(shù)平方根得，最后進行二次根式的加減運算即可．【小問1詳解】解：∵，故答案為：21；4；【小問2詳解】解：∵，∴，故答案為：；【小問3詳解】解：∵，∴，∴，∴原式化簡結(jié)果為．【點睛】本題考查了完全平方公式運算、算術(shù)平方根、二次根式的加減運算．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握完全平方公式．27.在Rt△ABC中，∠B=90°．

（1）如圖1，當AB=BC時，直接寫出線段AC與線段AB數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若AB>BC，用圓規(guī)在AB上截取AM=BC，連接CM，N為線段CB上一點，連接AN交CM與點P．請?zhí)砑訔l件：當∠APM=°時，使得成立，并證明這個命題；（3）在（2）的條件下，取AN中點H，連接CH，若AM=4，CN=2，則CH=．【答案】（1）

（2）45°，證明見解析（3）

【解析】【分析】（1）在中，由勾股定理得，進而可得結(jié)果；（2）證明如下：如圖2，將逆時針旋轉(zhuǎn)90°到，連接，作于，連接交于，作的延長線于，，證明，則，由，，可知，證明，則，，根據(jù)可求的值；（3）如圖2，連接，作于，于，由H是AN的中點，可知，與為等腰三角形，，，，由（2）可知，，求出，，，的值，根據(jù)中，由勾股定理得，求的值即可．【小問1詳解】解：．∵，，在中，由勾股定理得．【小問2詳解】解：．證明如下：如圖2，將逆時針旋轉(zhuǎn)90°到，連接，作于，連接交于，作的延長線于，

由題意知，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，同理，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：45°．【小問3詳解】解：如圖2，連接，作于，于，∵H是AN的中點，在中，，∴與為等腰三角形，∴，，∵，，，∴，由（2）可知，∴，∴，，，，在中，由勾股定理得，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．28.對于平面直角坐標系xOy中的圖形M、N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，Q為圖形N上任意一點，如果P，Q兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M，N間的“近距離”，記作．在中，點，，，，如圖1．

（1）直接寫出