高考數(shù)學復習第八章立體幾何初步第3節(jié)空間點直線平面之間的位置關(guān)系文市賽課公開課一等獎省名師獲獎

第3節(jié)空間點、直線、平面之間位置關(guān)系1/33最新考綱1.了解空間直線、平面位置關(guān)系定義；2.了解能夠作為推理依據(jù)公理和定理；3.能利用公理、定理和已取得結(jié)論證實一些空間位置關(guān)系簡單命題.2/331.平面基本性質(zhì)(1)公理1：假如一條直線上

在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).(2)公理2：過

三點，有且只有一個平面.(3)公理3：假如兩個不重合平面有

公共點，那么它們有且只有一條過該點公共直線.知

識

梳

理兩點不在同一條直線上一個3/332.空間點、直線、平面之間位置關(guān)系

直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l4/33獨相關(guān)系圖形語言

符號語言a，b是異面直線a?α

5/333.平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一條直線兩條直線

.

等角定理：空間中假如兩個角兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角

.4.異面直線所成角 (1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成

叫做異面直線a與b所成角(或夾角).相互平行相等或互補銳角（或直角）6/33[慣用結(jié)論與微點提醒]1.空間中兩個角兩邊分別對應(yīng)平行，則兩個角相等或互補.2.異面直線判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點直線互為異面直線.3.唯一性幾個結(jié)論： (1)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直. (2)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行. (3)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.7/331.思索辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點任意一條直線.(

)(2)兩兩相交三條直線最多能夠確定三個平面.(

)(3)假如兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.(

)(4)若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內(nèi)全部直線與a異面.(

)診

斷

自

測8/33解析(1)假如兩個不重合平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點公共直線，故錯誤.(3)假如兩個平面有三個公共點，則這兩個平面相交或重合，故錯誤.(4)因為a不平行于平面α，且a?α，則a與平面α相交，故平面α內(nèi)有與a相交直線，故錯誤.答案(1)×

(2)√

(3)×

(4)×9/332.(必修2P52B1(2)改編)如圖所表示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD中點，則異面直線B1C與EF所成角大小為(

)A.30° B.45° C.60° D.90°解析連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案

C10/333.(·貴陽調(diào)研)α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n位置關(guān)系不可能是(

) A.垂直 B.相交 C.異面 D.平行

解析依題意，m∩α＝A，n?α，∴m與n異面、相交(垂直是相交特例)，一定不平行.

答案

D11/334.(一題多解)(·全國Ⅰ卷)如圖，在以下四個正方體中，A，B為正方體兩個頂點，M，N，Q為所在棱中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行是(

)12/33解析法一

對于選項B，如圖(1)所表示，連接CD，因為AB∥CD，M，Q分別是所在棱中點，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可證選項C，D中都有AB∥平面MNQ.所以A項不正確.圖(1)13/33法二

對于選項A，其中O為BC中點(如圖(2)所表示)，連接OQ，則OQ∥AB，因為OQ與平面MNQ有交點，所以AB與平面MNQ有交點，即AB與平面MNQ不平行.A項不正確.答案A圖(2)14/335.如圖，正方體底面與正四面體底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體六個面所在平面相交平面?zhèn)€數(shù)為________.解析

EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行.所以與EF相交側(cè)面有4個.答案

415/33考點一平面基本性質(zhì)及應(yīng)用【例1】(1)(·山東卷)已知直線a，b分別在兩個不一樣平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”(

) A.充分無須要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也無須要條件解析由題意知a?α，b?β，若a，b相交，則a，b有公共點，從而α，β有公共點，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，則a，b位置關(guān)系可能為平行、相交或異面.所以“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”充分無須要條件.答案

A16/33①證實：四邊形BCHG是平行四邊形；②C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為何？17/33∴四邊形BCHG為平行四邊形.∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面.又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面.18/33規(guī)律方法

1.證實線共面或點共面慣用方法(1)直接法，證實直線平行或相交，從而證實線共面.(2)納入平面法，先確定一個平面，再證實相關(guān)點、線在此平面內(nèi).(3)輔助平面法，先證實相關(guān)點、線確定平面α，再證實其余元素確定平面β，最終證實平面α，β重合.2.證實點共線問題慣用方法(1)基本性質(zhì)法，普通轉(zhuǎn)化為證實這些點是某兩個平面公共點，再依據(jù)基本性質(zhì)3證實這些點都在這兩個平面交線上.(2)納入直線法，選擇其中兩點確定一條直線，然后證實其余點也在該直線上.19/33【訓練1】

如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1中點.求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點.20/33證實(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1中點，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面.(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，如圖所表示.則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA.∴CE，D1F，DA三線共點.21/33考點二判斷空間兩直線位置關(guān)系【例2】(1)若m，n為兩條不重合直線，α，β為兩個不重合平面，則以下命題中正確是(

)

①若直線m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線；

②若直線m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線；

③已知平面α，β相互垂直，且直線m，n也相互垂直，若m⊥α，則n⊥β；

④若直線m，n在平面α內(nèi)射影相互垂直，則m⊥n. A.② B.②③ C.①③ D.②④22/33(2)(·唐山一中月考)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱頂點或所在棱中點，則表示直線GH，MN是異面直線圖形有________(填上全部正確答案序號).23/33解析

(1)對于①，m與n可能平行，可能相交，也可能異面，①錯誤；對于②，由線面垂直性質(zhì)定理可知，m與n一定平行，故②正確；對于③，還有可能n∥β或n與β相交，③錯誤；對于④，把m，n放入正方體中，如圖，取A1B為m，B1C為n，平面ABCD為平面α，則m與n在α內(nèi)射影分別為AB與BC，且AB⊥BC.而m與n所成角為60°，故④錯誤.24/33(2)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，N?GH，所以直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，所以GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，G?MN，所以GH與MN異面.所以在圖②④中，GH與MN異面.答案

(1)A

(2)②④25/33規(guī)律方法

1.異面直線判定方法：(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴格推理，導出矛盾，從而否定假設(shè)，必定兩條直線異面.(2)定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B直線是異面直線.2.點、線、面位置關(guān)系判定，要注意幾何模型選取，常借助正方體為模型，以正方體為根本直觀感知并認識空間點、線、面位置關(guān)系.26/33【訓練2】(1)(·哈爾濱一模)以下命題正確是(

) A.若兩條直線和同一個平面平行，則這兩條直線平行 B.若一直線與兩個平面所成角相等，則這兩個平面平行 C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面交線平行 D.若兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行 (2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1位置關(guān)系是(

)A.相交但不垂直

B.相交且垂直C.異面

D.平行27/33解析

(1)A選項，兩條直線可能平行，可能異面，也可能相交；B選項，一直線能夠與兩垂直平面所成角都是45°；易知C正確；D中兩平面也可能相交.答案

(1)C

(2)D(2)連接D1E并延長，與AD交于點M，因為A1E＝2ED，可得M為AD中點，28/33考點三異面直線所成角【例3】

(·全國Ⅱ卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角余弦值為(

)29/33解析將直三棱柱ABC－A1B1C1補形為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如圖所表示，連接AD1，B1D1，BD.由題意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，又AB1與AD1所成角即為AB1與BC1所成角θ，答案

C30/33規(guī)律方法

1.求異面直線所成角慣用方法是平移法，平移方法普通有三種