【數(shù)學】一元線性回歸模型2課件 2023-2024學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計（2）1.經(jīng)驗回歸方程：我們將

稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線.這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法.2.最小二乘估計：經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)計算公式為：

復習回顧思考：當父親身高為176時，兒子的身高一定是177嗎？這個差異如何理解？課堂導入（3分鐘） 1.針對實際問題，會用一元線性回歸模型進行預測．

2.通過對具體問題的進一步分析，能將某些非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題并加以解決. 3.通過具體實例，了解決定系數(shù)R2的意義和作用.學習目標自主學習（7分鐘）合作學習（6分鐘）1.閱讀課本P111，殘差=？殘差與隨機誤差e一定相等嗎？殘差分析的作用？總結(jié)殘差分析的兩個方法2.觀察課本P112圖8.2-8思考：如何由殘差圖直觀判斷模型是否滿足一元線性回歸模型的假設(shè)？3.結(jié)合課本P115圖8.2-12，觀察圖中散點與直線的位置關(guān)系，你能看出其中存在的問題嗎？怎么模型進行修改，以使其更好地反映散點的分布特征？4.結(jié)合課本P118思考，如何比較兩個模型的擬合效果？幾種方法？殘差=觀測值－預報值成果展示（12分鐘）父親身高x174170173169182172180172168166182173164180兒子身高觀測值yi176176170170185176178174170168178172165182兒子身高預測值174.943171.587174.104170.748181.655173.265179.977173.265169.909168.231181.655174.104166.553179.977殘差yi-1.0574.413-4.104-0.7483.3452.735-1.9770.7350.091-0.231-3.655-2.104-1.5532.023殘差分析途徑：列殘差表、作殘差圖.殘差圖：以殘差為縱坐標，以樣本編號(或x)為橫坐標.

殘差與觀測時間有線性關(guān)系，應將時間變量納入模型殘差與觀測時間有非線性關(guān)系，應在模型中加入時間的非線性函數(shù)部分殘差的方差不是一個常數(shù)，隨觀測時間的變大而變大殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)成果展示（12分鐘）成果展示（12分鐘）殘差圖：以殘差為縱坐標，以樣本編號(或x)為橫坐標.若存在某幾個樣本點的殘差絕對值較大，則為可疑數(shù)據(jù)，需予以糾正或剔除，再重新建立回歸模型.帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，殘差絕對值越小，且較均勻地落在橫軸附近，說明回歸方程預測的精度越高.例2

人們常將男子短跑100m的高水平運動員稱為“百米飛人”.下表給出了1968年之前男子短跑100m世界紀錄產(chǎn)生的年份和世界紀錄的數(shù)據(jù).試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀錄關(guān)于紀錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗回歸方程.編號12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95成果展示（12分鐘）第1個散點遠離回歸直線，前后兩時間段的散點都在回歸直線的上方中間時間段的散點都在回歸直線的下方.散點并不是隨機分布在經(jīng)驗回歸直線的周圍，而是圍繞著回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.問題

如何修改以使其更好地反映散點的分布特征嗎？仔細觀察右圖,可以發(fā)現(xiàn)散點更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.函數(shù)y=-lnx的圖象具有類似的形狀特征.

注意到100m短跑的第一個世界紀錄產(chǎn)生于1896年,因此可設(shè)非線性回歸方程為：

y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)

（其中c1、c2為未知參數(shù)，且c2<0）.追問

如何利用成對數(shù)據(jù)估計參數(shù)c1和c2？

點撥拓展（10分鐘）點撥拓展（10分鐘）作出(xi，yi)的散點圖，可見x與y呈現(xiàn)出很強的負線性相關(guān)特征.成果展示（12分鐘）問題

結(jié)合課本P118思考，如何比較兩個模型的擬合效果？幾種方法？

(1)直接觀察法.（2)殘差平方和=成果展示（12分鐘）殘差平方和越小，模型擬合效果越好.（3）決定系數(shù)R2殘差平方和偏差平方和（與經(jīng)驗回歸方程有關(guān)）（與經(jīng)驗回歸方程無關(guān)）0≤R2≤1，R2越接近1，則線性回歸刻畫的效果越好.成果展示（12分鐘）R2越大，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.R2越小，殘差平方和越大，模型擬合效果越差.區(qū)分：樣本相關(guān)系數(shù)r刻畫線性相關(guān)關(guān)系的正負和強弱；

決定系數(shù)R2刻畫模型擬合效果的好壞.點撥拓展（10分鐘）

x2023252730z22.4334.6對數(shù)變換z=lny分析模型的回歸效果方法（2）殘差平方和（1）殘差分析好的回歸方程對應的殘差散點圖應是均勻地分布在橫軸兩側(cè)的帶狀區(qū)域內(nèi).且?guī)顓^(qū)域越窄，說明模型擬合效果越好．（3）決定系數(shù)R2法殘差平方和越小，說明模型擬合效果越好.R2越大，說明模型擬合效果越好.課堂小結(jié)求一元線性回歸方程的步驟：（1）以成對樣本數(shù)據(jù)描出散點圖，通過散點圖觀察成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)。（2）計算樣本相關(guān)系數(shù)r，判斷兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。(可省)

（4）殘差分析：殘差表、殘差圖對回歸模型的擬合效果進行評估。當堂檢測（5分鐘）[2020全國卷I-5]某校一個課外學習小組為研究